Кавчук С.В. Сборник примеров и задач по теории сигналов (2001) (1186343), страница 15
Текст из файла (страница 15)
. .exp ( τ . α ) expτ α TT2R(τ )σ ., τ>0.2 2( 1 α .T )147Учитывая свойство четности КФ, окончательно можно записать1.exp ( τ . α ) expτ .α.TT2.R(τ )σ, τ<0 и τ>0.2 2( 1 α .T )2Например, R ( 1 . sec ) = 0.152 volt .График корреляционной функции в установившемся режиме показан наB10 . sec и τB, B.. B.рис.3.3.5 при B100График КФ в установившемся режимеvolt * volt2σR ( τ)( 1 α.T )1050510τsecРис.3.3.5Дисперсия в установившемся режимеDyσ(12α.T )2и составляет D y = 0.238 volt .40 . K Ω , R 280 . K Ω ,Пример 3.3.2. Дана схема (рис.3.3.6, где R 1C25 . μ F и коэффициент усиления операционного усилителя K1>>1),R 2 .
C и частотный коэффициент передаимеющая постоянную времени TчиR 21.K(ω ).R 1 ( 1 j .ω.T )148CR1-R2Вых.K1Вх.+Рис.3.3.6На ее вход поступает стационарное случайное напряжение X(t) с мате0.5 . volt и при параметрах σ0.5 . volt иматическим ожиданием m 1xα0.2 . sec2с корреляционной функцией (КФ)222R x( τ )σ . exp ( α . τ ) , причем R x ( 0 . sec ) = 0.25 volt .Найти для выходного процесса Y(t) математическое ожидание m1y,спектр плотности мощности Sy(ω), корреляционную функцию Ry(τ) и дисперсию Dy.Решение. Для определения спектральной плотности мощности входного процесса воспользуемся преобразованием Хинчина-Винера (2.7). Тогдаимеемassume σ , α , α > 01 . 2∞ωexp2.(4 α )α . τ . j .
ω. τ2.2.. π .eS x( ω )σedτσ∞αЧастотный коэффициент передачи мощности этой схемыassume R 1 > 0 , R 2 > 0 , TK p( ω )( K(ω ) )R 222.22 2R 1 .( 1 ω .T )Согласно (3.36), спектральная плотность мощности выходного процесса22S y( ω )R 2 σ 2. π..2expω4.
α22.R 1α (1 ω T )На основании (3.37) математическое ожиданиеassume R 1 , R 2 , m 1x.1491K ( 0 . sec ) . m 1xm 1yR 2.m1x .R 1На основании (3.38) корреляционная функция выходного процесса∞2ω2exp24. α .1 . R 2 .σ . π .R y( τ )exp ( j . ω . τ ) d ω .2. 22. π R 2(1 ω T )α1∞В Mathcad непосредственным интегрированием, а также с помощью оператора обратного преобразования Inverse Fourier Transform данный интегралне берется.
Поэтому, полагая ω комплексной переменной, будем использовать метод контурного интегрирования на плоскости комплексной переменной (Imω,Reω) и находить значение интеграла посредством вычетов.Полюсы подынтегральной функции являются корнями уравнения2 21 ω . T 0.1 .TT21.⇒ решение уравнения в виде вектор-столбцаего корней, причемassume T complex21 .2j2.22TTTТаким образом, подынтегральная функция имеет два простых комплексносопряженных полюсаjjи ω 2.ω 1TTПолюс ω1 и контур интегрирования C← против часовой стрелкиTT(рис.3.3.7,а) расположены в верхней полуплоскости. При этом для контурногоинтеграла (3.12) вычет (3.10) подынтегральной функции в точке ω1 будетсоответствовать решению для случая τ>0.ImωImωC←ω1ω1 ReωReωω2ω2абРис.3.3.7C→150Полюс ω2 и контур интегрирования C→ по часовой стрелке (рис.3.3.7,б)расположены в нижней полуплоскости.
