Кавчук С.В. Сборник примеров и задач по теории сигналов (2001) (1186343), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Стационарный случайный процесс X(t) с параметрами10.5 . volt и α0.5 . sec характеризуется корреляционной функцией2R(τ )σ . exp ( α . τ ) .Найти шаг временной дискретизации реализации случайного процессадопустимойпогрешностисреднеквадратичногоприближения0.2 . volt и восстановлении сигнала полиномом Лагранжа первой степе-ни.2R ( 0 . sec ) , т.е. D xσ . Для нахожденияРешение. Дисперсия D xшага РВД при ЛИ решаем уравнение (см.
табл.4.2)Δ t ли22220.5 . σ . exp α . Δ t лиσ0 .1.5 . σ2 . σ . exp α .2Решение уравнения в символическом виде дает его корниlnΔt 1σ2. .2. .24. . σ22. . σ . σ22. . σ 02;αlnΔt 2.5 ..5 .σ2Численное значение корней будет4. . σ22. . σ . σα22. . σ 02.173Δ t 1 = 4.588 sec ; Δ t 2 = 0.645 sec.Так как шаг РВД есть положительная величина, то окончательно имеемlnΔ t лиΔ t 2 или Δ t ли2. ..5 .σ24. .
σ22. . σ . σα22. . σ 02.Пример 4.3.2. Стационарный нормальный случайный процесс X(t) с22 . volt и α0.5 . sec характеризуется корреляционнойпараметрами σфункцией22R(τ )σ . exp ( α . τ ) .Найти шаг временной дискретизации реализации случайного процесса0.1 . volt ипри допустимой погрешности равномерного приближения δ 0восстановлении сигнала способом линейной экстраполяции (ЛЭ).Решение.
Согласно табл.4.1, при равномерном приближении и ЛЭ длярасчета шага РВД необходимо знать значение модуль-максимума 2-й производной случайного сигнала. С этой целью сначала найдем корреляционнуюфункцию дважды дифференцированного случайного процесса X(t). На основании (4.8) можно получитьR x2 ( τ )42 d22σ . exp ( α . τ ) ;( 1) .4d τ2.
2.22.4 σ α exp ( α . τ ) . ( 3 12 . α . τ2 4R x2 ( τ )4. α . τ ) .Отсюда следует дисперсия 2-й производной случайного сигналаassume α , σ , α > 02 2D x2R x2 ( 0 . sec )12 . σ . α .42 2212 . σ . α , D x2 = 12 secvolt .Итак, D x2Для оценки модуль-максимума 2-й производной воспользуемся крите-рием "трех сигм", где σ x2D x2 . Тогда имеем2M 23 . σ x2 или M 23 . σ . α . 12 , M 2 = 10.392 secvolt .При этом вероятность превышения случайным нормальным процессом полученного значения 2-й производной составитassume σ x2 , M 2174M 2P112.. expσ x2 .
2 . πx222 . σ x22d x21erf1.22.M 2σ x2.0Таким образом, P1erf1.2.M 2, P = 0.003 .σ x2На основании формулы из табл.4.1 при равномерном приближении и ЛЭшаг РВД будетassume δ 0 , σ , αΔ t лэ22. δ 01.M 23δ01.34..σ αСледовательно, в случае равномерного приближения и линейной экстраполяции при вероятности превышения заданной допустимой погрешностиP = 0.003 шаг РВДΔ t лэσприσ01.δ03σ. α1.34и составляет Δ t лэ = 0.139 sec .Пример 4.3.3. Стационарный случайный процесс X(t) с параметрами22 . volt и α10 . sec характеризуется корреляционной функцией22R(τ )σ .
exp ( α . τ ) .Найти шаг временной дискретизации реализации случайного процессадопустимойпогрешностисреднеквадратичногоприближения0.1 . volt и восстановлении сигнала функциями отсчетов.Решение. Так как требуется воспроизводить сигнал полиномом Котельникова, то шаг РВД нужно рассчитывать по его частотным характеристикам.Используя преобразования Хинчина-Винера (2.7), найдем спектральнуюплотность мощности случайного процессаassume σ , α , α > 0∞21 . 2 .σ .j .
