Главная » Просмотр файлов » Лекции Дымарский 3 семестр

Лекции Дымарский 3 семестр (1187977), страница 11

Файл №1187977 Лекции Дымарский 3 семестр (Лекции Дымарский 3 семестр) 11 страницаЛекции Дымарский 3 семестр (1187977) страница 112020-09-16СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 11)

Остаетсявспомнить, что сдвиг сохраняет меру. П. 1 доказан.Утверждение п. 2 есть следствие того факта, что параллелепипед есть образединичного куба при его отображении матрицей (v1 ...vn ). Замечание 4.3. Утверждение п. 2 для случая n = 2 есть известное из аналитической геометрии правило нахождения площади параллелограмма, а приn = 3 – правило нахождения объема параллелепипеда с помощью смешанногопроизведения.Задача 4.5. Докажите теорему 4.2 для случая вырожденного преобразования L.48Я. М.

ДЫМАРСКИЙ4.2. Геометрический смысл модуля якобиана.Теорема 4.3. Пусть F : Rn ⊃ U → V ⊂ Rn – диффеоморфизм областей.Пусть x0 ∈ U , а t > 0. Рассмотрим n-мерный куб-клетку с вершиной вточке x0 и ребром длины t:Q(x0 , t) = {x = x0 + h ∈ Rn : 0 6 hi 6 t, i = 1, ..., n}.Пусть t настолько мало, что Q(x0 , t) ⊂ U . Тогда:1.

Образ куба F (Q(x0 , t)) является измеримым множеством и справедливо предельное равенство:µ(F (Q(x0 , t)))µ(F (Q(x0 , t)))= lim= |detDF (x0 )|,0t→+0t→+0µ(Q(x , t))tnlim(4.1)т.е. модуль якобиана диффеоморфизма в точке x0 равен коэффициентуизменения меры в данной точке.2. Если замыкание подмножества W ⊂ U , то предел (4.1) равномерен наW , т.е.∀ε > 0 ∃δ : ∀x0 ∈ W ∧ ∀t < δ ,→ |ν(x0 , t)| < ε, гдеν(x0 , t) := |detDF (x0 )| −µ(F (Q(x0 , t))).tnОбсуждение 4.1. В окрестности точки x0 отображение F представимо ввидеF (x) = F (x0 + h) = F (x0 ) + DF (x0 )h + η(x0 , h),где η(x0 , h) = o(|h|) при |h| → 0. Если отбросить остаточный член η, то оставшееся аффинное отображение h → F (x0 ) + DF (x0 )h изменяет меру в точностив |detDF (x0 )| раз (п. 1 теоремы 4.2).

Т.е. смысл теоремы в том, что в пределеневырожденное дифференцируемое отображение искажает меру так же, какего производная.Доказательство. Во-первых, из леммы 4.3 следует измеримость образаF (Q(x0 , t)). Далее, из п. 1 теоремы 4.2 следует, что предельное равенство(4.1) достаточно доказать для отображенияFb(h) := (DF (x0 ))−1 · (F (x0 + h) − F (x0 )) = h + σ(h),где σ(h) = (DF (x0 ))−1 η(x0 , h) = o(|h|) при |h| → 0.Рассмотрим n-мерный куб-клетку с вершиной в начале координат и ребромдлины t: Q(t) = {Rn ∋ h : 0 6 hi 6 t, i = 1, ..., n}.

