Лекции Дымарский 3 семестр (1187977), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Надпись накнигеНеявно заданные отображения (неявные отображения) возникают и в математических, и в физических исследованиях (в последних из так называемыхуравнений связи).Пример 1.2. Уравнение x2 + y 2 − 1 = 0, задающее на координатной плоскости√ окружность, порождает две непрерывные неявные функции y = f1,2 (x) =± 1 − x2 (x ∈ [−1, 1]), графиками которых являются верхняя и нижняя полуокружности (рис. 1.3). Заметим, что разрывных функций, порожденныхэтим уравнением, бесконечное множество: разобьем отрезок [−1, 1] на два произвольных непересекающихся множества[−1, 1] = X1 ∪ X2 , X1 ∩ X2 = ∅и определим неявную функцию по правилу{√1 − x2 , x ∈ X1 ,√f (x) =− 1 − x2 , x ∈ X2 .Если же мы хотим сосредоточиться на одной неявной функции, то достаточновыбрать на окружности точку A(x0 , y 0 ), причем x0 ̸= ±1, и потребовать, чтобыграфик неявной функции принадлежал ее достаточно малой окрестности (рис.1.3).
Заметим, что ни в какой окрестности точек A± (±1, 0) дуга окружностиx2 + y 2 − 1 = 0 не является графиком функции! Принципиальное наблюдение:только в особых точках A± касательные к окружности вертикальны, что равносильно обнулению в этих точках частных производных данной функции по∂переменной y, т.е ∂y(x2 + y 2 − 1)|(±1,0) = 0.Теорема 1.4. Пусть: 1) отображениеF : Rn × Rm ⊃ U → Rm10Я.
М. ДЫМАРСКИЙy1A( x 0 , y 0 )·×0p2A+Ap10-1Рис. 1.3Рис. 1.4непрерывно дифференцируемо на открытом подмножестве U , содержащемточку (x0 , y 0 ) ∈ U ; 2) F (x0 , y 0 ) = Oy , где Oy – начало координат в точечномпространстве Rm ; 3) в точке (x0 , y 0 ) матрица частной производной отображения F по переменной y невырождена: detDy F (x0 , y 0 ) ̸= 0.Тогда:1. существуют окрестности X ⊂ Rn и Y ⊂ Rm точек x0 и y 0 соответственно, причем X × Y ⊂ U , и единственное неявное отображениеf : X → Y , удовлетворяющее тождеству:∀x ∈ X ,→ F (x, f (x)) ≡ Oy , в частности f (x0 ) = y 0 ;т.е. уравнение F (x, y) = Oy в окрестности точки (x0 , y 0 ) порождаетfединственное отображение x → y, которое ему удовлетворяет.2.
отображение f непрерывно дифференцируемо;3. в точке x ∈ X матрица производной неявного отображения определяется по правилуDf (x) = −(Dy F (x, f (x)))−1 · Dx F (x, f (x));(1.11)4. геометрический смысл неявного отображения: пересечение полногопрообраза F −1 (Oy ) = {(x, y) : F (x, y) = Oy } с окрестностью X × Yточки (x0 , y 0 ) является графиком неявного отображения f (рис. 1.4):gr(f ) = F −1 (Oy ) ∩ (X × Y ).Доказательство осуществляется в несколько этапов.1.
Построение биективного отображения. Имея в виду теорему 1.3, достроимотображение F до распрямляющего отображения, которое в некоторой окрестности точки (x0 , y 0 ) является биекцией. Именно, положимG : U → Rn × Rm , G(x, y) := (x, F (x, y)).(1.12)Проверим выполнение условий теоремы 1.3. Во-первых, отображение G непрерывно дифференцируемо и матрица производной имеет блочный вид:()idx0DG(x, y) =.Dx F (x, y) Dy F (x, y)11ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ, ТРЕТИЙ СЕМЕСТРВо-вторых, в силу условия теоремы, в точке (x0 , y 0 ) определитель()idx0det= 1 · detDy F (x0 , y0 ) ̸= 0.Dx F (x0 , y0 ) Dy F (x0 , y0 )Следовательно, отображение G является биекцией между некоторой окрестностью V ⊂ U точки (x0 , y 0 ) и окрестностью W точки G(x0 , y 0 ) = (x0 , Oy ),причем detDy F (x, y) ̸= 0 при (x, y) ∈ V .
Без ограничения общности рассуждений считаем, что V = B δ (x0 , y 0 ) – некоторая замкнутая шаровая окрестностьрадиуса δ > 0.Обратное отображение G−1 : W → V имеет структуру, аналогичную структуре прямого отображения, а именно G−1 (x′ , y ′ ) = (x′ , H(x′ , y ′ )). В самом деле,обратное отображение есть единственное решение уравнения G(x, y) = (x′ , y ′ )относительно неизвестной пары (x, y) ∈ V , где правая часть (x′ , y ′ ) ∈ W ; ноэто уравнение равносильно системе уравнений x = x′ , F (x, y) = y ′ . Значит,существует такое единственное отображениеH : W → Rm , что G−1 (x′ , y ′ ) = (x′ , H(x′ , y ′ )).(1.13)Найдем связь между данным отображением F и полученным отображениемH.
