Лекции Дымарский 3 семестр (1187977), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Остаетсявспомнить, что сдвиг сохраняет меру. П. 1 доказан.Утверждение п. 2 есть следствие того факта, что параллелепипед есть образединичного куба при его отображении матрицей (v1 ...vn ). Замечание 4.3. Утверждение п. 2 для случая n = 2 есть известное из аналитической геометрии правило нахождения площади параллелограмма, а приn = 3 – правило нахождения объема параллелепипеда с помощью смешанногопроизведения.Задача 4.5. Докажите теорему 4.2 для случая вырожденного преобразования L.48Я. М.
ДЫМАРСКИЙ4.2. Геометрический смысл модуля якобиана.Теорема 4.3. Пусть F : Rn ⊃ U → V ⊂ Rn – диффеоморфизм областей.Пусть x0 ∈ U , а t > 0. Рассмотрим n-мерный куб-клетку с вершиной вточке x0 и ребром длины t:Q(x0 , t) = {x = x0 + h ∈ Rn : 0 6 hi 6 t, i = 1, ..., n}.Пусть t настолько мало, что Q(x0 , t) ⊂ U . Тогда:1.
Образ куба F (Q(x0 , t)) является измеримым множеством и справедливо предельное равенство:µ(F (Q(x0 , t)))µ(F (Q(x0 , t)))= lim= |detDF (x0 )|,0t→+0t→+0µ(Q(x , t))tnlim(4.1)т.е. модуль якобиана диффеоморфизма в точке x0 равен коэффициентуизменения меры в данной точке.2. Если замыкание подмножества W ⊂ U , то предел (4.1) равномерен наW , т.е.∀ε > 0 ∃δ : ∀x0 ∈ W ∧ ∀t < δ ,→ |ν(x0 , t)| < ε, гдеν(x0 , t) := |detDF (x0 )| −µ(F (Q(x0 , t))).tnОбсуждение 4.1. В окрестности точки x0 отображение F представимо ввидеF (x) = F (x0 + h) = F (x0 ) + DF (x0 )h + η(x0 , h),где η(x0 , h) = o(|h|) при |h| → 0. Если отбросить остаточный член η, то оставшееся аффинное отображение h → F (x0 ) + DF (x0 )h изменяет меру в точностив |detDF (x0 )| раз (п. 1 теоремы 4.2).
Т.е. смысл теоремы в том, что в пределеневырожденное дифференцируемое отображение искажает меру так же, какего производная.Доказательство. Во-первых, из леммы 4.3 следует измеримость образаF (Q(x0 , t)). Далее, из п. 1 теоремы 4.2 следует, что предельное равенство(4.1) достаточно доказать для отображенияFb(h) := (DF (x0 ))−1 · (F (x0 + h) − F (x0 )) = h + σ(h),где σ(h) = (DF (x0 ))−1 η(x0 , h) = o(|h|) при |h| → 0.Рассмотрим n-мерный куб-клетку с вершиной в начале координат и ребромдлины t: Q(t) = {Rn ∋ h : 0 6 hi 6 t, i = 1, ..., n}.
Обозначим σmax (t) :=maxh∈Q(t) |σ(h)| (определение корректно в силу непрерывности отображенияσ). Из определения отображения Fb следует, что образ куба Fb(Q(t)) целикомсодержится в кубе Qext (t) с ребром [−σmax (t), t + σmax (t)] и целиком содержиткуб Qint (t) с ребром [σmax (t), t − σmax (t)] (рис. 4.1). Следовательноnn(t − 2σmax (t)) 6 µ(Fb(Q(t))) 6 (t + 2σmax (t)) ⇔ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ, ТРЕТИЙ СЕМЕСТР(tnσmax (t)1−2t)n49()nσmax (t)nb6 µ(F (Q(t))) 6 t 1 + 2.tМаксимум σmax (t) = maxh∈Q(t) |σ(h)| достигается в какой-то точке h∗ (t) ∈ Q(t).Если для всех допустимых t > 0 верно |h∗ (t)| > 0, то полученную двустороннююоценку можно записать так:()n()n∗∗|σ(h∗ (t))| |h∗ (t)|b(Q(t))) 6 tn 1 + 2 |σ(h (t))| |h (t)|tn 1 − 26µ(F.|h∗ (t)|t|h∗ (t)|tЕсли же при некотором t̂ > 0 верно |h∗ (t̂)| = 0, то |σ(h∗ (t))| ≡ 0 для всехt ∈ [0, t̂]; в этом случае положим |σ(h∗ (t))|/|h∗ (t)| := 0.
