Главная » Просмотр файлов » Лекции Дымарский 3 семестр

Лекции Дымарский 3 семестр (1187977), страница 3

Файл №1187977 Лекции Дымарский 3 семестр (Лекции Дымарский 3 семестр) 3 страницаЛекции Дымарский 3 семестр (1187977) страница 32020-09-16СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Надпись накнигеНеявно заданные отображения (неявные отображения) возникают и в математических, и в физических исследованиях (в последних из так называемыхуравнений связи).Пример 1.2. Уравнение x2 + y 2 − 1 = 0, задающее на координатной плоскости√ окружность, порождает две непрерывные неявные функции y = f1,2 (x) =± 1 − x2 (x ∈ [−1, 1]), графиками которых являются верхняя и нижняя полуокружности (рис. 1.3). Заметим, что разрывных функций, порожденныхэтим уравнением, бесконечное множество: разобьем отрезок [−1, 1] на два произвольных непересекающихся множества[−1, 1] = X1 ∪ X2 , X1 ∩ X2 = ∅и определим неявную функцию по правилу{√1 − x2 , x ∈ X1 ,√f (x) =− 1 − x2 , x ∈ X2 .Если же мы хотим сосредоточиться на одной неявной функции, то достаточновыбрать на окружности точку A(x0 , y 0 ), причем x0 ̸= ±1, и потребовать, чтобыграфик неявной функции принадлежал ее достаточно малой окрестности (рис.1.3).

Заметим, что ни в какой окрестности точек A± (±1, 0) дуга окружностиx2 + y 2 − 1 = 0 не является графиком функции! Принципиальное наблюдение:только в особых точках A± касательные к окружности вертикальны, что равносильно обнулению в этих точках частных производных данной функции по∂переменной y, т.е ∂y(x2 + y 2 − 1)|(±1,0) = 0.Теорема 1.4. Пусть: 1) отображениеF : Rn × Rm ⊃ U → Rm10Я.

М. ДЫМАРСКИЙy1A( x 0 , y 0 )·×0p2A+Ap10-1Рис. 1.3Рис. 1.4непрерывно дифференцируемо на открытом подмножестве U , содержащемточку (x0 , y 0 ) ∈ U ; 2) F (x0 , y 0 ) = Oy , где Oy – начало координат в точечномпространстве Rm ; 3) в точке (x0 , y 0 ) матрица частной производной отображения F по переменной y невырождена: detDy F (x0 , y 0 ) ̸= 0.Тогда:1. существуют окрестности X ⊂ Rn и Y ⊂ Rm точек x0 и y 0 соответственно, причем X × Y ⊂ U , и единственное неявное отображениеf : X → Y , удовлетворяющее тождеству:∀x ∈ X ,→ F (x, f (x)) ≡ Oy , в частности f (x0 ) = y 0 ;т.е. уравнение F (x, y) = Oy в окрестности точки (x0 , y 0 ) порождаетfединственное отображение x → y, которое ему удовлетворяет.2.

отображение f непрерывно дифференцируемо;3. в точке x ∈ X матрица производной неявного отображения определяется по правилуDf (x) = −(Dy F (x, f (x)))−1 · Dx F (x, f (x));(1.11)4. геометрический смысл неявного отображения: пересечение полногопрообраза F −1 (Oy ) = {(x, y) : F (x, y) = Oy } с окрестностью X × Yточки (x0 , y 0 ) является графиком неявного отображения f (рис. 1.4):gr(f ) = F −1 (Oy ) ∩ (X × Y ).Доказательство осуществляется в несколько этапов.1.

Построение биективного отображения. Имея в виду теорему 1.3, достроимотображение F до распрямляющего отображения, которое в некоторой окрестности точки (x0 , y 0 ) является биекцией. Именно, положимG : U → Rn × Rm , G(x, y) := (x, F (x, y)).(1.12)Проверим выполнение условий теоремы 1.3. Во-первых, отображение G непрерывно дифференцируемо и матрица производной имеет блочный вид:()idx0DG(x, y) =.Dx F (x, y) Dy F (x, y)11ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ, ТРЕТИЙ СЕМЕСТРВо-вторых, в силу условия теоремы, в точке (x0 , y 0 ) определитель()idx0det= 1 · detDy F (x0 , y0 ) ̸= 0.Dx F (x0 , y0 ) Dy F (x0 , y0 )Следовательно, отображение G является биекцией между некоторой окрестностью V ⊂ U точки (x0 , y 0 ) и окрестностью W точки G(x0 , y 0 ) = (x0 , Oy ),причем detDy F (x, y) ̸= 0 при (x, y) ∈ V .

