Лекции Дымарский 3 семестр (1187977), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Если кривая задана явно y = φ(x), то из формулы заменыпеременной следует, чтоˆˆbP dx + Qdy =γ(P (x, φ(x)) + Q(x, φ(x))φ′ (x))dx.(5.1)aТеорема 5.1. (формула Грина для односвязной области) Пусть G ⊂ R2– односвязная область, вектор-функция f(x, y) = (P (x, y), Q(x, y))T принадлежит классу C 1 (G), γ ⊂ G – положительно ориентированная замкнутаякусочно-гладкая кривая, ограничивающая область Ω ⊂ G (т.е. γ = ∂Ω).
Тогдасправедлива формула Грина)˛¨ (∂Q(x, y) ∂P (x, y)P dx + Qdy =−dxdy.(5.2)∂x∂yΩ∂ΩОбсуждение 5.2. Сравним формулу (5.2) с формулой Ньютона-Лейбница:ˆˆbf (x)dx =aabF ′ (x)dx = F (b) − F (a), где F ∈ C 1 [a, b].ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ, ТРЕТИЙ СЕМЕСТР59Последнюю мы привыкли трактовать так: интеграл непрерывной функции fпо отрезку равен “интегралу” от ее первообразной F по ориентированной границе отрезка.
Поскольку на отрезке любая непрерывная функция имеет первообразную, кажется, что только такая трактовка представляет интерес. Однаков случае функции нескольких переменных понятие первообразной отсутствует,но сохраняется понятие дифференцирования; точнее сказать, понятие дифференциального оператора. Формулы Ньютона-Лейбница и Грина единообразноследует понимать так: интегрирование данной функции по краю можно заменить интегрированием по внутренности, применив к данной функции специальный дифференциальный оператор.Доказательство.
Предположим, дополнительно, что область Ω элементарнаотносительно обеих координатных осей. Т.е. существуют такие непрерывныефункции φ(x), ψ(x) (x ∈ [a, b]) и α(y), β(y) (y ∈ [c, d]), что (см. рис. 5.3)Ω = {(x, y) : x ∈ (a, b), φ(x) < y < ψ(x)} = {(x, y) : y ∈ (c, d), α(y) < x < β(y)}.Переходя от двойного интеграла к повторному, получаем для второго слагаемогоˆ ˆˆ b ˆ ψ(x)∂P (x, y)∂P (x, y)−dxdy = −dxdy =∂y∂yΩaφ(x)ˆˆbbP (x, φ(x))dx −aˆ^ABCDP dx +ˆˆgDEP dx +P (x, ψ(x))dx =a^EFMNˆP dx +ˆgNAP dx =P dx.∂ΩПереходя от интегралов по отрезку [a, b] к криволинейным интегралам, мыучли, во-первых, формулу (5.1) (взяв Q ≡ 0) и, во-вторых, что на вертикальныхотрезках DE и N A интеграл обнуляется, поскольку дифференциал dx = 0.GDGr (y )WGr (j )W11CA2W2BРис.
5.3Рис. 5.4Рис. 5.5´´´Аналогично доказывается, что(∂Q/∂x)dxdy = ∂Ω Qdy. Что доказываетΩформулу (5.2).Теперь рассмотрим случай, когда область Ω не является элементарной, ноg ее можно разбить на две подобласти Ω1 и Ω2 ,кусочно-гладкой кривой ACкаждая из которыхявляется элементарнойотносительно обеих осей (рис. 5.4).´´Поскольку CAg P dx + Qdy = − ACg P dx + Qdy, КИВР (в силу аддитивности)60Я. М. ДЫМАРСКИЙпредставим как сумма интегралов, к каждому из которых можно применитьформулу (5.2):ˆˆˆP dx + Qdy =P dx + Qdy +P dx + Qdy =∂Ω(ˆ^ABC^ABCˆP dx + Qdy +gCA) (ˆP dx + Qdy +ˆˆ^CDAgACP dx + Qdy +(ˆ ˆΩ1∂Q ∂P−∂x∂y∂Ω1)(ˆ ˆdxdy +Ω2)ˆP dx + Qdy +^CDAP dx + Qdy=P dx + Qdy =∂Ω2∂Q ∂P−∂x∂y)ˆ ˆ (dxdy =Ω∂Q ∂P−∂x∂y)dxdy.Индукцией утверждение теоремы доказывается в том случае, когда Ω можноразбить кусочно-гладкими дугами на конечное количество областей, которыеэлементарны относительно обеих осей.Доказательство формулы Грина для общего случая опускаем в виду его громоздкости.
Теорема 5.2. (формула Грина для многосвязной области) Пусть, по-прежнему, G – односвязная область, а вектор-функция f(x, y) = (P (x, y), Q(x, y))Tпринадлежит классу C 1 (G). Пусть Ω ⊂ G – N -связная область, ограниченная кусочно-гладкими замкнутыми кривыми: внешней γ и внутренними γi(i = 1, ..., N − 1).
Пусть граница ∂Ω = γ ∪ γ1 ∪ ... ∪ γN −1 ориентирована правымобразом. В этом случае формула (5.2) остается верной:)ˆ¨ (∂Q(x, y) ∂P (x, y)P dx + Qdy =−dxdy.(5.3)∂x∂yγ∪γ1 ∪...∪γN −1ΩДокажем утверждение для двусвязной области (т.е. N = 2). С помощьюg CDg область Ω разбивается на две односвязные облакусочно-гладких дуг AB,сти Ω1 и Ω2 ; доказательство существования таких дуг опускаем, ограничившисьрис.
