Кавчук С.В. Сборник примеров и задач по теории сигналов (2001) (1186343), страница 14
Текст из файла (страница 14)
expt. T. ( τT)2. eT.T2τ2if t > τ133Графики сигналов и погрешности10volty( t )y ид ( t )0Δ и ( t ) . volt123410tsecРис.3.2.32Задача 3.2.7. Пусть задан идеальный полосовой фильтр (ПФ) без вре2.0 в полосеменного запаздывания, имеющий коэффициент передачи H14 . sec до ω c23 . ω c1 ( полоса частот Δω2 . ω c1 ). Егочастот от ω c1частотный коэффициент передачиH. Φ ωK(ω )ω c1Φ ωω c2 ..Δω иНа вход ПФ поступает с параметрами A 2.0 volt . sec , ω 0.t02 sec сигналsin ω 0 .
t t 0x( t )A., ∞ < t< ∞.π. t t 0Требуется, используя спектральный метод, определить спектр и вид выходного сигнала y(t), а также его энергетические характеристики.Ответ. Спектральная функция выходного сигналаA. H . Φ ωF y( ω )ω c1Φ ωω 0 . exp j . ω . t 0 .Энергетический спектр22A .H .E y( ω )Полная энергияEyΦωω c122A .H .πВыходной сигнал (рис.3.2.33)sin ω 0 .
ty( t )A. H .ω 0t0π. tΦωω 0.ω c1 .sint0tt 0 . ω c1.134Вид выходного сигнала ПФvolt10t05y( t )5H .A .0ω 0 ω c1π5105tsecРис.3.2.33Задача 3.2.8. Сигнал представляет собой смещенную по уровню коси2нусоиду. Математическая модель сигнала при параметрах A 10 . volt . sec иλ12 . sec имеет видA.x( t )2(1cos ( λ . t ) ) . Φ ( t ) .λВ момент времени t=0 данный сигнал подается на вход ФНЧ 1-го поряд50 . K Ω и C200 .
μ F ). Элементы схемыка (рис.3.2.34, где элементы Rq.выбраны так, что при коэффициенте q 20 ее постоянная времени TλПри этом передаточная функция ФНЧ принимает вид1K(p).q.1 pλТребуется операторным методом определить вид выходного сигнала.CR-Вх.RK1+Рис.3.2.34Ответ. Выходной сигнал (рис.3.2.35)Вы х.135λ.2.q eA.y( t )qtq. sin ( λ . t )2( λ .( 1cos ( λ . t )21q.2q ))Графики сигналов x(t) и y(t)5volty( t )x( t )0y( t )102030405tsecРис.3.2.35Задача 3.2.9. На вход полосового фильтра (ПФ) из примера 3.1.1,312 . π .
10 . sec ( f 01000 . Hz ) и коимеющего резонансную частоту ω 01400 . sec , в момент времени t=0 поступает суммаэффициент затухания αдвух экспоненциальных импульсов с параметрами: амплитуда U m 8 . volt ;10.8 . ω 0 и400 . sec ; несущии частоты ω 1коэффициент затухания α0.4 . ω 1 . Математическая модель входного сигналаω 2x( t )α .tU m. e . sin ω 1 . tsin ω 2 . tif t 0 .0 otherwiseТребуется, используя спектральный метод, определить вид выходногосигнала y(t).Ответ.
Выходной сигнал (рис.3.2.36)y( t )222 . U m. ω o cos ω o.22exp ( α . t )ω oα2α .tω 12ω ocosω o22ω 22α .t2α2. Φ ( t ).136Графики сигналов на входе и выходе ПФ50voltx( t ) . volty( t )50510503t. 10msРис.3.2.36Задача 3.2.10. Дифференцирующая схема (рис.3.2.37, где элементыR50 . K Ω , C100 . μ F и коэффициент усиления K1>>1) используется длядифференцирования сигнала, математическая модель которого при парамет11рах v 1 .
volt . sec и α0.05 . sec имеет видαtx( t )v. t. e , t>0.Требуется определить вид выходного сигнала y(t) и оценить динамическую погрешность данной схемы..CRR-Вы х.K1Вх.+Рис.3.2.37R . C выходной сигнал (рис.3.2.38)Ответ. При Ty( t )tv. T( T. α.1)2eα . t.2( t. α . Tα.t1)eT, t>0.Динамическая погрешность (рис.3.2.38) дифференцирующей схемыΔ д( t )tT. v( T. α1)2.. T . e α t . α . ( t . α 2. Tα.tT. α2)eT, t>0.137Графики сигналов и погрешности5volty( t )y ид ( t )0Δ д( t )501001505tsecРис.3.2.38Задача 3.2.11. Оценить динамическую погрешность реальной дифференцирующей схемы (рис.3.2.39, где элементы R10.5 .