Без ограничения общности рассуждений считаем, что V = B δ (x0 , y 0 ) – некоторая замкнутая шаровая окрестностьрадиуса δ > 0.Обратное отображение G−1 : W → V имеет структуру, аналогичную структуре прямого отображения, а именно G−1 (x′ , y ′ ) = (x′ , H(x′ , y ′ )). В самом деле,обратное отображение есть единственное решение уравнения G(x, y) = (x′ , y ′ )относительно неизвестной пары (x, y) ∈ V , где правая часть (x′ , y ′ ) ∈ W ; ноэто уравнение равносильно системе уравнений x = x′ , F (x, y) = y ′ . Значит,существует такое единственное отображениеH : W → Rm , что G−1 (x′ , y ′ ) = (x′ , H(x′ , y ′ )).(1.13)Найдем связь между данным отображением F и полученным отображениемH.

Рассмотрим канонические поектированияπ1 : Rn × Rm → Rn , π1 (x, y) = x,π2 : Rn × Rm → Rm , π2 (x, y) = yпрямого произведения на один из сомножителей вдоль другого. Пусть точкаy ′ ∈ π2 (W ) фиксирована, тогда на V равносильны следующие три условия:F (x, y) = y ′ ⇔ G(x, y) = (x, y ′ ) ⇔ y = H(x, y ′ ).(1.14)В самом деле: 1) применим к паре (x, y) ∈ V отображение G, получим, в силу(1.12), из первого условия второе; 2) применим ко второму равенству отображение G−1 , получим, в силу (1.13), третье условие. Оба перехода обратимы,G−1поскольку G и G−1 биекции: V W .GРазберемся, почему отображение G назвают распрямляющим. В силу первойравносильности из (1.14), для произвольной фиксированной точки y ′ ∈ π2 (W )отображение G преобразует (распрямляет!) полный прообраз:F −1 (y ′ ) ∩ V = {(x, y) ∈ V : F (x, y) = y ′ } → π1 (F −1 (y ′ ) ∩ V ) × {y ′ } ⊂ Rn × {y ′ }.GВ частности, G(F −1 (Oy ) ∩ V ) ⊂ Rn × {Oy } (рис.

1.4).2. Предварительные оценки. Из обратимости матрицы Dy F (x, y) для всехпар (x, y) ∈ V = B δ (x0 , y 0 ), непрерывной дифференцируемости отображения Fи компактности замкнутого шара следует, чтоsup(x,y)∈B δ(x0 ,y 0 )||(Dy F (x, f (x)))−1 || < C1 ,sup||Dx F (x, f (x))|| < C2 ,(x,y)∈B δ (x0 ,y 0 )где C1 , C2 > 0 – некоторые постоянные. Обозначим C := C1 C2 .

Мы утверждаем, что существует такое ε > 0, что прямое произведение открытых шаров12Я. М. ДЫМАРСКИЙBε (x0 ) × BCε (y 0 ) ⊂ B δ (x0 , y 0 ). В самом деле, расстояние от точки A(x0 , y 0 ) допроизвольной точки A′ (x, y) ∈ Bε (x0 ) × BCε (y 0 ) оценивается так: ρ(A, A′ ) <(ε2 + C 2 ε2 )1/2 . Условиеδ(ε2 + C 2 ε2 )1/2 < δ ⇔ ε < √1 + C2гарантирует искомую принадлежность.3. Определение неявного отображения и его свойства. Покажем, что искомоенеявное отображение естьf : X := Bε (x0 ) → Y := BCε (y 0 ), f (x) := H(x, Oy ).(1.15)Во-первых, отображение f определено на X поскольку X×Oy ⊂ W .

Во-вторых,из равносильности первого и третьего условий в (1.14) следует, что при y ′ =Oy выполняется для всех x ∈ X равенство F (x, f (x)) = F (x, H(x, Oy )) = Oy .Единственность отображения f и включение f (X) ⊂ Y обоснованы ниже.Непрерывная дифференцируемость отображения f (x) := H(x, Oy ) следует,в силу теоремы 1.3, из определения отображения H и непрерывной дифференцируемости отображения G−1 . Теперь, чтобы найти производную Df (x),достаточно продифференцировать тождество F (x, f (x)) ≡ Oy (x ∈ X) и воспользоваться обратимостью матрицы Dy F (x, y) для всех (x, y) ∈ V :x∈Xx∈XF (x, f (x)) ≡ Oy ⇒ Dx F (x, f (x)) + Dy F (x, f (x)) · Df (x) ≡ Θ ⇔x∈XDf (x) ≡ −(Dy F (x, f (x)))−1 · Dx F (x, f (x))(через Θ обозначена нулевая матрица размером m × n).Из формулы (1.11), определения константы C и неравенства Лагранжа следует включение f (X) ⊂ Y .

Докажем единственность отображения f : X → Y ,удовлеворяющего тождеству F (x, f (x)) ≡ Oy . Допустим противное: существует отображение h : X → Y , удовлетворяющее тождеству F (x, h(x)) ≡ Oy .Тогда, в силу (1.14), G(x, h(x)) = (x, Oy ) = G(x, f (x)). В силу биективностиG, получаем: (x, h(x)) = G−1 (x, Oy ) = (x, f (x)). Значит, пока x ∈ X, верноh(x) ≡ f (x).Из определения (1.15) и равносильностей первого и третьего условий из(1.14) следует, что график f естьgr(f ) = {(x, f (x)), x ∈ X} = {(x, H(x, Oy )), x ∈ X} ={(x, y) ∈ X × Y : F (x, y) = Oy }. 1.5.