Рассмотрим канонические поектированияπ1 : Rn × Rm → Rn , π1 (x, y) = x,π2 : Rn × Rm → Rm , π2 (x, y) = yпрямого произведения на один из сомножителей вдоль другого. Пусть точкаy ′ ∈ π2 (W ) фиксирована, тогда на V равносильны следующие три условия:F (x, y) = y ′ ⇔ G(x, y) = (x, y ′ ) ⇔ y = H(x, y ′ ).(1.14)В самом деле: 1) применим к паре (x, y) ∈ V отображение G, получим, в силу(1.12), из первого условия второе; 2) применим ко второму равенству отображение G−1 , получим, в силу (1.13), третье условие. Оба перехода обратимы,G−1поскольку G и G−1 биекции: V W .GРазберемся, почему отображение G назвают распрямляющим. В силу первойравносильности из (1.14), для произвольной фиксированной точки y ′ ∈ π2 (W )отображение G преобразует (распрямляет!) полный прообраз:F −1 (y ′ ) ∩ V = {(x, y) ∈ V : F (x, y) = y ′ } → π1 (F −1 (y ′ ) ∩ V ) × {y ′ } ⊂ Rn × {y ′ }.GВ частности, G(F −1 (Oy ) ∩ V ) ⊂ Rn × {Oy } (рис.
1.4).2. Предварительные оценки. Из обратимости матрицы Dy F (x, y) для всехпар (x, y) ∈ V = B δ (x0 , y 0 ), непрерывной дифференцируемости отображения Fи компактности замкнутого шара следует, чтоsup(x,y)∈B δ(x0 ,y 0 )||(Dy F (x, f (x)))−1 || < C1 ,sup||Dx F (x, f (x))|| < C2 ,(x,y)∈B δ (x0 ,y 0 )где C1 , C2 > 0 – некоторые постоянные. Обозначим C := C1 C2 .
Мы утверждаем, что существует такое ε > 0, что прямое произведение открытых шаров12Я. М. ДЫМАРСКИЙBε (x0 ) × BCε (y 0 ) ⊂ B δ (x0 , y 0 ). В самом деле, расстояние от точки A(x0 , y 0 ) допроизвольной точки A′ (x, y) ∈ Bε (x0 ) × BCε (y 0 ) оценивается так: ρ(A, A′ ) <(ε2 + C 2 ε2 )1/2 . Условиеδ(ε2 + C 2 ε2 )1/2 < δ ⇔ ε < √1 + C2гарантирует искомую принадлежность.3. Определение неявного отображения и его свойства. Покажем, что искомоенеявное отображение естьf : X := Bε (x0 ) → Y := BCε (y 0 ), f (x) := H(x, Oy ).(1.15)Во-первых, отображение f определено на X поскольку X×Oy ⊂ W .
Во-вторых,из равносильности первого и третьего условий в (1.14) следует, что при y ′ =Oy выполняется для всех x ∈ X равенство F (x, f (x)) = F (x, H(x, Oy )) = Oy .Единственность отображения f и включение f (X) ⊂ Y обоснованы ниже.Непрерывная дифференцируемость отображения f (x) := H(x, Oy ) следует,в силу теоремы 1.3, из определения отображения H и непрерывной дифференцируемости отображения G−1 . Теперь, чтобы найти производную Df (x),достаточно продифференцировать тождество F (x, f (x)) ≡ Oy (x ∈ X) и воспользоваться обратимостью матрицы Dy F (x, y) для всех (x, y) ∈ V :x∈Xx∈XF (x, f (x)) ≡ Oy ⇒ Dx F (x, f (x)) + Dy F (x, f (x)) · Df (x) ≡ Θ ⇔x∈XDf (x) ≡ −(Dy F (x, f (x)))−1 · Dx F (x, f (x))(через Θ обозначена нулевая матрица размером m × n).Из формулы (1.11), определения константы C и неравенства Лагранжа следует включение f (X) ⊂ Y .
Докажем единственность отображения f : X → Y ,удовлеворяющего тождеству F (x, f (x)) ≡ Oy . Допустим противное: существует отображение h : X → Y , удовлетворяющее тождеству F (x, h(x)) ≡ Oy .Тогда, в силу (1.14), G(x, h(x)) = (x, Oy ) = G(x, f (x)). В силу биективностиG, получаем: (x, h(x)) = G−1 (x, Oy ) = (x, f (x)). Значит, пока x ∈ X, верноh(x) ≡ f (x).Из определения (1.15) и равносильностей первого и третьего условий из(1.14) следует, что график f естьgr(f ) = {(x, f (x)), x ∈ X} = {(x, H(x, Oy )), x ∈ X} ={(x, y) ∈ X × Y : F (x, y) = Oy }. 1.5.
