Кавчук С.В. Сборник примеров и задач по теории сигналов (2001) (1186343), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Тогда интегрирование ведется внутри контура C и вычитается эта область.При z=∞ вычет831f (ζ)d ζ ,2π ⋅ j →∫R e s f (∞) =Cгде интегрирование проводится по часовой стрелке и соответствует областивне контура C. Следует отметить, что R e s f ( ∞) = lim [− zf ( z)] .z→∞Если z=a≠∞ есть полюс порядка r, то вычет[]1d r −1lim( z − a ) r f ( z) .(3.10)(r − 1) ! z→a dz r −1В частности, если z=a≠∞ - простой полюс (r=1) и f(z)=M(z)/ N(z), где M(z) иN(z) - аналитические функции в точке z=a , причем M(a)≠0, N(a)=0 и N′(a)≠0,то вычетM (a )R e s f (a ) =.(3.11)N ′(a )Вычислить интеграл по замкнутому контуру, охватывающему особыеточки z1, z2,...,zn, позволяет теорема о вычетахR e s f (a ) =1f (ζ)d ζ =2π ⋅ j ←∫∑ R e s f (z k )C∫или в другой формеnk =1nf (ζ)d ζ = 2π ⋅ j ⋅∑ R e s f (z k ) .(3.12)k =1←CТеорема вычетов позволяет также находить некоторые определенныеинтегралы от функций действительной переменной t вида:∞∫ f (t)dt−∞∞;∫ f (t) cos(mt)dt∞∫ f (t) sin(mt)dt , где m≥0.;−∞−∞Для их вычисления следует применить формулу (3.12) к контуру, состоящемуиз интервала (-R,R) действительной оси и дуги CR окружности | z |=R в верхней полуплоскости.
При R→∞, согласно леммы Жордана, можно отброситьинтегралы по дуге CR .Например, если при замене действительной переменной t на комплексную переменную z функция f(z) аналитична в верхней полуплоскости с учетом действительной оси, за исключением конечного числа особых точек zk ,лежащих сверху от действительной оси, и уравнение f(1/ z)=0 имеет нулевыекорни кратности m≥2, то12π∞∫−∞nf (t )dt = j ⋅∑ R e s f (z k ) .k =1(3.13)843. Вычисление обратного преобразования ЛапласаЕсли F(p) − алгебраическая функция и выражается отношением двухмногочленов F(p)=M(p)/ N(p), причем степень многочлена M(p) выше степенимногочлена N(p), то обратное преобразование L −1 [F ( p)] равно сумме вычетовфункции F ( p) ⋅ e pt по всем особым точкам (полюсам) функции F(p).Для вычисления обратного преобразования Лапласа сначала находяткорни pk уравнения N(p)=0, которые определяют полюсы F(p).
Если корниуравнения простые (r=1), то N(p)=a0(p-p1)(p-p2)⋅⋅⋅(p-pn) и обратное преобразованиеn M (p )p tkf (t ) = L −1 [F ( p)] =⋅ e k , t ≥ 0 (формула обращения). (3.14)N ′( p k )∑k =13.1.2. Типовые примерыПример 3.1.1. Найти частотные характеристики (АЧХ и ФЧХ) Гобразного четырехполюсника (рис.3.1.5), собранного из элементов: резистора5 . K Ω , катушки индуктивности L0.1 . henry и конс сопротивлением R.денсатора емкости C0.2 μ F .LВх.CRВы х.Рис.3.1.5Решение. Из электротехники известно, что сопротивления элементовэтой схемы в операторной форме1Z r( p )R , Z c( p )p.
L .и Z l( p )p. CСопротивление параллельно включенных элементов R и C будетZ c ( p ). Z r ( p )RZ rc ( p )., т.е. Z rc ( p )..Z r ( p ) Z c( p )(p C R 1)Тогда в операторной форме коэффициент передачи схемы по напряжениюZ rc ( p )K(p).Z l ( p ) Z rc ( p )Подставляя выражения для операторных сопротивлений, получим85R..(p C RK(p)p. L1)илиR( p . C. RRK(p)2.( p L.
