Лекции Дымарский 3 семестр (1187977), страница 7
Текст из файла (страница 7)
если квадратичная форма d2 LT (x0 , Λ0 ; υ) знаконеопределенная (т.е.∃ υ1 , υ2 ∈ Tx0 S, что d2 LT (x0 , Λ0 ; υ1 ) > 0 ∧ d2 LT (x0 , Λ0 ; υ2 ) < 0), то x0не является точкой локального условного экстремума функции f ;4. если квадратичная форма d2 LT (x0 , Λ0 ; υ) является или положительно, или отрицательно полуопределенной, то x0 может быть точкойлокального условного экстремума (как строгого, так и нестрогого), аможет и не быть таковой.Доказательство. Как было показано в доказательстве теоремы 2.3, экстремальные свойства функции f (x) на S и функции fe(t) совпадают в окрестностяхточек x0 и t0 соответственно (см. (2.4)). Поэтому достаточно проверить выполнение требований теоремы 2.2 для функции fe(t) в точке t0 .
Если мы докажем,29ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ, ТРЕТИЙ СЕМЕСТРчто на касательном пространстве Tx0 S второй дифференциал d2 LT (x0 , Λ0 ; υ)совпадает со вторым дифференциалом d2 fe(t0 , dt), то теорема будет доказана.Уточним, как следует понимать названное совпадение. Поскольку линейноеотображение DΦ(t0 ) порождает касательное пространство Tx0 S и является биекцией на Tx0 S, то любой вектор υ ∈ Tx0 S единственным образом представим в виде υ = DΦ(t0 )dt, где dt ∈ Vn . Совпадение дифференциалов следуетпонимать так:∀dt ∈ Vn ,→ d2 LT (x0 , Λ0 ; DΦ(t0 )dt) = d2 fe(t0 , dt).(2.6)Это тождество по dt нам нужно доказать.Теперь заметим, что, в силу тождества F (Φ(t)) ≡ Oy (п.
1 следствия 1.2),L(Φ(t), Λ0 ) = f (Φ(t)) −m∑λ0i Fi (Φ(t)) = f (Φ(t)) − 0 = fe(t).i=1Поэтому первый дифференциалdfe = d(L(Φ(t), Λ0 )) = (gradx L(Φ(t), Λ0 ), dΦ(t)).По определению второго дифференциала:d2 fe(t, dt) = d(gradx L(Φ(t), Λ0 ), dΦ(t)) =(d(gradx L(Φ(t), Λ0 )), DΦ(t)dt) + (gradx L(Φ(t), Λ0 ), d(DΦ(t))dt =(D2 L(Φ(t), Λ0 ) ◦ DΦ(t)dt, DΦ(t)dt) + (gradx L(Φ(t), Λ0 ), d(DΦ(t))dt).Подставим в полученное выражение второго дифференциала значение t0 . Тогда, в силу (2.5), градиент gradx L(Φ(t0 ), Λ0 ) = gradx L(x0 , Λ0 ) = 0. Поэтомуd2 fe(t0 , dt) = (D2 L(Φ(t0 ), Λ0 ) ◦ DΦ(t0 )dt, DΦ(t0 )dt) = d2 L(x0 , Λ0 ; DΦ(t0 )dt).Поскольку DΦ(t0 )dt ∈ Tx0 S, то, в силу определения, d2 L(x0 , Λ0 ; DΦ(t0 )dt) =d2 LT (x0 , Λ0 ; DΦ(t0 )dt). Значит, тождество (2.6) доказано. В заключение опишем поэтапно процедуру нахождения точек условного экстремума и выяснения их типа.1) Решая систему (2.5), находят все пары (x0 , Λ0 ) ∈ S × Rm , где точка x0 ∈ S– подозрительная на экстремум.2) Находят касательное пространство Tx0 S: решают систему линейныхуравнений DFi (x0 )dx = 0 (i = 1, .