Замена переменных.Привычка свыше нам дана:Замена счастию она.А.С. Пушкин. Евгений Онегин,гл. IIЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ, ТРЕТИЙ СЕМЕСТР13Мы уже применяли замену переменных при вычислении пределов и интегралов. Метод постоянно применяется в анализе, линейной алгебре (например,приведение матрицы или квадратичной формы к каноническому виду), дифференциальных уравнениях, уравнениях математической физики и т.д. Заменапеременных по сути есть замена “старой” системы координат на “новую”, в которой исследуемый объект выглядит проще.
В основе метода лежат теоремы осуществовании обратного и неявного отображений. Для простоты вычислениймы рассмотрим случай двух переменных.Предположим, мы исследуем гладкую функцию z = z(x, y), где аргумент(x, y) ∈ Ω ⊂ R2 принадлежит некоторой области Ω. Заметим, что по сложившейся традиции и функцию, и ее значение обозначают одной буквой z, чточасто приводит к ошибкам.
Пусть дано выражение G(x, y, z, ∂z/∂x, ∂z/∂y, ...),зависящее от независимых переменных, функции и ее производных конечногопорядка. Взаимно непрерывная и взаимно дифференцируемая биекция{{x = x(u, v),u = u(x, y),f2R ⊃Ξ→Ω ⇔⇔(1.16)y = y(u, v)v = v(x, y)задает замену переменных. (Обычно мы знаем первую систему функций –выражение старых переменных через новые.) Требуется записать данное выражение G через новые переменные u, v, функцию z = z(u, v) и частные производные ∂z/∂u, ∂z/∂v, ... .
(Заметим, что общепринятое обозначение функцийz(u, v) и z(x, y) одной и той же буквой некорректно – это разные функции,которые принимают одинаковые значения при соответствующих другу другуfаргументах (u, v) → (x, y). Получается, что буква z трактуется нами четырьмяспособами в зависимости от обстоятельств!) Понятно, что в G вместо старыхпеременных надо подставить их выражения из (4.5), обозначение z оставляембез изменений, но понимаем как функцию z(u, v).
Остается найти выражениячастных производных ∂z/∂x, ∂z/∂y, ..., но как функции новых переменных u, v.Применяя правило дифференцирования сложной функции, получаем:∂z∂z ∂u ∂z ∂v=·+·;∂x∂u ∂x ∂v ∂x∂z∂z ∂u ∂z ∂v=·+·,∂y∂u ∂y∂v ∂y(1.17)∂vгде слева z = z(x, y), а справа z = z(u, v). Чтобы найти производные ∂u∂x , ∂x ,∂u ∂v∂y , ∂y нужно воспользоваться выражением новых координат через старые, которые, как правило, неизвестны. Однако – и это принципиальный момент впроцедуре замены! – можно продифференцировать выражение старых координат через новые, подразумевая, что последние выражены через старые. Т.е.продифференцировать тождества:∂x ∂u∂v1 = ∂u· ∂x + ∂x∂v · ∂x ,{0 = ∂x · ∂u + ∂x · ∂v ,x ≡ x(u(x, y), v(x, y)),∂u ∂y∂v ∂y⇒(1.18)∂y ∂u∂y ∂vy = y(u(x, y), v(x, y))0=·+∂u ∂x∂v · ∂x ,1 = ∂y · ∂u + ∂y · ∂v .∂u∂y∂v∂y∂xв числителе x = x(u, v) – функция, а вИ еще раз отметим, что в записи ∂uзнаменателе u – независимая переменная; в записи ∂u∂x – наоборот: в числителе u = u(x, y) – функция, а в знаменателе x – независимая переменная.
Из14Я. М. ДЫМАРСКИЙполученной линейной системы 4 × 4 выражаем искомые производные:()()∂u∂x ∂x ∂y ∂y∂v∂x ∂x ∂y ∂y= g1,,,, ... ,= g4,,,.∂x∂u ∂v ∂u ∂u∂y∂u ∂v ∂u ∂u(1.19)∂v∂u ∂vЗамечание 1.2. Ища производные ∂u∂x , ∂x , ∂y , ∂y , мы фактически повторили доказательство формулы (1.5) нахождения производной обратного отображения. Можно сразу найти матрицу Df , затем к ней обратную (Df )−1 =D(f −1 ).Задача 1.1. Пусть новые переменные – полярные координаты, т.е. x =r cos φ, y = r sin φ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