Замена переменных.Привычка свыше нам дана:Замена счастию она.А.С. Пушкин. Евгений Онегин,гл. IIЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ, ТРЕТИЙ СЕМЕСТР13Мы уже применяли замену переменных при вычислении пределов и интегралов. Метод постоянно применяется в анализе, линейной алгебре (например,приведение матрицы или квадратичной формы к каноническому виду), дифференциальных уравнениях, уравнениях математической физики и т.д. Заменапеременных по сути есть замена “старой” системы координат на “новую”, в которой исследуемый объект выглядит проще.

В основе метода лежат теоремы осуществовании обратного и неявного отображений. Для простоты вычислениймы рассмотрим случай двух переменных.Предположим, мы исследуем гладкую функцию z = z(x, y), где аргумент(x, y) ∈ Ω ⊂ R2 принадлежит некоторой области Ω. Заметим, что по сложившейся традиции и функцию, и ее значение обозначают одной буквой z, чточасто приводит к ошибкам.

Пусть дано выражение G(x, y, z, ∂z/∂x, ∂z/∂y, ...),зависящее от независимых переменных, функции и ее производных конечногопорядка. Взаимно непрерывная и взаимно дифференцируемая биекция{{x = x(u, v),u = u(x, y),f2R ⊃Ξ→Ω ⇔⇔(1.16)y = y(u, v)v = v(x, y)задает замену переменных. (Обычно мы знаем первую систему функций –выражение старых переменных через новые.) Требуется записать данное выражение G через новые переменные u, v, функцию z = z(u, v) и частные производные ∂z/∂u, ∂z/∂v, ... .

(Заметим, что общепринятое обозначение функцийz(u, v) и z(x, y) одной и той же буквой некорректно – это разные функции,которые принимают одинаковые значения при соответствующих другу другуfаргументах (u, v) → (x, y). Получается, что буква z трактуется нами четырьмяспособами в зависимости от обстоятельств!) Понятно, что в G вместо старыхпеременных надо подставить их выражения из (4.5), обозначение z оставляембез изменений, но понимаем как функцию z(u, v).

Остается найти выражениячастных производных ∂z/∂x, ∂z/∂y, ..., но как функции новых переменных u, v.Применяя правило дифференцирования сложной функции, получаем:∂z∂z ∂u ∂z ∂v=·+·;∂x∂u ∂x ∂v ∂x∂z∂z ∂u ∂z ∂v=·+·,∂y∂u ∂y∂v ∂y(1.17)∂vгде слева z = z(x, y), а справа z = z(u, v). Чтобы найти производные ∂u∂x , ∂x ,∂u ∂v∂y , ∂y нужно воспользоваться выражением новых координат через старые, которые, как правило, неизвестны. Однако – и это принципиальный момент впроцедуре замены! – можно продифференцировать выражение старых координат через новые, подразумевая, что последние выражены через старые. Т.е.продифференцировать тождества:∂x ∂u∂v1 = ∂u· ∂x + ∂x∂v · ∂x ,{0 = ∂x · ∂u + ∂x · ∂v ,x ≡ x(u(x, y), v(x, y)),∂u ∂y∂v ∂y⇒(1.18)∂y ∂u∂y ∂vy = y(u(x, y), v(x, y))0=·+∂u ∂x∂v · ∂x ,1 = ∂y · ∂u + ∂y · ∂v .∂u∂y∂v∂y∂xв числителе x = x(u, v) – функция, а вИ еще раз отметим, что в записи ∂uзнаменателе u – независимая переменная; в записи ∂u∂x – наоборот: в числителе u = u(x, y) – функция, а в знаменателе x – независимая переменная.

Из14Я. М. ДЫМАРСКИЙполученной линейной системы 4 × 4 выражаем искомые производные:()()∂u∂x ∂x ∂y ∂y∂v∂x ∂x ∂y ∂y= g1,,,, ... ,= g4,,,.∂x∂u ∂v ∂u ∂u∂y∂u ∂v ∂u ∂u(1.19)∂v∂u ∂vЗамечание 1.2. Ища производные ∂u∂x , ∂x , ∂y , ∂y , мы фактически повторили доказательство формулы (1.5) нахождения производной обратного отображения. Можно сразу найти матрицу Df , затем к ней обратную (Df )−1 =D(f −1 ).Задача 1.1. Пусть новые переменные – полярные координаты, т.е. x =r cos φ, y = r sin φ.

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
1,04 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов лекций

Свежие статьи
Популярно сейчас
Как Вы думаете, сколько людей до Вас делали точно такое же задание? 99% студентов выполняют точно такие же задания, как и их предшественники год назад. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6390
Авторов
на СтудИзбе
307
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее