Кавчук С.В. Сборник примеров и задач по теории сигналов (2001) (1186343), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Типовые примерыПример 4.4.1. Пусть задан сигнал (рис.4.4.1 при T12 . sec иT211.5 . volt . sec и λt0,.. T ) с параметрами a 01 . sec , математи100ческая модель которого на интервале наблюдения t m T имеет вид2a 0 . t . exp ( λ . t ) , t>0.Оценить сжимаемость сигнала при равномерном критерии приближенияи способе воспроизведения, ориентированном на ступенчатую интерполяцию(СИ).x( t )180volt1x( t ) 0.50051015tsecРис.4.4.1Решение. Для расчета коэффициента сжимаемости (4.14) необходимопровести анализ первой производной сигнала x(t) на интервале наблюденияtm. Первая производнаяx1 ( t )x1 ( t )d2a 0 .
t . exp ( λ . t ) ;dta 0 . t. exp ( λ . t ) . ( λ . t2 ) − результат дифференцирова-ния.График 1-й производной сигнала приведен на рис.4.4.21График первой производной сигнала2volt / secλx1( t )051015tsecРис.4.4.2Из гафика видно, что производная имеет области положительных и отрицательных значений. Расчет коэффициента сжимаемости требует усреднения модуля соответствующей производной.
Поэтому необходимо найти границы положительных и отрицательных значений производной.Для 1-й производной решение уравнения x1(t)=0 дает точки пересеченияс осью абсцисс. Найдем эти точки, решив уравнениеa 0 . t. exp ( λ . t ) . ( λ . t 2 ) 0 ;1810⇒ корни уравнения в виде вектор-столбцаего решений.2λ20 .
sec и t 21, т.е. t 21 = 2 sec .λСреднее значение модуля 1-й производнойtmt 21a0.tλλ. t.t. e . ( λ . tx1 срt. e . ( λ . t 2 ) d ttm0t 21Результат интегрированияИтак, имеем корни t 1122 . t 21 . ea 0.x1 срИтак, x1 ср = 0.135 secдает1λ. t 21tm2t m .e2 ) dt .λ.
t m.volt . Подстановка величин t21 и tm окончательно( 8 . exp ( 2 )a 0.22T . exp ( λ . T ) . λ ).2( λ .T )Исследование 1-й производной на экстремум путем анализа 2-й производной (см. пример 4.2.2) показывает, что максимальное значение модуля 1-й1.22 .
Отсюда следует модульпроизводной будет в точке t максλмаксимум 1-й производнойx1 ср21volt .2 ., M 1 = 0.692 secλНа основании (4.14) для случая СИ коэффициент сжимаемости сигналаλ.T22.K си ( λ )12 .e.λ. T. 2228. eλT .eи составляет K си ( λ ) = 2.558 .0.02 . volt средняя длиПри допустимой погрешности, например, δ дтельность такта измерения при АВД-СИ2.
δ дΔ tср сиΔ tср си = 0.296 sec .,x1 срM 1a 0.22 . exp2182Пример 4.4.2. Стационарный нормальный случайный процесс X(t) с22 . volt и α0.5 . sec характеризуется корреляционнойпараметрами σфункцией22R(τ )σ . exp ( α . τ ) .Оценить сжимаемость случайного процесса при его восстановленииспособом линейной экстраполяции (ЛЭ).Решение. Независимо от критерия приближения для расчета коэффициента сжимаемости (4.16) необходимо провести анализ второй X2(t) производной случайного сигнала X(t). При дифференцировании нормального процесса его закон распределения не изменяется. Поэтому для описания законараспределения производной необходимо знать только ее среднеквадратичноеотклонение (математическое ожидание производной равно нулю). С этойцелью на основании (4.8) найдем корреляционную функцию второй производной X2(t) случайного сигнала X(t).Корреляционная функция 2-й производной42 d22σ .
exp ( α . τ ) .( 1) .d τ4В результате дифференцирования имеем2 2222 4R x2 ( τ )4 . σ . α . exp ( α . τ ) . ( 3 12 . α . τ4. α . τ ) .Отсюда при τ=0 следует среднеквадратичное отклонение 2-й производнойassume α , σR x2 ( τ )σ x2R x2 ( 0 . sec )2.