K Ω , R25. K Ω и.C1 μ F ) за счет схемотехнической необходимости включения резистора R1во входной цепи операционного усилителя. Испытательным сигналом являет1ся линейно возрастающее со скоростью v 10 . volt . sec напряжение. Мо-дель входного сигналаx( t )Cv. t. Φ ( t ) .R2R1-Вх.K1Вы х.+Рис.3.2.39Ответ. Динамическая погрешность дифференцирующей схемы1 .
.Δ д( t )t Φ ( t ).v. R2 . C. exp( R1 . C )Задача 3.2.12. Оценить динамическую погрешность реальной интегри1. K Ω и C10 . μ F ) за счетрующей схемы (рис.3.2.40, где элементы Rконечной величины коэффициента усиления ОУ ( K1100 ). Испытательным138сигналом является скачок напряжения с амплитудой U mU m. Φ ( t ) .входного сигнала x ( t )x(t)Ry(t)С-Вы х.K1Вх.1 . volt .
Модель+Рис3.2.40Ответ. Динамическая погрешность интегрирующей схемы (рис.3.2.41)Δ и( t )R . C. K11001K1 . exp( R . ( C. ( 1K1 ) ) ). t . R.Ct .U m.( R. C )Графики сигналов и погрешностиvolty( t )y ид ( t )Δ и( t )00.511.5100200tsecРис.3.2.41Задача 3.2.13. Пусть датчик перемещений X с выходным сигналом на11 . volt . m , массу подпряжения имеет коэффициент преобразования K 0вижнойчастиM0.008 .
kg ,жесткостьупругогоэлемента21G 0315900 . kg . sec и коэффициент успокоения P2822 . kg . sec .Датчик представляет собой инерционное звено второго порядка с передаточной функцией1K(p)K 0..2M.pP. p G 0139При введении частоты собственных колебаний подвижной электромеханической части ω 0G 0Mи степени успокоения αPпередаточная функ.2 Mция принимает видK(p)K 0.ω 02.2ω 0Такому датчику соответствует эквивалентная электрическая схема замещения на рис.3.2.42 с элементами R2. K Ω , L0.253 . henry иC0.2 .
μ F .Требуется выполнить последовательную коррекцию датчика с помощьюактивного корректирующего звена (рис.3.2.42), выбрав соответствующимобразом его элементы Z1 и Z2. Построить АЧХ датчика A(f) и AΣ(f) соответственно до и после коррекции, а также АЧХ A1(f) корректирующего звена.С хема да тчи к а22. α . pК оррек ти рую щ ее зв ен оZ1CВх.pLRZ2K1+Вы х.Рис.3.2.42Ответ. Элементы схемы коррекции11Z1 ( p )и Z2 ( p )R2p .
L2 ...p C1p C2При R20.5 . K Ω и C1C2 имеем2. α . 1C2( C2 = 0.253 μ F )2ω 0 R2иL21 .R2 ( L2 = 0.1 henry ).( 2. α )Результат коррекции без учета K0 приведен на рис.3.2.43.140АЧХ датчика до и после коррекции4безразмернаяA( f )A 1( f )2A Σ ( f)0500100015002000fHzРис.3.2.43Задача 3.2.14. Выполнить коррекцию датчика из примера 3.2.8 с помощью активного корректирующего звена (рис.3.2.44) на базе операционногоусилителя с коэффициентом усиления K1500 при условии получения.T0.02secновой постоянной времени 0вместо T2 .