R . Cp. L.R)1)1Если ввести обозначения ω o(резонансная частота) и α1.2 R. CL. C(коэффициент затухания), то для этой схемы, представляющей собой звено 2го порядка, передаточная функция по напряжению может быть записана вследующем видеω oK(p)2.2ω oЗамена оператора Лапласа p оператором Фурье jω дает комплексныйчастотный коэффициент передачи по напряжениюR.K(ω )2( ω . L. R. C j . ω . L R )Запись его в форме P(ω)+jQ(ω) позволяет выделить действительную и мнимую части комплексной функции K(ω):2( ω . L. R. C R )P( ω );R.22.
. .2. 2( ω L R C R)ω LpQ( ω )22. α . pLR.ω ..222 2( ω . L. R . C R )ω .LСогласно (3.2), амплитудно-частотная характеристика (АЧХ)A( ω )K(ω )или A (ω) =P (ω) 2 + Q (ω) 2 .Подстановка выражений P(ω), Q(ω) и последующее упрощение даетR.A( ω )4. 2. 2. 222222ω L R Cω .L2. ω . L . R .
C RДля области физически реализуемых частот f>0 ( ω=2πf ) АЧХ будетA1( f )A( 2 . π . f ) .Согласно (3.2), фазочастотная характеристика (ФЧХ)86LR. ω .α(ω )2( ω . L. R. Catan2( ω . L. R. CR.atan ω .α(ω )R)2( ω . L. R . CLR)22 2ω .L;R)22 2ω .L- результат упрощения.2( R . ( ω . L. C 1 ) )Для области физически реализуемых частот f>0 (ω=2πf) ФЧХ будетL.α ( f)atan ( 2 . π . f ) .2( R . ( ( 2. π . f ) . L . C 1 ) )Графики АЧХ и ФЧХ приведены на рис.3.1.6 и 3.1.7 при F02000 .
HzF0и f 0,.. F0 .100Коэффициент передачи10ω o . ( 2. π )1R .CLA1( f ) 50500100015002000fHzРис.3.1.6rad2α( f)05001000150020002fHzРис.3.1.7Найдем коэффициент передачи на резонансной частоте:assume R , L , C87Rlimω14 22 2ω .L .R .CR .C.222. ω . L . R . CR22 2ω .LLL. CТаким образом, резонансный коэффициент передачи напряженияCR..LДанная схема при малых значениях сопротивления резистора (R<1KoM)представляет собой пассивный фильтр нижних частот, а при больших егосопротивлениях (R>10KoM) может выполнять роль полосового фильтра.K 0Пример 3.1.2. Найти передаточную функцию схемы на рис.3.1.8, представляющей собой операционный усилитель ОУ c коэффициентом усиленияK1100 0, охваченный однопетлевой обратной связью. Схема являетсяинвертирующим усилителем.C2Z1Z2C1-Вх.R1R2K1Вы х.+Рис.3.1.8Элементы Z1 и Z2 - это пассивные двухполюсники, которые имеют резистивно-емкостной характер с параметрами:R11 .
K Ω и C10.001 . μ F ; R28 . K Ω и C20.005 . μ F .Двухполюсник Z2 соединяет инвертирующий вход ОУ с его выходом,образуя петлю отрицательной обратной связи.Решение. Пассивные RC-двухполюсники характеризуются постоянныR1 . C1 и T 2R2 . C2 . Их операторные сопротивлениями времени T 1Z1(p) и Z 2(p) будутR1и Z 2( p )R2.p. T 1 1p. T 2 1Из интегральной электроники известно, что для данной схемы коэффициент усиления по постоянному токуZ 1( p )88K=−Z 2.1+ Z1K1K1 + 1Подстановка в это выражение операторных сопротивленийную функцию данного активного звенаZ 2( p )K(p).Z 2( p )1Z 1 ( p ).K1K1 1Так как ОУ имеет коэффициент усиления K1>>1, топриближенное равенство.Z 2( p )R2 . p T 1K(p)K(p)илиR1 p . T 2Z 1( p )Знак минус здесь отражает инверсию входного сигнала.Z2дает передаточ-можно записать11.Пример 3.1.3. Найти временные характеристики схемы на рис.3.1.9,собранной из двух звеньев с передаточными функциями K1(p) и K2(p), а также элемента развязки на основе эммитерного повторителя с коэффициентом1.передачи K 0Рис.3.1.9Каждое звено является инерционным звеном 1-го порядка с постоянны0.001 .