. . , m) относительно неизвестных дифференциалов (dx1 , . . . , dxp ) = dx и выражают m зависимых дифференциалов черезn = p − m независимых (пусть, для определенности, независимы дифференциалы dx1 , . . . , dxn ).3) Находят второй дифференциал d2 L(x0 , Λ0 ; dx) функции Лагранжа в виде∑pсуммы i,j=1 (∂ 2 L(x0 , Λ0 )/∂xi ∂xj )dxi dxj .4) В полученный второй дифференциал подставляют выражения зависимыxдифференциалов dxn+1 , . . .
, dxp через независимые – получают n-мерную квад∑nратичную форму i,j=1 ai,j dxi dxj .5) Выписывают симметрическую матрицу n × n полученной квадратичнойформы и исследуют ее на знакоопределенность с помощью критерия Сильвестра.30Я. М. ДЫМАРСКИЙЗамечание 2.3. Систему нелинейных уравнений F (x) = Oy разрешить какнеявное отображение как правило не удается.
Но линеаризованную системуDF (x0 )dx = 0 решить относительно зависимых дифференциалов можно всегда.ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ, ТРЕТИЙ СЕМЕСТР31§ 3. Кратный интегралПонятие кратного интеграла является многомерным обобщением определенного интеграла Римана на отрезке. Его обоснование опирается на теорию мерыЖордана. .3.1.
Кратный интеграл Римана.А мы, построив свой квартал,Волшебный пишем интеграл.Н.А. Заболоцкий. СобраниезверейНиже приведены обобщения на многомерный случай понятий, введенныхвыше.1. Пусть G ⊂ Rn – измеримое множество. Конечная совокупность P (G) =P := {G1 , ..., GN } непустых измеримых подмножеств называется разбиением множества G, если(a) попарно подмножества пересекаются по множеству нулевой меры:µ(Gi ∩ Gj ) = 0 при i ̸= j;(b) их объединение образует исходное множество: ∪Ni=1 Gi = G.2.
Диаметром произвольного множества G называют супремум расстояний между двумя точками этого множества:diam(G) := sup ρ(x, y).x,y∈GМаксимальный диаметр подмножеств разбиения называют мелкостьюразбиения:p(P ) := max diam(Gi ).i=1,...,N′3. Говорят, что разбиение P является измельчением разбиения P (обозначаем P ≺ P ′ ), если каждое подмножество из P ′ содержится в некотором подмножестве из P : ∀i ∈ {1, ..., N ′ } ∃j ∈ {1, ..., N } : G′i ⊂ Gj .4.
Пусть f : G → R – ограниченная функция. ОбозначимMi (f ) = Mi := sup f (x) < +∞,mi (f ) = mi := inf f (x) > −∞.GiGiНеотрицательная величинаv(f, Gi ) = sup |f (x) − f (y)| = sup f − inf f = Mi − mi > 0x,y∈GiGiGiназывается колебанием функции f на множестве Gi .5. Определим∑Nверхнюю сумму Дарбу SP∗ (f ) = SP∗ := i=1 Mi µ(Gi ) < +∞,∑Nнижнюю сумму Дарбу S∗P (f ) = S∗P := i=1 mi µ(Gi ) > −∞,разность сумм ДарбуVP (f ) :=SP∗− S∗PNN∑∑=(Mi − mi )µ(Pi ) =v(f, Gi ) µ(Gi ) > 0.i=1i=132Я. М.
ДЫМАРСКИЙЛемма 3.1. Свойства разбиения и измельчения:1. мера множестваG равна сумме мер подмножеств из разбиения:∑Nµ(G) = i=1 µ(Gi );2. если P ≺ P ′ , то p(P ′ ) 6 p(P );3. транзитивность измельчения: если P ≺ P ′ и P ′ ≺ P ′′ , то P ≺ P ′′ ;4. для любых двух разбиений существует их общее измельчение:∀P, P ′ ∃P ′′ : P ≺ P ′′ ∧ P ′ ≺ P ′′ ;5.