ω. τ22S x( ω )σ . exp ( α . τ ) . edτπ.ωexp( 4. α )∞αСогласно (2.10), полная мощность или дисперсия процессаassume σ , α , α > 0175∞P x( σ )1.2expπ1 . 2 .σ .π dωω.(4 α )α1.22σ . 4.022σ и составляет P x = 4 volt .Итак, P xОграничим спектр процесса частотой среза ωс при условии обеспечениязаданной среднеквадратичной погрешности. Квадрат среднеквадратичной2σ 0 и соответствует мощности отпогрешности равен ее мощности P σбрасываемой части спектра. При этом мощность сохраняемой части спектраPcP x P σ .
Тогда подобно (2.11) условие для выбора частоты срезабудетPxPσ1.ω cπ2exp1 . 2 .σ .π dω .ω.(4 α )α0Вычислим значение интегралаassume α , σ , ω c1.πω c2exp1 . 2 .σ .π dωω.(4 α )αerf12. α.ω. 2c σ .0С учетом этого результата и значений P x ( σ ) и P σ условие для выбора частоты среза принимает вид1 .222σσ 0 erfω c .σ .2. αРешить данное трансцендентное уравнение можно только численнымспособом:1ω c1 . sec − начальное приближение;Given − ключевое слово нижеследующего уравнения1 .222σσ 0 erfω c .σ ;2.
α176ω cFind ω c− корень уравнения, определяемый в Mathcad спец1функцией Find(z), который имеет значение ω c = 13.521 sec .Таким образом, в соответствии с (4.2) шаг временной дискретизации будетπΔtи составит Δ t = 0.232 sec .ω c4.3.3. Типовые задачиЗадача. 4.3.1. Решить пример 4.3.1 при условии восстановления реализации сигнала полиномом Тейлора нулевой степени.Ответ. Шаг РВД при СЭ. 2 σ 21.
2 σ0ln22σΔ t сэ, Δ t сэ = 0.167 sec .αЗадача. 4.3.2. Решить пример 4.3.1 при условии восстановления реализации сигнала функциями отсчетов.Ответ. Частота среза спектра мощности случайного сигналаω cШаг РВД Δ tπ.αcot2tanπ. σ22π. σ2σσ02σσ022.α.и составит Δ t = 1.613 sec .2Задача. 4.3.3. Решить пример 4.3.1 при условии восстановления реализации сигнала полиномом Тейлора первой степени.Ответ. Так какdτd2dsignum ( τ ) 2 . Dirac ( τ ) ,dτd τ2то корреляционная функция 1-й производной случайного сигналаdτττsignum ( τ ) иτα τ . .22R x1 ( τ )σ .α.e( 2 Dirac ( τ ) α . signum ( τ ) ) .Отсюда следует, что дисперсия 1-й производной равна бесконечности.
Этозначит, что заданный случайный процесс является недифференцируемым.Поэтому для случая ЛЭ не представляется возможным найти шаг РВД..177Задача. 4.3.4. Решить пример 4.3.2 при условии восстановления реализации сигнала полиномом Лагранжа нулевой степени.Ответ. Шаг РВД Δ t си1.3δ 0.2, Δ t си = 0.033 sec .σ. αЗадача. 4.3.5. Решить пример 4.3.3 при условии восстановления реализации сигнала полиномом Тейлора первой степени.Ответ. В случае ЛЭ решение уравнения222 24 2 2σ 0 2. σ2. Δ t . σ .
α 4. Δ t . σ . αдает шаг РВД Δ t лэ = 0.335 sec .α . Δt22. σ . e22α . Δt . . 22α Δt4. σ . eЗадача. 4.3.6. Решить пример 4.3.3 при условии восстановления реализации сигнала полиномом Лагранжа первой степени.Ответ. В случае ЛИ решение уравнения222222σ 0 1.5 . σ.5 . σ . exp ( 1. . α . Δ t ) 2. . σ . exp ( .25 . α .