sec и T 20.004 . sec . Передаточные функции поми времени T 1напряжению таких звеньев имеют вид11K 1( p )и K 2( p ).1 p. T 11 p. T 2Решение. Передаточная функция схемы в целом при последовательном соединении звеньев определяется как произведение их передаточныхфункций, т.е. K(p)=K1(p)K0K2(p). Таким образом,K 0K(p).1 p. T 1 . 1 p. T 2Здесь p - это комплексная частота.
Полагая для определенности c1 и.ω2 , определим комплексную частоту как pc j ω.89Согласно (3.5), для определения импульсной характеристики g(t) схемынеобходимо найти обратное преобразование Лапласа ее передаточной функции. С этой целью используем в Mathcad оператор обратного преобразованияЛапласа Inverce Laplace Transform в виде 1-1(*), где * - преобразуемое выражение. Тогда можно записатьK 01g( t )1 ..1 p. T 1 . 1 p. T 2В результате преобразования имеем1.1.expexpttT1T2T 2. K 0.g( t )K 0.
T 1., t>0.22.T2 T1 T1T 2. T 1T2На основании (3.8) переходную характеристику h(t) схемы можно найти,выполнив обратное преобразование Лапласа нижеследующего выраженияK 01h( t )1 ..p. 1 p. T 1 . 1 p. T 2В результате преобразования получим1.1.expexpttT1T222K 0.
T 2 .h( t )K 0 K 0. T 1 .;22.T2 T1 T1T 2. T 1T2h( t )K 0.T2T1T 1. eT2ttT1T2T 2. e, t>0 - после упрощения.T1Графики временных характеристик показаны на рис.3.1.10 и 3.1.11 в3случае, когда единица измерения времени одна миллисекунда ms 10 . sec ,приM20 . ms и t0,M100.. M .901 / sec200g( t ) 1000510152015203t. 10msРис.3.1.10безразмерная1h( t)Φ ( t)05103t. 10msРис.3.1.11Переходную функцию можно также найти другим путем, а именно наосновании импульсной функции при подаче на вход схемы единичного скачкаили функции Хевисайда Ф(t), используя интеграл свертки (3.16). Тогдаt1.Φ (th( t )τ ).K 0.
T 1. eT 2. T 1T1T11.τT 2. K 0. e2T22T2τT 2. T 1dτ .0Интегрирование даетT2h( t )K 0.T1T 1 . expT21.tT1T1T 2 . exp1.tT2, t>0.Пример 3.1.4. Найти импульсную характеристику g(t) схемы из приме317 . 10 . sec и коэфра 3.1.1 (рис.3.1.5), имеющей резонансную частоту ω o911500 . sec . Передаточная функция схемы как звена 2-фициент затухания αго порядка имеет видω oK(p)p222. α . pω o.2Здесь p - комплексная частота. Полагая для определенности c12 . sec , определим ее как pωc j .ω.Решение. Согласно (3.5), импульсная функцияc j .∞2ω o1 .. ep .
t d p .g( t )..222 π j2. α . p ω opc j .∞1 . sec1иОна определяется обратным преобразованием Лапласа передаточной функции, т.е. g(t)=L-1[K(p)]. Вычислим это преобразование методом вычетов,используя формулу обращения (3.14).Знаменатель передаточной функции есть полином222. α . p ω o .N(p)pC помощью Mathcad решим в символическом виде уравнение222. α . p ω o 0;pααα2α2ω o2- корни уравнения.2ω oТаким образом, функция K(p) имеет два простых (разных) полюсаp1αα22ω o и p23αα22ω o , причем131p 1 = 500 + 6.982 10 j sec; p 2 = 500 6.982 10 j sec.Эти два полюса являются комплексно-сопряженными.Согласно (3.12) и (3.14), вычет Res p1 ( t ) функции K(p)ept в точке p1будетRes p1 ( t )limpω o2p 1 d N(p)dp.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
