Кавчук С.В. Сборник примеров и задач по теории сигналов (2001) (1186343), страница 16
Текст из файла (страница 16)
e2R y( τ )T. α . ( α 2. τ . T 22 3α .T3. T21 ) . ( T. α( T. ατ )1)2. eα. τ.2Задача 3.3.3. Решить задачу 3.3.2 при условии, что корреляционнаяфункция входного сигнала имеет видτ2. R . CR x( τ )σ eОтвет. Корреляционная функция2R y( τ )σ .τ.exp.8(R C)τR.C.23. τR. C3 .Задача 3.3.4. На вход схемы (рис.3.3.12, где злементы R2. K Ω иC10 .
μ F и коэффициент усиления K1>>1) поступает случайный сигнал ввиде белого шума, спектральная плотность мощности которого20.2 . volt . sec при ∞ < ω < ∞ . Найти корреляционную функцию Ry(τ) иS0действующее значение напряжения σy выходного сигнала.CRR-Вх.CRK1+Рис.3.3.12RСВы х.157Ответ.
Корреляционная функция3. S 0τ . 1. τ. expR y( τ )...16 R CR C3 R.CДействующее значение выходного напряженияσy3. S 016 . R . C2τR. C1 .и составляет σ y = 1.369 volt .Задача 3.3.5. Дана интегрирующая RL-цепь (рис.3.3.13, где элементыR0.1 . K Ω и L20 . henry ), которая имеет при параметре λсхемы RL..λ exp ( λ t ) .импульсную характеристику g ( t )На ее вход в момент времени t=0 подается стационарное случайное на0.5 . volt и при параметпряжение X(t) с математическим ожиданием m 1xрах σ10.5 . volt и α0.5 . sec с корреляционной функциейα. τ22σ .e, причем R ( 0 .
sec ) = 0.25 volt .R x( τ )LНайти для нестационарного режима математическое ожидание m1y и корреляционнуюфункцию Ry(t1,t2) выходного процесса Y(t), аВх.также для установившегося режима функциюRy(τ) и действующее значение выходного на-Rпряжения σy.Вых.Рис.3.3.13Ответ. Математическое ожиданиеm 1y ( t )m 1x .
( 1exp ( λ . t ) ) .Нестационарная корреляционная функция2. 2.σ λR y t 1,t 2et 2. ( λα)1 .eλ. t 2 α . t 1(λ2eλ. t 2 t 12α )Стационарная корреляционная функция( exp ( λ . τ ) . α λ . exp ( α . τ ) )2R y( τ )σ .λ..22(λα )Действующее значение выходного напряженияσyσ. λλαи составляет σ y = 0.477 volt ..158Задача 3.3.6. Дана интегрирующая RL-цепь (рис.3.3.13, где элементы0.1 . K Ω и L20 . henry ). На ее входе действует стационарноесхемы Rслучайное напряжение X(t) с нулевым математическим ожиданием и при23 . volt и α2 . sec с корреляционной функциейпараметрах σ.
2ατ2R x( τ )σ .e.Требуется найти корреляционную функцию Ry(τ) выходного сигнала.Ответ. Корреляционная функцияR y( τ )1.22σ .πα.L. R . exp 1 . ( R44. L . α . τ ) .R2( L .α ).Задача 3.3.7. Пусть имеется идеальный фильтр верхних частот безвременного запаздывания с параметрами: коэффициент передачи в полосе12 . π . 10 . sec . Математическая1.5 , частота среза ω cпропускания K 0модель его частотного коэффициента передачи имеет видK 0.
1 Φ ω ω cK(ω )Φ ω ω c .На вход фильтра поступает случайный сигнал в виде белого шума, спек20.2 . volt . sec при ∞ < ω < ∞ .тральная плотность мощности которого S 0Требуется найти корреляционную функцию Ry(τ) сигнала на выходе фильтра.Ответ. Корреляционная функцияsin ω c.
τ2..S 0 K 0 Dirac ( τ )R y( τ ).π .τ4. ВРЕМЕННАЯ ДИСКРЕТИЗАЦИЯ СИГНАЛОВ4.1. Общие сведенияПереход от аналогового представления сигнала к цифровому связан сего дискретизацией по времени и квантованием по уровню.В результате временной дискретизации ВД-сигнала x(t ) получают егооценку x * (t ) , которая воспроизводит (восстанавливает) поведение сигнала наинтервале Δ t с некоторой погрешностью δ(t ) = x(t ) − x ∗ (t ), t ∈ Δt . В математическом плане процесс ВД аналогичен задаче аппроксимации функции x(t )полиномом x * (t ) .159При решении задачи дискретизации (выборе шага Δ t ) должны быть известны:1) математическая модель x(t ) физического сигнала;2) способ воспроизведения (аппроксимации) аналогового сигнала,т.
е. математическая модель оценки x * (t ) ;3) критерий качества приближения сигнала его оценкой;4) величина допустимой погрешности воспроизведения сигнала егооценкой.Как правило, качество приближения функции x(t ) оценкой (полиномом)x * (t ) устанавливается одним из критериев:1) равномерного приближенияmax δ(t ) = δ m ≤ δ д , t ∈ Δt ;2) среднеквадратичного приближения1tmtm∫δ2(t )dt = σ 2 ≤ σ 2д , t ∈ Δt ;0*Здесь δ(t ) = x(t ) − x (t ) – функция погрешности аппроксимации;δ д – модуль допустимой погрешности равномерного приближения;σ д – среднеквадратичная допустимая погрешность приближения.В основе принципа ВД лежит представление непрерывной функции x(t )обобщенным полиномом Фурьеx * (t ) =n∑ a k ϕ k (t ) ,t ∈ Δt ,(4.1)k =0{} k =0 – система линейно независимых базисных функций;где ϕ k (t )na k – коэффициенты разложения или координаты сигнала, зависящие отвида функции x(t ) ;n – число членов ряда или степень полинома (4.1).В общем случае процесс ВД-сигнала заключается в его разложении наинтервале Δ t по системе заранее выбранных базисных функций ϕ k (t ) споследующим дискретным представлением сигнала конечной совокупностью{ } k =0 .координат a kn160В зависимости от базиса в качестве координат сигнала могут быть использованы или коэффициенты разложения a k или отсчеты x(t k ) в дискретные моменты времени t k .Выбор базиса и координат определяет тип аппроксимирующего полинома и характер аппроксимации.