Δ t )дает шаг РВД Δ t ли = 0.109 sec.4.4. Оценка сжимаемости сигналов4.4.1. Основные понятия и соотношенияОдним из эффективных методов сжатия данных является АВД. Эффективность устройств АВД по сpавнению с PВД оценивается обычно коэффициентом сокpащения числа отсчетов с учетом служебной информацииK =NpN ax + N at,(4.11)где Np − число отсчетов сигнала пpи PВД; Nax − число отсчетов сигнала x(t )пpи АВД; Nat − число отсчетов вpемени пpи АВД. Число отсчетов в (4.11)сpавнивается пpи одинаковых способе воспpоизведения и погpешности дискpетизации.Однако эффективность сжатия сигнала посредством АВД зависит как отдинамических свойств сигнала, так и от разновидности устройства АВД. Дляидеального устройства АВД при заданных погрешности и способе воспроизведения коэффициент сокращения числа отсчетов (4.11) является уже толькохарактеристикой сигнала, зависящей от его динамических свойств.178Таким образом, сжимаемость сигнала посредством АВД можно характеризовать коэффициентом сжимаемости K c , полагая его равным коэффициенту сокращения числа отсчетов K при идеальном устройстве АВД.
В случаеАВД на один отсчет сигнала пpиходится один отсчет вpемени. Тогда коэффициент сжимаемости на основании (4.11) пpинимает видKс =Np2N ax=Δ ta2Δt p,(4.12)где Np=tm/Δtp; Nax=tm/ Δ t a ; Δtp − длительность такта измеpения пpи PВД;Δ t a − сpедняя длительность такта измеpения пpи АВД.Для pавномеpного кpитеpия пpиближения и ступенчатой аппpоксимации( экстpаполяции и интеpполяции) сpедний такт измеpения пpи АВДδΔ ta = Д− при экстраполяции;(4.13 а)x ′ срΔ ta =где x ′ср2δ Дx ′ ср− при интерполяции, (4.13 б)− сpеднее значение модуля 1-й пpоизводной сигнала,1tm∫x ′ ср =x ′(t ) dt − для реализации;tm0x′ср[∞] ∫= M X′ =x ′ p(x ′)dx ′ − для процесса,−∞где М − знак математического ожидания; p(x ′) − плотность веpоятности 1-йпpоизводной сигнала.Из сpавнения фоpмулы (4.13) и фоpмул табл.4.1 пpи одинаковых способах воспpоизведения следует, что коэффициент сжимаемости (4.12) независимо от типа ступенчатой аппpоксимации пpинимает видKc =M12 x ′ ср.(4.14)Фоpмула (4.14) позволяет также оценить сжимаемость сигнала пpи ступенчатой аппpоксимации и сpеднеквадpатичном кpитеpии пpиближения.179В случае линейной аппpоксимации и pавномеpном пpиближениисpедний такт АВД опpеделяется по фоpмулам2δ ДΔ ta =x ′′8δ ДΔ ta =где x ′′срx ′′− при экстраполяции;(4.15 а)ср− при интерполяции,(4.15 б)ср− сpеднее значение модуля 2-й пpоизводной сигнала,x ′′ср=1tm∫ x ′′(t) dttm− для реализации;0∞[ ] ∫ x ′′ p(x ′′)dx ′′ − для процесса,M X ′′ =−∞где p(x ′′) − плотность веpоятности 2-й пpозводной сигнала.Сpавнение (4.15) и фоpмул табл.4.1 пpи одинаковых способах воспpоизведения показывает, что коэффициет сжимаемости не зависит от типалинейной аппpоксимации и имеет видKc =12M2x ′′,(4.16)срФоpмула (4.16) спpаведлива и для сpеднеквадpатичного кpитеpияпpиближения.4.4.2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