При этом, так как интегрированиеведется по часовой стрелке, для контурного интеграла (3.12) вычет (3.10)подынтегральной функции в точке ω2 берется с отрицательным знаком ибудет соответствовать решению для случая τ<0.Согласно (3.10), вычет Res ω 1 в точке ω1 будет2ω4. αexplimω2 2ω .T )(1jT1. j .exp2 T4. τ . α . T )1. ( 1T( α.T )Итак, в точке ω1 вычет1. j .exp2 TRes ω 1 ( τ );- результат взятия предела.24j. exp ( j . ω . τ ) . ω4. τ . α . T )1. ( 1.2( α.T )На основании (3.13) для области τ>0 корреляционная функция42R1 y ( τ )R 2 σ 2.
π.. j . 1 . j . exp22 TR 1α1. ( 14. τ . T . α )2( T .α )4или после упрощения2R1 y ( τ )1 . R 2 . 2.σ2 R 21π. exp1. ( 14. τ . T . α )24( T .α )α.TТеперь найдем, согласно (3.10), вычет Res ω 2 в точке ω2:, τ>0 .2explimω1.2T2(1ω4. α2.2ω T ).
exp ( j . ω . τ ) . ω1.T2TT1. j .1 ( 1 4. τ . T . α )exp .- результат взятия предела.22 T4( T .α )Итак, в точке ω2 вычет2;1511. j .1 ( 1 4. τ . T . α )exp ..22 T4( T .α )На основании (3.13) при введении отрицательного знака для вычета корреляционная функция для области τ<0 будетRes ω 2 ( τ )2R 2 σ 2. π..R2 y ( τ )2R 1или после упрощения1 j1 ( 1 4. τ . T .
α )j . . . exp .22 T4( T .α )α21 . R 2 . 2.σ2 R 21. . .. exp 1 . ( 1 4 τ T α ) , τ<0.24( T .α )α.TЕсли переменную τ взять по модулю, то оба полученных выражения длякорреляционной функции можно записать одной формулойR2 y ( τ )2R y( τ )1 . R 2 . 2.σ2 R 21ππα.T. exp 1 . ( 144. τ . T . α )2( T .α ), τ<0 и τ>0.2Например, R y ( 0 . sec ) = 1.354 volt .Так как Dy=Ry(0), то дисперсия выходного сигнала будет221 . R 2 .σ . π .112Dyexp ., D y = 1.354 volt ..(2 T) R 24 ( T 2. α )α1Графики корреляционных функций входного и выходного сигналов приM10 . sec и τM, M..
M .ведены на рис.3.3.8 при M100КФ сигналов X(t) и Y(t)volt * volt2DyR y( τ )R x( τ )1R x( 0. sec )100τsecРис.3.3.810152Пример 3.3.3. Схема (рис.3.3.9) составлена из двух RC-звеньев, междукоторыми включен развязывающий повторитель с коэффициентом передачиK 01 при коэффициенте усиления операционного усилителя K1>>1. Ин0.4 .
sec итегрирующие RC-цепи с постоянными времени T 1T20.2 . sec имеют частотные коэффициенты передачиK 1( ω )11j .ω.T 1и K 2( ω )RВх.11.j .ω.T 2R+K1-CСВы х.Рис.3.3.9На вход схемы поступает стационарный белый шум X(t) с известной20.1 . volt . sec.спектральной плотностью мощности S 0Найти для выходного процесса Y(t) корреляционную функцию Ry(τ) идисперсию Dy.Решение. Частотный коэффициент передачи мощности Kp(ω) этой схемы будетassume T 1 > 0 , T 2 > 0 , K 0K p( ω )K 0. K 1 ( ω ) . K 2 ( ω )K 0222222ω .T 1 . 1 ω .T 2Согласно (3.36), спектральная плотность мощности выходного процесса2S 0.