В измерительной технике предпочтение отдается координатам сигнала в виде его отсчетов x(t k ) . В этом случае в результате ВД-сигнал заменяется совокупностью его отсчетов (рис.4.1.1).x(t)x(tk )x(t)Δtttk0tmРис.4.1.1В качестве базиса обычно берется система линейно независимых базис-{ }ных функций t knk =0{или (t − t 0 ) k}nk =0. На этом базисе можно построитьразличные полиномы. Наибольшее применение нашли полиномы Тейлора иЛагранжа. Характер аппроксимации при полиноме Тейлора – это экстраполяция или предсказание, а при полиноме Лагранжа – интерполяция.Промежуток времени Δ t между отсчетами называют шагом дискретизации или тактом измерения.
Если шаг Δ t = const , то имеем равномерннуювременную дискретизацию (РВД) на интервале наблюдения t m .Если шаг Δ t = var , то этот случай соответствует адаптивной временнойдискретизации (АВД). АВД заключается в автоматическом изменении промежутков времени Δ t между отсчетами в зависимости от текущегоповедения сигнала.
При АВД шаг дискретизации как бы приспосабливается ктекущим изменениям сигнала. Это приспособление, т.е. адаптация,осуществляется в реальном масштабе времени. АВД – это один изэффективных методов сжатия данных. Сжатие данных – это операцияэкономного представления аналогового сигнала.Сложность устройств дискретизации и воспроизведения сигнала растет сувеличением степени n аппроксимирующего полинома. Поэтому степеньполинома выбирают в разумных пределах – обычно n = 0 или n = 1 .1614.2. Дискретизация детерминированных сигналов4.2.1. Основные понятия и соотношенияВ зависимости от модели детерминированного сигнала можно выделитьдва подхода к определению шага РВД:1) по частотным характеристикам сигнала;2) по производным сигнала.4.2.1.1.
Выбор шага РВД по частотным характеристикамВ данном случае шаг РВД выбирается по теореме В. А. Котельникова.Здесь в качестве модели сигнала принимается функция, ограниченная по частоте. Такая функция не ограничена по времени и полностью определяетсясвоими отсчетами, взятыми через интервал времениπ1Δt ==,(4.2)ω C 2f Cгде f c – граничная частота спектра функции x(t ) или частота среза.
Эту функцию можно описать без погрешности полиномом Котельникова K (t ) , т.е. спомощью функций отсчетов (ФО)∞∞sin ω C (t − t k )=x(t ) = K (t ) =x(t k )x(t k ) Sa ω C (t − t k ) , (4.3)ω C (t − t k )∑k =−∞где t k = k Δ t ; Sa (x) – функция отсчетов.[∑K =−∞[]]Реальные сигналы конечны во времени ( t ∈ 0, t m ) и поэтому имеют неограниченный спектр.
Для них теорема Котельникова, строго говоря, неприменима. Однако такие сигналы можно описать полиномом Котельниковаприближенно. В этом случае, чтобы найти шаг РВД по формуле Котельникова (4.2), необходимо ограничить спектр заданного сигнала некоторой частотой ω c , отбросив высокочастотную часть спектра.Ограничение спектра связано с потерей части энергии (мощности) сигнала, приходящейся на полосу частот выше ω с . В результате исходный сигнал будет восстанавливаться полиномом Котельникова с некоторой погрешностью, которую можно оценить среднеквадратичным критерием приближения.Оценка погрешности аппроксимации при крутом спаде спектра A(ω)имеет видP о тбP о тб≤ σ 2о тн ≤ (2 ÷ 3) ⋅⇒ для мощностных сигналов;PP(4.4)162E о тб≤ σ 2о т н ≤ (2 ÷ 3) ⋅E о тб⇒ для энергетических сигналов,EEгде P и E – соответственно полная мощность и энергия сигнала; P о тб иE о т б – мощность и энергия отброшенной части спектра или мощность (энер-гия) погрешности; σ о тн – относительная среднеквадратичная погрешностьвоспроизведения, т.е.1σ 2о т н =tm1tmtm∫δ∞2(t ) dt0=tm∫x2σ 2дP∫δили2(t ) dtσ 2о т н = −∞∞∫x(t ) dt=2(t ) dtσ 2д ⋅ t mE,(4.5)−∞0где σ д – абсолютная среднеквадратичная допустимая погрешность дискретизации (аппроксимации).Например, для энергетических сигналов на основании (4.4) и (4.5) имеемE о т б ≤ σ о2 т н E = σ 2д t m .(4.6)Из равенства Парсеваля (1.14) и условия (1.22) следует энергия сохраняемойчасти спектра1E − Eо тб =πωc∫ F ( jω)2dω .(4.7)0Сопоставление выражений (4.6) и (4.7) дает возможность определить граничную частоту спектра ω с и затем рассчитать шаг РВД по формуле (4.2).4.2.1.2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