Обозначим σmax (t) :=maxh∈Q(t) |σ(h)| (определение корректно в силу непрерывности отображенияσ). Из определения отображения Fb следует, что образ куба Fb(Q(t)) целикомсодержится в кубе Qext (t) с ребром [−σmax (t), t + σmax (t)] и целиком содержиткуб Qint (t) с ребром [σmax (t), t − σmax (t)] (рис. 4.1). Следовательноnn(t − 2σmax (t)) 6 µ(Fb(Q(t))) 6 (t + 2σmax (t)) ⇔ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ, ТРЕТИЙ СЕМЕСТР(tnσmax (t)1−2t)n49()nσmax (t)nb6 µ(F (Q(t))) 6 t 1 + 2.tМаксимум σmax (t) = maxh∈Q(t) |σ(h)| достигается в какой-то точке h∗ (t) ∈ Q(t).Если для всех допустимых t > 0 верно |h∗ (t)| > 0, то полученную двустороннююоценку можно записать так:()n()n∗∗|σ(h∗ (t))| |h∗ (t)|b(Q(t))) 6 tn 1 + 2 |σ(h (t))| |h (t)|tn 1 − 26µ(F.|h∗ (t)|t|h∗ (t)|tЕсли же при некотором t̂ > 0 верно |h∗ (t̂)| = 0, то |σ(h∗ (t))| ≡ 0 для всехt ∈ [0, t̂]; в этом случае положим |σ(h∗ (t))|/|h∗ (t)| := 0.

В результате дробь|σ(h∗ (t))|/|h∗ (t)| определена для всех достаточно малых t > 0. Но |h∗ (t)| не√больше диагонали n-мерного куба со стороной t, значит, |h∗ (t)| 6 n · t. Следовательно, при t → +0 верно, что |h∗ (t)| → +0, |σ(h∗ (t))| = o(|h∗ (t)|) и()n)n(µ(Fb(Q(t)))|σ(h∗ (t))| √|σ(h∗ (t))| √61← 1 − 2nn →1. (4.2)6 1+2|h∗ (t)|tn|h∗ (t)|Но и определитель detDFb(0) = det(id) = 1. Значит, равенство (4.1) доказано.xnt¡)F (Q(t ))·-sm ax····t + s maxt - s max ts max·akCjc (jl )x1Рис. 4.2Рис. 4.1Докажем второе утверждение. Умножим оценку (4.2) на |detDF (x0 )|. Изтеоремы 4.2, бинома Ньютона и определения малого отображения ϵ следует,что иследуемая разность допускает оценку()kn∑µ(F (Q(x0 , t))) |σ(h∗ (t))| √0k k0Cn 2n6|detDF (x )| − 6 |detDF (x )|tn|h∗ (t)|k=1|detDF (x )|0n∑k=1(Cnk 2k||DF −1 (x0 )|| · |η(x0 , h∗ (t))| √n|h∗ (t)|)k650Я.

М. ДЫМАРСКИЙ|η(x0 , h∗ (t))||h∗ (t)|(|η(x0 , h∗ (t))|C1 + C2+ ... + Cn|h∗ (t)|(|η(x0 , h∗ (t))||h∗ (t)|)n−1 ),(4.3)где положительные коэффициенты Ck непрерывно зависят от определителя′detDF (x0 ), нормы ||DF −1 (x0 )|| и размерности пространства n, причем x0 ∈ U .′Поскольку отображение принадлежит классу C 1 , на компактном множестве Uкоэффициенты Ck ограничены.Обозначим через Ball(r, 0) ⊂ Rn шар радиуса r с центром в нуле. Радиус r′выбран настолько малым, чтобы точки x + h ∈ U при (x, h) ∈ U × Ball(r, 0)′(компактность множества U гарантирует, что такой радиус существует).Исследуем числовую функцию от двух векторных переменных′ω : U × Ball(r, 0) → R,ω(x, h) :=|F (x + h) − F (x) − DF (x)h||η(x, h)|=при h ̸= 0 ∧ ω(x, 0) := 0.|h||h|Мы утверждаем, что функция ω всюду непрерывна.

Собственно, в доказательстве нуждается непрерывность в точках вида (x0 , 0). Докажем, что lim ω(x, h) =ω(x0 , 0) = 0 при (x, h) → (x0 , 0). С этой целью осуществим оценку сверху:ω(x, h) =|F (x + h) − F (x) − DF (x)h|6|h||(F (x + h) − F (x0 + h)) − (F (x) − F (x0 )) − (DF (x)h − DF (x0 )h)|+|h|+|F (x0 + h) − F (x0 ) − DF (x0 )h|6|h||(F (x + h) − F (x0 + h)) − (F (x) − F (x0 ))||η(x0 , h)|+ ||(DF (x) − DF (x0 ))|| +.|h||h|Последнее слагаемое не зависит от переменной x и стремится к нулю приh → 0 в силу определения отображения η(x0 , h). Второе слагаемое не зависит от переменной h и стремится к нулю при x → x0 в силу непрерывнойдифференцируемости отображения F . Первое слагаемое зависит от пары переменных (x, h).