существует разбиение сколь угодно малой мелкости.Задача 3.1. Докажите пп. 1-3.Доказательство п. 4. В качестве P ′′ можно взять объединение всевозможных попарных пересечений Pi ∩ Pj′ и отбросить пустые пересечения.Доказательство п. 5. Погрузим данное множество в клетку K (т.е. прямоугольный параллелепипед, стороны которого параллельны осям координат).Разобьем клетку с помощью разбиения каждой стороны, добившись требуемоймелкости. Затем пересечем каждый элемент из разбиения клетки с данныммножеством и отбросим пустые пересечения. Определение 3.1.
Схема Дарбу:1. Нижним интегралом Дарбу называется I∗ := supP S∗P ; верхниминтегралом Дарбу называется I ∗ := inf P SP∗ .2. Если I∗ = I ∗ , то ограниченная функция f называется интегрируемойпо Риману на G по схеме Дарбу, а общее значение ID = I∗ = I ∗называется интегралом Римана по схеме Дарбу. Лемма 3.2. (об упорядоченности интегральных сумм и интегралов Дарбу) Для произвольных разбиений P, P ′ справедливы двусторонние оценки−∞ < S∗P 6 I∗ 6 I ∗ 6 SP∗ ′ < +∞.Доказательство повторяет доказательства лемм 2.6.1-2.6.3.Следующее утверждение о связи интегралов Дарбу с мелкостью разбиенияформулируется без изменений (см. лемму 2.6.4), но его доказательство, котороевесьма сложно в многомерном случае, мы опускаем.Лемма 3.3. Для произвольного ε > 0 существует такое δ(ε) > 0, чтодля произвольного разбиения P , у которого мелкость p(P ) < δ, выполняютсяоценки: 0 6 I∗ − S∗P (f ) < ε ∧ 0 6 SP∗ (f ) − I ∗ < ε.Теперь мы можем сформулироватьТеорема 3.1.
(критерии интегрируемости функции по схеме Дарбу)1. Существует интеграл ID ⇔2. ∀ε > 0 ∃P : VP (f ) < ε ⇔3. ∀ε > 0 ∃δ > 0, что разность VP (f ) < ε для любого разбиения P , мелкость которого p(P ) < δ.ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ, ТРЕТИЙ СЕМЕСТР33Доказательство теоремы повторяет доказательство теоремы 2.6.1.Чтобы определить интеграл Римана по схеме Римана, на каждом подмножестве Gi ∈ P выберем произвольную точку ξi ∈ Gi . Объединение этих точек назовем выборкой, подчиненной разбиению P , и обозначим через Ξ ={ξ1 , ..., ξN }.
Интегральной суммой Римана (отвечающей разбиению P ивыборке Ξ) функции f называетсяSP,Ξ (f ) = SP,Ξ :=N∑f (ξi ) µ(Gi ).i=1Определение 3.2. Интегралом Римана по схеме Римана ограниченной функции f называется конечный пределIR = I :=lim SP,Ξ (f ) ∈ R,p(P )→0т.е. такое число I, что∀ε > 0 ∃δ > 0 : (∀P : p(P ) < δ) ∧ (∀Ξ) ,→ |SP,Ξ (f ) − I| < ε.Обозначение:ˆI=ˆf (x)dx =G(3.1)ˆ···f (x1 , ..., xn ) dx1 ...dxn .GЗаметим, что: 1) символ dx не является обозначением дифференциала независимой переменной x ∈ Rn ; 2) символ dx1 ...dxn произведения дифференциалов координат не является таковым в полном смысле слова, хотя в некоторыхслучаях ведет себя как произведение (см. п. 3.5 ниже).
Исходя из происхождения указанных обозначений, их можно понимать как меры “бесконечномалых” элементов разбиения измеримого множества G. Мы будем их называтьдифференциалами меры независимой переменной x.Терминология: 1) при n > 2 интеграл называют кратным, при n = 2 –двойным, при n = 3 – тройным; 2) функцию f называют интегрируемой. Теорема 3.2. (о совпадении интегралов по схемам Дарбу и Римана) Интеграл IR существует тогда и т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