sec .С1-Вх.R1R2K1+Вы х.Рис.3.2.44Ответ. Задаваясь сопротивлением резистора R120 . K Ω , получимTC1( C1 = 100 μ F ) иR1T 0 . ( K1 1 ). R1 ( R2 = 101.212 K Ω ).R2T T0Коэффициент усиления активного звена по постоянному току при1R1 . 11a1 будет K y( K y = 5 ). Переходные функцииK1R2 K1a(рис.3.2.45) до и после коррекции соответственно1.tt1 exph( t )1 expи h Σ (t).aT0T141безразмернаяПереходные функции до и после коррекции1h Σ ( t ) .ah( t )000.511.52tsecРис.3.2.45Задача 3.2.15. В качестве линии связи длиной l = 20 km используетсякабель МК с кордельно-бумажной изоляцией, имеющий отнесенные к одному132 . Ω . km ,киллометру параметры: активное сопротивление проводов R 01310.822 . mH .
km , емкость C 026.5 . 10 . pF . km ииндуктивность L 0612.3 . 10 . siemens . km . Экпроводимость утечки изоляции проводов G 0вивалентная схема замещения линии связи показана на рис.3.2.46, где21.739 . K Ω . ТребуR1.28 . K Ω , L0.016 . henry , C0.53 . μ F и R yется выполнить коррекцию линии связи с помощью активного корректирующего звена на рис.3.2.46 при условии получения новой постоянной времениT0 в q раз меньше начальной, причем q 50 .С хема ли н и и св язиRК оррек ти рую щ ее зв ен оLL1R1Вх.CRyC1R2K1+Вы х.Рис.3.2.46Ответ. Задаваясь сопротивлением резистора R110 .
K Ω , можно получить результаты коррекции на рис.3.2.47 приR2R y R , R2 = 23.019 K Ω ;L1R . C. R yR1L ., L1 = 0.136 henry ;R y. q1422q. R y . L . CR . C. R y L . R1 . R yC1безразмерная3A( f )R, C1 = 0.061 μ F .АЧХ какала связи до и после коррекции2A Σ ( f)10100020003000fHzРис.3.2.473.3. Прохождение случайных сигналов через линейныеустройства3.3.1. Основные понятия и соотношенияРассмотрим модель воздействия стационарных случайных сигналов налинейные устройства (рис.3.3.1). Пусть устройство характеризуется комплексным частотным коэффициентом передачи K(jω) и импульсной (весовой)функцией g(t).X(t)KK(jω), g(t)Y(t)t=0Рис.3.3.1Ключ K при t<0 разомкнут и в этом случае X(t)=0 и Y(t)=0,т.е.
имеемнулевые начальные условия. В момент t = 0 замыкается ключ K и на входустройства подается стационарный процесс X(t). Начинается переходнойрежим. В этом режиме на выходе будет нестационарный процесс. Через времяty устанавливается стационарный режим, при котором Y(t) - стационарныйпроцесс.Обычно решается следующая типичная задача. Известны математическое ожидание m1x и корреляционная функция Rx(τ) входного сигнала.
Требуется найти m1y и Ry(τ) для выходного сигнала. При этом возможны два условия:1) изучение нестационарного и стационарного режимов;2) изучение только стационарного режима.143Первое условие. Здесь для решения задачи при ненулевых начальных условиях нужно использовать дифференциальные уравнения.
Для нулевых условий следует использовать весовую функцию g(t). Тогда выходной сигналопределяется интегралом сверткиY (t ) =t∫ X (τ)g(t − τ)dτ.0Отсюда следуют:t[] ∫ [t]1) m 1y (t ) = M Y (t ) = M X (t ) g(t − τ)d τ = m 1x g(t − τ )d τ ;∫0((3.33)0t1 t 2) ∫ ∫ g(t1 − τ1 )g(t 2 − τ 2 )R x (τ 2 − τ1 )dτ1dτ 2 .2) R y t 1, t 2 =(3.34)0 0Стационарное значение функции m 1y (t ) будет при t → ∞ . Стационарноезначение функции R y (t 1 , t 2 ) будет при t 1 → ∞ и t 2 → ∞ . Если последовательно сделать замену переменных, а именно сначала τ1 = t 1 − xиτ 2 = t 2 − y , а затем τ = t 2 − t 1 и z = τ + x − y , то формула (3.34) приводится квидуt1τ+x∫R (t 1 , t 1 + τ) = g(x)dx∫ g(t + x − z)R ( z)dz .x − t10Отсюда при t 1 → ∞ следует стационарное значение∞R ( τ) =∫0τ+xg(x)dx∫ g(τ + x − z)R ( z)dz .(3.35)−∞Второе условие.