3. σ . α .Для оценки модуль-максимума 2-й производной воспользуемся критерием "трех сигм". Тогда имеем2M 23 . σ x2 или M 23 . 2 . 3 . σ . α , M 2 = 10.392 secvolt .Для нормального закона распределения среднее значение модуля 2-йпроизводнойassumeα , σ , α > 0, σ> 0∞2x2x22. expX2 ср σ x2d x22.2. 3. σ . α ..22 . σ x2σ x2 . 2 . ππ0Таким образом, среднее значение модуля 2-й производной183X2 ср2. 3. σ . α .2, X2 ср = 2.764 sec2volt .πНа основании (4.16) для случая ЛЭ коэффициент сжимаемости сигналапосредством алгоритма АВД-ЛЭassume α , σ1.M 231.3. 241.π4и составляет K лэ = 0.97.X2 ср4При β0.1 в случае допустимой среднеквадратичной погрешностиσ0β . σ на основании табл.4.1 при замене M2 на X2ср средний такт измерения при АВД-ЛЭ будетK лэ2Δ tср лэ2.
5. σ 0X2 ср.Подстановка значений X2ср и σ0 даетΔ tср лэβ . 30 . π, Δ tср лэ = 0.569 sec.6. αПример 4.4.3. Оценить сжимаемость двух случайных процессов. Пер10.5 . sec . volt экспоненциальную плотностьвый имеет с параметром αвероятности 1-й производнойα.exp ( α . x ) .p 1( x )2Второй − равномерный закон распределения в диапазоне производных[-M1,M1], где M1 − модуль-максимум 1-й производной процесса X1(t), опре-деляемый по критерию "трех сигм", т.е.
M1=3σx, где σx − среднеквадратичное отклонение 1-й производной первого процесса.Решение. Дисперсия 1-ой производной первого процессаassume α , α > 0∞22.D x( α )x . p 1 ( x ) dx2.2α01842Таким образом, дисперсия D xα2( D x = 8 sec22volt ) и среднеквадра-тичное отклонениеassume α , σσx2.αОтсюда следует модуль-максимум 1-й производной 1-го процесса3.Dx21volt ., M 1 = 8.485 secαДля экспоненциального закона распределения среднее значение модуля1-й производнойassume α , α > 0∞1X 1ср σ xx. p 1 ( x ) dx2..α0Таким образом, среднее значение модуля 1-й производной 1-го процесса11volt ., X 1ср = 2 secX 1срαДля равномерного закона распределения при p(x)=1/2M1 среднее значеM 1ние модуля 1-й производнойassume α , α > 0M 1X 2ср σ x22.x.2 M3. 2dx2 α1.0Таким образом, среднее значение модуля 1-й производной 2-го процесса3.
21volt ., X 2ср = 4.243 sec2 αНа основании (4.14) для случая ступенчатой аппроксимации коэффициент сжимаемости 1-го сигнала посредством алгоритма АВДassume α1. M 13.K с12 и составляет K с1 = 2.121 .2 X 1ср2Коэффициент сжимаемости 2-го сигнала посредством алгоритма АВДassume αX 2ср1851. M 1K с21 и составляет K с2 = 1 .2 X 2ср4.4.3. Типовые задачиЗадача 4.4.1. Оценить сжимаемость сигнала из примера 4.4.1 для случая линейной интерполяции (ЛИ).Ответ. Модуль-максимум 2-й производной x2(t) будет в точке t=0, т.е.2M 2x2 ( 0 . sec ) и составит M 2 = 3 secvolt . При вводе коэффициентовS 222. 2.222 .e22. 2. 2и S 122 .e22коэффициент сжимаемости сигналаK ли ( λ )x2 ( 0 .