В результате дробь|σ(h∗ (t))|/|h∗ (t)| определена для всех достаточно малых t > 0. Но |h∗ (t)| не√больше диагонали n-мерного куба со стороной t, значит, |h∗ (t)| 6 n · t. Следовательно, при t → +0 верно, что |h∗ (t)| → +0, |σ(h∗ (t))| = o(|h∗ (t)|) и()n)n(µ(Fb(Q(t)))|σ(h∗ (t))| √|σ(h∗ (t))| √61← 1 − 2nn →1. (4.2)6 1+2|h∗ (t)|tn|h∗ (t)|Но и определитель detDFb(0) = det(id) = 1. Значит, равенство (4.1) доказано.xnt¡)F (Q(t ))·-sm ax····t + s maxt - s max ts max·akCjc (jl )x1Рис. 4.2Рис. 4.1Докажем второе утверждение. Умножим оценку (4.2) на |detDF (x0 )|. Изтеоремы 4.2, бинома Ньютона и определения малого отображения ϵ следует,что иследуемая разность допускает оценку()kn∑µ(F (Q(x0 , t))) |σ(h∗ (t))| √0k k0Cn 2n6|detDF (x )| − 6 |detDF (x )|tn|h∗ (t)|k=1|detDF (x )|0n∑k=1(Cnk 2k||DF −1 (x0 )|| · |η(x0 , h∗ (t))| √n|h∗ (t)|)k650Я.
М. ДЫМАРСКИЙ|η(x0 , h∗ (t))||h∗ (t)|(|η(x0 , h∗ (t))|C1 + C2+ ... + Cn|h∗ (t)|(|η(x0 , h∗ (t))||h∗ (t)|)n−1 ),(4.3)где положительные коэффициенты Ck непрерывно зависят от определителя′detDF (x0 ), нормы ||DF −1 (x0 )|| и размерности пространства n, причем x0 ∈ U .′Поскольку отображение принадлежит классу C 1 , на компактном множестве Uкоэффициенты Ck ограничены.Обозначим через Ball(r, 0) ⊂ Rn шар радиуса r с центром в нуле. Радиус r′выбран настолько малым, чтобы точки x + h ∈ U при (x, h) ∈ U × Ball(r, 0)′(компактность множества U гарантирует, что такой радиус существует).Исследуем числовую функцию от двух векторных переменных′ω : U × Ball(r, 0) → R,ω(x, h) :=|F (x + h) − F (x) − DF (x)h||η(x, h)|=при h ̸= 0 ∧ ω(x, 0) := 0.|h||h|Мы утверждаем, что функция ω всюду непрерывна.
Собственно, в доказательстве нуждается непрерывность в точках вида (x0 , 0). Докажем, что lim ω(x, h) =ω(x0 , 0) = 0 при (x, h) → (x0 , 0). С этой целью осуществим оценку сверху:ω(x, h) =|F (x + h) − F (x) − DF (x)h|6|h||(F (x + h) − F (x0 + h)) − (F (x) − F (x0 )) − (DF (x)h − DF (x0 )h)|+|h|+|F (x0 + h) − F (x0 ) − DF (x0 )h|6|h||(F (x + h) − F (x0 + h)) − (F (x) − F (x0 ))||η(x0 , h)|+ ||(DF (x) − DF (x0 ))|| +.|h||h|Последнее слагаемое не зависит от переменной x и стремится к нулю приh → 0 в силу определения отображения η(x0 , h). Второе слагаемое не зависит от переменной h и стремится к нулю при x → x0 в силу непрерывнойдифференцируемости отображения F . Первое слагаемое зависит от пары переменных (x, h).