K 0S y( ω ).22221 ω .T 1 . 1 ω .T 2112Например, S y ( 1 . sec ) = 0.083 sec volt .На основании (3.38) корреляционная функция выходного процесса∞2S 0. K 0exp ( j . ω . τ ).R y( τ )dω .22222. π1 ω .T 1 . 1 ω .T 2∞.153Полагая ω комплексной переменной, будем находить значение интеграла с помощью теории вычетов. Полюсы подынтегральной функции являютсякорнями уравнения22221 ω .T 1 . 1 ω .T 20.1 .T121 .T121 .T221 .2T12T12⇒ решение уравнения в виде векторстолбца его корней, причемassume T complex1 .T22T22T2T2jT.T2Таким образом, подынтегральная функция имеет четыре простых полюса:jjjjω 1; ω 2; ω 3и ω 4.T1T1T2T2Будем определять КФ для случая τ>0, замыкая контур интегрированияC контурного интеграла (3.12) в верхней полуплоскости, где расположеныполюсы ω1 и ω3.
При этом значение контурного интеграла определяется со-гласно (3.13), суммой вычетов (3.10) подынтегральной функции в точках ω1 иω3.Найдем, согласно (3.10), вычет Res ω 1 в точке ω1:exp ( j . ω . τ )j. ωlim;2222T11 ω .T 1 . 1 ω .T 2jωT1T11. .τ .j exp- результат взятия предела.22T12T2T1Итак, в точке ω1 вычетRes ω 1 ( τ )T11. .τ .j exp.22T12T2T1154Теперь найдем, согласно (3.10), вычет Res ω 3 в точке ω3:exp ( j .
ω . τ )j. ωlim;2.2 .2.2T21 ω T11 ω T2jωT2T21. .τ .j exp- результат взятия предела.22T22T2T1Итак, в точке ω3 вычетT21. .τ .j exp.22T22T2T1На основании (3.13) для области τ>0 после упрощений корреляционнаяфункцияτ .τ .T 1 expT2expT1T21.2R1 y ( τ )S 0. K 0 ., τ>0.222T2T1Функцию корреляции при τ<0 можно получить из последней формулызаменой τ на -τ. Это следует из свойства четности корреляционной функции.Однако тот же результат может быть получен прямым расчетом вычетов вточках ω2 и ω4.Res ω 3 ( τ )Таким образом,если переменную τ взять по модулю, то в общем случаедля τ<0 и τ>0 выражение для корреляционной функции принимает видτ .τ .T 1 expT2expT1T21.2R y( τ )S 0. K 0 ., τ<0 и τ>0.222T2T12Например, R y ( 0 . sec ) = 0.083 volt .Так как Dy=Ry(0), то дисперсия выходного сигнала будет1.S 0.K 022, D y = 0.083 volt .T2 T1График корреляционной функции выходного сигнала Y(t) приведен наM3 .
sec и τM, M.. Mрис.3.3.10 при M100Dy2volt * volt1551.2R y( τ )42S 0.02K0T2T124τsecРис.3.3.103.3.3. Типовые задачиЗадача 3.3.1. На вход схемы (рис.3.3.11, где злементы R2. K Ω и.C1 μ F и коэффициент усиления K1>>1) поступает случайный сигнал ввиде белого шума, спектральная плотность мощности которого2S00.2 . volt . sec при ∞ < ω < ∞ . Найти корреляционную функцию Ry(τ) идействующее значение напряжения σy выходного сигнала.Элемент развязкиRВх.R+K1-CВых.СРис.3.3.11Ответ. Корреляционная функцияR y( τ )S04. R .
Cτ. eR .C. 1τ .Φ (τ )R.CτeR .C .1или с учетом понятия модуля τ в компактной формеS0τ .τ. expR y( τ )1....R CR. C4 R CДействующее значение выходного напряженияσyи составит σ y = 5 volt .S04. R . Cτ .Φ( τ)R. C156Задача 3.3.2. Дана схема из двух звеньев на рис.3.3.11, где злементыR2. K Ω и C10 . μ F , а коэффициент усиления K1>>1. Каждое звено имеR . C.ет постоянную времени TНа ее входе действует стационарное случайное напряжение X(t) с нуле0.5 . volt ивым математическим ожиданием и при параметрах σ150 . sec c корреляционной функциейαα τ22R x( τ )σ .e, причем R ( 0 . sec ) = 0.25 volt .Требуется найти корреляционную функцию Ry(τ) выходного сигнала..Ответ. Корреляционная функцияτ2σ .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