Для его исследования введем дифференцируемое отображение∆F (x, h) := F (x + h) − F (x0 + h). Его производная по второму аргументу вточке (x, h) равна: D2 (∆F )(x, h) = DF (x + h) − DF (x0 + h). Заметим, что∆F (x, h) − ∆F (x, 0) = (F (x + h) − F (x0 + h)) − (F (x) − F (x0 )).Поэтому|∆F (x, h) − ∆F (x, 0)||(F (x + h) − F (x0 + h)) − (F (x) − F (x0 ))|=6|h||h|||D2 (∆F )(x, θh)|| · |h|= ||DF (x + θh) − DF (x0 + θh)||, где θ ∈ (0, 1).|h|51ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ, ТРЕТИЙ СЕМЕСТРНо ||DF (x + θh) − DF (x0 + θh)|| → 0 при (x, h) → (x0 , 0), опять же в силунепрерывной дифференцируемости F .′Значит, функция ω непрерывна на компактном множестве U ×Ball(r, 0).

Изтеоремы Кантора следует, что она равномерно непрерывна. Поэтому выраже′ние в скобках в оценке (4.3) равномерно ограничено на U × Ball(r, 0). Теперь,из равномерной непрерывности функции ω, в силу оценки (4.3), следует второеутверждение теоремы 4.3. 4.3. Формула замены переменной в кратном интеграле. Нам потребуетсяЛемма 4.5. (о погружении множества нулевой меры в кубы-клетки) Пустьклетка-куб Qa = [0, a]n ⊂ Rn содержит множество нулевой меры Υ ⊂ Q.nПусть ∪ki=1 qi (k) = Qa – разбиение куба на “малые” кубы-клетки со сторонойa/k k ∈ N. Обозначим через Ik (Υ) объединение всех таких номеров i кубовqi , которые пересекаются с Υ. Тогда( ∪)∀ε > 0 ∃k0 : ∀k > k0 ,→ µqi < ε.i∈Ik (Υ)Обсуждение 4.2. По определению, множество нулевой меры может бытьпогружено в клеточное множество сколь угодно малой меры.

В лемме сформулировано более тонкое свойство: если клетку, которая содержит множествомеры ноль, разбивать на равные “малые” кубы так, чтобы мелкость разбиениястремилась к нулю, то автоматически множество нулевой меры будет погружено в клеточное множество сколь угодно малой меры.Доказательство. Погрузим множество Υ в некоторое фиксированное клеточное множество C = ∪Nj=1 Cj ⊂ Qa меры ε/2. Оценим меру объединения∪i∈Ik (Υ) qi (k) всех тех малых кубов qi (k), которые могут пересечься с C.

Пусть(l)Cj ∩ qi (k) ̸= ∅, где клетка Cj имеет размеры cj (l = 1, ..., n). Тогда клетка-кубqi (k) наверняка целиком принадлежит “раздутой” клетке Cj′ с размерами cj +2a/k (рис. 4.2). Мера последней равна()()( )2a2a2a(1)(n)(1)(n)(n−1)′µ(Cj ) = cj +· ... · cj += cj · ... · cj + Pj, (4.4)kkk(l)(1)(n)(n)где cj · ... · cj = µ(Cj ), а Pj (2a/k) – многочлен по переменной 2a/k степени n, у которого все коэффициенты положительны, а свободный член равен(n)(n−1)(n−1)нулю. Поэтому Pj (2a/k) = (1/k)Rj(1/k), где Rj(1/k) – многочлен постепеням 1/k степени n−1 с положительными коэффициентами, которые опре(i)(n−1)деляются константами cj и a.