Для его исследования введем дифференцируемое отображение∆F (x, h) := F (x + h) − F (x0 + h). Его производная по второму аргументу вточке (x, h) равна: D2 (∆F )(x, h) = DF (x + h) − DF (x0 + h). Заметим, что∆F (x, h) − ∆F (x, 0) = (F (x + h) − F (x0 + h)) − (F (x) − F (x0 )).Поэтому|∆F (x, h) − ∆F (x, 0)||(F (x + h) − F (x0 + h)) − (F (x) − F (x0 ))|=6|h||h|||D2 (∆F )(x, θh)|| · |h|= ||DF (x + θh) − DF (x0 + θh)||, где θ ∈ (0, 1).|h|51ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ, ТРЕТИЙ СЕМЕСТРНо ||DF (x + θh) − DF (x0 + θh)|| → 0 при (x, h) → (x0 , 0), опять же в силунепрерывной дифференцируемости F .′Значит, функция ω непрерывна на компактном множестве U ×Ball(r, 0).
Изтеоремы Кантора следует, что она равномерно непрерывна. Поэтому выраже′ние в скобках в оценке (4.3) равномерно ограничено на U × Ball(r, 0). Теперь,из равномерной непрерывности функции ω, в силу оценки (4.3), следует второеутверждение теоремы 4.3. 4.3. Формула замены переменной в кратном интеграле. Нам потребуетсяЛемма 4.5. (о погружении множества нулевой меры в кубы-клетки) Пустьклетка-куб Qa = [0, a]n ⊂ Rn содержит множество нулевой меры Υ ⊂ Q.nПусть ∪ki=1 qi (k) = Qa – разбиение куба на “малые” кубы-клетки со сторонойa/k k ∈ N. Обозначим через Ik (Υ) объединение всех таких номеров i кубовqi , которые пересекаются с Υ. Тогда( ∪)∀ε > 0 ∃k0 : ∀k > k0 ,→ µqi < ε.i∈Ik (Υ)Обсуждение 4.2. По определению, множество нулевой меры может бытьпогружено в клеточное множество сколь угодно малой меры.
В лемме сформулировано более тонкое свойство: если клетку, которая содержит множествомеры ноль, разбивать на равные “малые” кубы так, чтобы мелкость разбиениястремилась к нулю, то автоматически множество нулевой меры будет погружено в клеточное множество сколь угодно малой меры.Доказательство. Погрузим множество Υ в некоторое фиксированное клеточное множество C = ∪Nj=1 Cj ⊂ Qa меры ε/2. Оценим меру объединения∪i∈Ik (Υ) qi (k) всех тех малых кубов qi (k), которые могут пересечься с C.
Пусть(l)Cj ∩ qi (k) ̸= ∅, где клетка Cj имеет размеры cj (l = 1, ..., n). Тогда клетка-кубqi (k) наверняка целиком принадлежит “раздутой” клетке Cj′ с размерами cj +2a/k (рис. 4.2). Мера последней равна()()( )2a2a2a(1)(n)(1)(n)(n−1)′µ(Cj ) = cj +· ... · cj += cj · ... · cj + Pj, (4.4)kkk(l)(1)(n)(n)где cj · ... · cj = µ(Cj ), а Pj (2a/k) – многочлен по переменной 2a/k степени n, у которого все коэффициенты положительны, а свободный член равен(n)(n−1)(n−1)нулю. Поэтому Pj (2a/k) = (1/k)Rj(1/k), где Rj(1/k) – многочлен постепеням 1/k степени n−1 с положительными коэффициентами, которые опре(i)(n−1)деляются константами cj и a.