Когда интересуются только стационарным режимом, топрименяют комплексный коэффициент передачи K(jω), рис.3.3.2.Y(t)X(t)K(jω)R x ( τ) ⇔ S x (ω)S y (ω) ⇔ R y ( τ)Рис.3.3.2Спектральная плотность мощности выходного сигнала144S y (ω) = lim| F y ( jω) |2t m →∞= K ( jω)2tm= limt m →∞| F x ( jω) ⋅ K ( jω) |2tm=|Fy ( jω)| 2lim= S x (ω)⋅ |K ( jω)| 2 = S x (ω) ⋅ K 2 (ω),tmt m →∞1442443(3.36)Sx (ω)где K (ω) − амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) устройства.Среднее значение выходного сигнала(3.37)m1y = K(0)⋅m1x.Корреляционная функцияR y ( τ) =12π∞∫K2(ω) ⋅ S x (ω) ⋅ e jω τ d ω .(3.38)−∞Дисперсия выходного сигнала∞D y = R y (0) =1K 2 (ω) ⋅ S x (ω)d ω.π∫(2.39)0В заключение следует отметить, что задача определения плотности вероятности выходного сигнала в общем виде не решается.
В частном случае,когда Х(t) − нормальный процесс, выходной сигнал Y(t) также является нормальным процессом.3.3.2. Типовые примерыПример 3.3.1. Дана интегрирующая RC-цепь (рис.3.3.3, где элементы10 . K Ω и C10 . μ F ) с постоянной времени TR . C, т.е.схемы RT = 0.1 sec .Импульсная характеристика цепи имеет вид1.tg( t ).expTTНа ее вход в момент времени t=0 подается стационарное случайное на0.5 . volt и корреляционпряжение X(t) с математическим ожиданием m 1x10.5 . volt и α0.5 . sec виданой функцией (КФ) с параметрами σ2.2R(τ )σ exp ( α . τ ) , причем R ( 0 .
sec ) = 0.25 volt .Требуется найти для нестационарного режима математическое ожиданиеm1y и корреляционную функцию Ry(τ) выходного процесса Y(t).145Рис.3.3.3Решение. На основании (3.33) математическое ожидание выходногосигналаtm 1y ( t )m 1x1..TτtexpTdτ ;0m 1x .t.TИтак, в случае нестационарного (переходного) режима изменение математического ожидания соответствует переходной характеристике интегрирующей RC-цепи.Согласно (3.34) корреляционная функция выходного процессаt1t2m 1y ( t )1σ .e2T0Интегрирование даетR y t 1,t 2Δt1iRi,jτ1t12R y t 1,t 2expTτ2t2.eα.
τ 2 τ 1T.et2α . t 1. T02σ . e( 1 α.T )t 2.Te1 .dτ 1 dτ 2.t2Te2 2( T .α1)t1T.График нестационарной КФ показан на рис.3.3.4 при временном шаге0.2 . sec, индексах i0 .. 20 и j0 .. 10 , индексированных переменных..i Δ и t2j Δ и матричном представлении двумерной функцииjR y t 1 ,t 2 .ij1460.40.20024681010152005RРис.3.3.4На основании (3.35) для τ>0 стационарное значение КФτ x∞R(τ )τ x zx2σ .e2Tdx.T0∞Вычислим первый (внутренний) интеграл0f( τ , x )τ xzTT..α .z..e αTeτxzdz .zT.α.zdz .0∞Интегрирование, подстановка пределов и взятие предела (limit) при z ∞ee(τдают f( τ , x )x)Te.
T.edz(τ2. α . T2R(τ )σ .TeTx).(τ2. α . Te(1x ).( α.Te(1Вычислим второй (внешний) интеграл∞(τe1)T.( 1α . T ). ( α . Tx ).( α.TTα . T ). ( α . Teα.T )1)1).( 11)α.T )..xeTdx .0Интегрирование, подстановка пределов и взятие предела (limit) при x ∞дают1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