sec )1.2a 0.S 12S 22λ.Teλ. T., K ли ( λ ) = 2.2.λ.T )(2Задача 4.4.2. Оценить сжимаемость сигнала из примера 4.4.2 для случая ступенчатой экстраполяции (СЭ).3.Ответ. Модуль-максимум 1-й производной M 1Cреднее значение модуля 1-й производнойX1 ср2. σ .α, X1 ср = 1.596 sec12. σ . α .volt .πКоэффициент сжимаемости сигнала при АВД-СЭ1. M 13. .K сэ2 π и составляет K сэ = 1.88.2 X1 ср4Задача 4.4.3. Оценить сжимаемость случайного процесса, который15 . volt .
sec арксинусоидальную плотность вероятноимеет с параметром βсти 1-й производной1p 1( x )π. β2.x2186β . Cреднее значениеОтвет. Модуль-максимум 1-й производной M 1β2 . . Коэффициент сжимаемости сигналамодуля 1-й производной X 1срππи составляет K с = 0.785 .K с4Задача 4.4.4. Оценить сжимаемость нормального случайного процесса,25 . volt . sec плотность вероятности 2-йкоторый имеет с параметром σпроизводной1x. exp2.22. σσ . 2. πОтвет.
Модуль-максимум 2-й производной M 2ние модуля 2-й производнойp 2( x )X 2cpσ.23 . σ . Cреднее значе-.πКоэффициент сжимаемости сигнала3K c1.43. 241.π4и составляет K c = 0.97.Задача 4.4.5. Случайный сигнал имеет модуль-максимум 1-ой произ110 . volt . sec .
Его первая производная на интервале [-M1, M1]водной M 1распределена по закону1.α1.p 1( x ), M 1 x M 1.2 atan α . M 1 1 α 2. x 2Оценить сжимаемость данного сигнала.Ответ. Коэффициент сжимаемости сигналаatan α . M 1K cM 1. α ., K c = 3.188 .22ln 1 α . M 1187ЛИТЕРАТУРА1. Темников Ф. Е., Афонин В. А., Дмитриев В. И., Теоретические основы информационной техники. М.: Энергия, 1977.П.П.Теоретическиеосновы2. Орнатскийизмерительной техники. М.: Высшая школа, 1983.информационно-3. Вострокнутов Н.Г. , Евтихнеев Б.Н.
Информационно-измерительнаятехника. М.: Высшая школа, 1977.4. Лапа В.Г. Математические основы кибернетики. М.: Высшая школа,1971.5. Кузин Л.Т. Основы кибернетики. М.: Высшая школа, 1973.6. Солодов А.В. Теория информации и ее применение к задачам автоматического управления. М.: Физматгиз, 1967.7.
Кловский Д.Д. Теория передачи сигналов. М.: Связь, 1973.8. Кавчук А. А. Основы передачи непрерывных сообщений по дискретным каналам связи. Учебное пособие, Таганрог, 1978.9. Назаров М. В., Кувшинов Б. И., Попов О. В. Теория передачи сигналов. М.: Связь, 1970.10. Тихонов В. И. Статистическая радиотехника. М.: Советское радио,1966.11. Фремке А.
В. Телеизмерение. М.: Высшая школа, 1975.12. Баскаков С.И. Радиотехнические цепи и сигналы. М.: Высшая школа, 1988.13. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1973.14. MATHCAD 6.0 PLUS. Финансовые, инженерные и научные расчетыв среде Windows 95. Руководство пользователя/Пер.
с англ. Информационно-издательский дом, “Филинъ”, 1996.188ОГЛАВЛЕНИЕ1. ХАРАКТЕРИСТИКИ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХСИГНАЛОВ ......................................................................................31.1. Спектральные характеристики периодических сигналов......31.1.1. Основные понятия и соотношения ...................................................... 31.1.2.
Типовые примеры.................................................................................. 41.1.3. Типовые задачи.................................................................................... 101.2. Спектральные характеристики непериодическихсигналов .................................................................................................141.2.1. Основные понятия и соотношения .................................................... 141.2.2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