Значит, Rj(1/k) < Rj , где Rj некотораяконстанта.Получаем, чтоN∪∪Υ⊂qi (k) ⊂Cj′i∈Ik (Υ)j=152Я. М. ДЫМАРСКИЙи( ∪µi∈Ik (Υ)NNN)(∪) ∑∑1ε εqi 6 µCj′ 6µ(Cj′ ) 6 µ(C) +Rj < + = ε,k22j=1j=1j=1если натуральное k выбрано достаточно большим. Перейдем к основному утверждению:Теорема 4.4. (о замене переменных) Пусть F : Rn ⊃ U → V ⊂ Rn –диффеоморфизм областей. Пусть X ⊂ U – измеримое компактное подмножество, а Y = F (X). Пусть f : Y → R – непрерывная функция.
Тогдаˆˆf (y)dy = f (F (x)) |detDF (x)| dx.(4.5)YXДоказательство. Прежде всего заметим, что оба интеграла в равенстве (4.5)существуют: подынтегральные функции непрерывны, множество X измеримопо условию, а множество Y = F (X) измеримо в силу леммы 4.3. Поэтомулюбые последовательности разбиений множеств X и Y , у которых мелкостистремятся к нулю, устремляют интегральные суммы Римана к соответствующим интегралам из (4.5).Погрузим множество X в клетку-куб Qa .
Рассмотрим разбиение кубаnQa = ∪ki=1 qi (k) на малые кубы-клетки со стороной a/k k ∈ N. Все клеткиразбиваются на три класса: 1) не пересекающиеся с X = X, 2) пересекающиесяс границей ∂X, 3) целиком принадлежащие внутренности Int(X) (рис. 4.3).∪Клетки из первого класса нас не интересуют. Объединение i∈Ik (∂X) qi всехклеток из второго класса имеет сколь угодно малую меру, если k достаточновелико (лемма 4.5). Выберем в каждой клетке qi , где i ∈ Ik (∂X), произвольнуюточку ξi ∈ qi ∩ X, составим для этих клеток интегральную сумму Римана иоценим ее модуль, опираясь на лемму 4.5: ∑f (F (ξi )) |detDF (ξi )| µ(qi ∩ X) 6i∈Ik (∂X)(max |f (y)| · max |detDF (x)| · µy∈Yx∈X∪)qi→ 0 при k → ∞;(4.6)i∈Ik (∂X)в оценке (4.6) мы воспользовались непрерывностью функции f , непрерывностью производной DF , компактностью множества X и компактностью образаY = F (X).Обозначим через Jk (Int(X)) объединение всех таких номеров i кубов qi , которые принадлежат третьему классу, т.е.
qi ⊂ Int(X). Выберем в каждойклетке qi ⊂ Int(X) точку ξi ∈ qi с минимальным набором координат. (Еслиn = 2, то это будет точка в левом нижнем углу, см. рис. 4.3. Такой выборточки ξi ∈ qi позволит нам использовать теорему 4.2.) Тогда, с учетом (4.6),для интегральной суммы Римана получим предельное равенство:ˆ∑f (F (x)) |detDF (x)| dx = lim f (F (ξi )) |detDF (ξi )| µ(qi ∩ X) +k→∞Xi∈Ik (∂X)ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ, ТРЕТИЙ СЕМЕСТР53∑f (F (ξi )) |detDF (ξi )| µ(qi ) =i∈Jk (Int(X))∑limk→∞f (F (ξi )) |detDF (ξi )| µ(qi ).(4.7)i∈Jk (Int(X))Таким образом, интеграл по X является пределом интегральной суммы Риманатолько по внутренним кубам разбиения.¶XvzW·xi¶W¶Qya¢QXrnbMnintqiQ urGTA MArtxuQaРис. 4.4Рис. 4.3Перейдем к интегралу в левой части равенства (4.5). Отображение F порожnдает разбиение множества Y = ∪ki=1 (F (qi (k)) ∩ Y ) на “криволинейные” кубы.Из п.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