5.5. Для каждой области Ωi (i = 1, 2) запишем формулу (5.2) Грина исложимполученныеравенства.Воспользовавшись ориентированностью КИВР´´´´=−,=−,получимформулу (5.3).ggggABBACDDCЗадача 5.1. Воспользовавшись рис. 5.5, завершите доказательство утверждения.Индукцией формула Грина доказывается для произвольного N ∈ N.
Из формулы Грина сразу получаемСледствие 5.1. (о площади плоской области) Площадь (мера) плоской области Ω, которая ограничена кусочно-гладкой кривой ∂Ω, вычисляется по формуламˆˆ ˆˆˆ1xdy − ydx.(5.4)S(Ω) =dxdy :=xdy = −ydx =2 ∂ΩΩ∂Ω∂ΩЗадача 5.2. Докажите формулы (5.4).ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ, ТРЕТИЙ СЕМЕСТР61§ 6. Поверхностные интегралыПоверхностные интегралы первого и второго рода (ПИПР и ПИВР) являются двумерными аналогами криволинейных интегралов первого и второго рода.6.1. Кусочно-гладкие поверхности.Как ни крой,швы наружу выйдутПословицаНапомним (см. п. 1.6), что простой гладкой (двумерной) поверхностью втрехмерном пространстве (ПГП) мы называем образ M = Im(Φ) ⊂ R3 инъективного гладкого отображения Φ плоской области G ⊂ R2 ; причем в каждойточке (u, v) ∈ G ранг матрицы rank(DΦ(u, v)) = 2 максимален. Нам удоб−→но задавать поверхность отображением r : G → V3 , где r(u, v) = OΦ(u, v) –радиус-вектор точки Φ(u, v) (рис.
6.1). В дальнейшем мы не различаем точку и ее радиус-вектор. Касательная плоскость TA M = Im(Dr(u, v)) к M вточке A = r(u, v) порождена линейно независимыми векторами частных производных, т.е. пара {r′u (u, v), r′v (u, v)} является базисом в TA M . Трехмерностьобъемлющего пространства позволяет использовать, кроме скалярного, векторное и смешанное произведения. Так, ортогональное дополнение NA M (см.следствие 1.2) представляет собой одномерное подпространство, порожденноевекторным произведением N(A) := r′u (u, v) × r′v (u, v).
Из курса аналитическойгеометрии известно, что площадь (мера) параллелограмма P ar(u, v), построенного на векторах r′u (u, v), r′v (u, v), равна модулю векторного произведения:µ(P ar(u, v)) = |N(A)|.Нам понадобятся расширения понятия ПГП.Определение 6.1. Пусть Ω ⊂ R2 – плоская область, замыкание которойΩ ⊂ G, а граница ∂Ω является кусочно-гладкой замкнутой кривой. ОбразΘ := r(Ω) называется ПГП с краем или куском. Краем куска называетсяобраз границы плоской области: ∂Θ := r(∂Ω). Точки, не принадлежащие краю,называют точками гладкости (рис. 6.1).
uurdSqˆijAijdvqqijijQijrРис. 6.1rv'qi'urCi62Я. М. ДЫМАРСКИЙПримеры 6.1. кусков: полусфера с краем, многоугольник;Замечание 6.1. Поскольку Ω ⊂ G, кусок принадлежит ПГП M = r(G), аего край ∂Θ является пространственной кусочно-гладкой замкнутой кривой,т.е. конечным объединением краевых дуг ∂Θ = ∪i θi , которые правильно состыкованы в концах Ci . Край поверхности совпадает с ее границей в том случае, когда поверхность плоская, т.е.
принадлежит выделенной фиксированнойплоскости. Заметим, что поверхность, принадлежащая пространству, не имеетвнутренних точек – она вся состоит из граничных точек! Традиционно крайповерхности обозначают как границу, что не приводит к путанице.Результатом “правильно сшитых” кусков является следующее понятие:Определение 6.2. Кусочно-гладкой поверхностью (КГП) Π = ∪Ii=1 Θiкоторое удовлетворяет условиям:1. два произвольных куска могут пересекаться или по нескольким общимкраевым дугам θi,j ⊂ Θi (соседние куски) и нескольким общим концамдуг Ci,j , или только по нескольким общим концам дуг;2.
для любых двух произвольных кусков Θi , Θk существует связывающийих набор соседних кусков: Θi соседствует с Θi1 , который соседствует сΘi2 , ... , который соседствует с Θk .3. три различных куска могут пересекаться не более, чем в концах дуг. Возможные случаи правильно сшитых кусков и неправильно сшитых изображены на рис. 6.2. Для всех точек гладкости кусков Θi определено понятиекасательной плоскости к КГП и понятие нормали к ней.
“Реализацией” понятия КГП является одежда, сшитая из нескольких кусков ткани.Определение 6.3. Край КГП, если он не пуст, есть (конечное) объединение тех краевых дуг, которые НЕ являются общими для соседних кусков.Обсуждение 6.1. В силу определения, край КГП является кусочно-гладкойкривой. Примем без доказательства, что край КГП есть конечное объединениезамкнутых кусочно-гладких кривых.nРис. 6.2Примеры 6.2.
кусочно-гладких поверхностей: двугранный угол, поверхность многогранника, коническая поверхность с краем, цилиндрическая поверхность с краем Cyl = S 1 × [0, 1] (край – несвязное объединение двух окружностей), лист Мебиуса с краем (а что собой представляет край листа Мебиуса?).ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ, ТРЕТИЙ СЕМЕСТР63Задача 6.1. Разрежьте перечисленные КГП на куски.6.2. Поверхностный интеграл первого рода.Когда я упал пред тобой,охвативТуман этот, лед этот, этуповерхностьБ.Л. Пастернак.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