Значит, Rj(1/k) < Rj , где Rj некотораяконстанта.Получаем, чтоN∪∪Υ⊂qi (k) ⊂Cj′i∈Ik (Υ)j=152Я. М. ДЫМАРСКИЙи( ∪µi∈Ik (Υ)NNN)(∪) ∑∑1ε εqi 6 µCj′ 6µ(Cj′ ) 6 µ(C) +Rj < + = ε,k22j=1j=1j=1если натуральное k выбрано достаточно большим. Перейдем к основному утверждению:Теорема 4.4. (о замене переменных) Пусть F : Rn ⊃ U → V ⊂ Rn –диффеоморфизм областей. Пусть X ⊂ U – измеримое компактное подмножество, а Y = F (X). Пусть f : Y → R – непрерывная функция.

Тогдаˆˆf (y)dy = f (F (x)) |detDF (x)| dx.(4.5)YXДоказательство. Прежде всего заметим, что оба интеграла в равенстве (4.5)существуют: подынтегральные функции непрерывны, множество X измеримопо условию, а множество Y = F (X) измеримо в силу леммы 4.3. Поэтомулюбые последовательности разбиений множеств X и Y , у которых мелкостистремятся к нулю, устремляют интегральные суммы Римана к соответствующим интегралам из (4.5).Погрузим множество X в клетку-куб Qa .

Рассмотрим разбиение кубаnQa = ∪ki=1 qi (k) на малые кубы-клетки со стороной a/k k ∈ N. Все клеткиразбиваются на три класса: 1) не пересекающиеся с X = X, 2) пересекающиесяс границей ∂X, 3) целиком принадлежащие внутренности Int(X) (рис. 4.3).∪Клетки из первого класса нас не интересуют. Объединение i∈Ik (∂X) qi всехклеток из второго класса имеет сколь угодно малую меру, если k достаточновелико (лемма 4.5). Выберем в каждой клетке qi , где i ∈ Ik (∂X), произвольнуюточку ξi ∈ qi ∩ X, составим для этих клеток интегральную сумму Римана иоценим ее модуль, опираясь на лемму 4.5: ∑f (F (ξi )) |detDF (ξi )| µ(qi ∩ X) 6i∈Ik (∂X)(max |f (y)| · max |detDF (x)| · µy∈Yx∈X∪)qi→ 0 при k → ∞;(4.6)i∈Ik (∂X)в оценке (4.6) мы воспользовались непрерывностью функции f , непрерывностью производной DF , компактностью множества X и компактностью образаY = F (X).Обозначим через Jk (Int(X)) объединение всех таких номеров i кубов qi , которые принадлежат третьему классу, т.е.

qi ⊂ Int(X). Выберем в каждойклетке qi ⊂ Int(X) точку ξi ∈ qi с минимальным набором координат. (Еслиn = 2, то это будет точка в левом нижнем углу, см. рис. 4.3. Такой выборточки ξi ∈ qi позволит нам использовать теорему 4.2.) Тогда, с учетом (4.6),для интегральной суммы Римана получим предельное равенство:ˆ∑f (F (x)) |detDF (x)| dx = lim f (F (ξi )) |detDF (ξi )| µ(qi ∩ X) +k→∞Xi∈Ik (∂X)ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ, ТРЕТИЙ СЕМЕСТР53∑f (F (ξi )) |detDF (ξi )| µ(qi ) =i∈Jk (Int(X))∑limk→∞f (F (ξi )) |detDF (ξi )| µ(qi ).(4.7)i∈Jk (Int(X))Таким образом, интеграл по X является пределом интегральной суммы Риманатолько по внутренним кубам разбиения.¶XvzW·xi¶W¶Qya¢QXrnbMnintqiQ urGTA MArtxuQaРис. 4.4Рис. 4.3Перейдем к интегралу в левой части равенства (4.5). Отображение F порожnдает разбиение множества Y = ∪ki=1 (F (qi (k)) ∩ Y ) на “криволинейные” кубы.Из п.

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
1,04 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов лекций

Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6487
Авторов
на СтудИзбе
303
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее