Кавчук С.В. Сборник примеров и задач по теории сигналов (2001) (1186343), страница 6
Текст из файла (страница 6)
eγ .Edt ,R0где Е − полная энергия сигнала, а правая часть неравенства соответствуетэнергии сигнала, длительность которого ограничена величиной t m .Возьмем интеграл правой части неравенстваassume R , U m , α > 0tm22U mU m1 .12. α . t..edtexp 2 . α . t m..RR(2 α )( 2. α )0Полная энергия импульса на сопротивлении R1 . Ω при временномего представлении на основании (1.11) будетassume U m , R , α > 0∞1.R2.U meα .t 22dt1 .U m.( 2.
R ) α0Таким образом, полная энергия экспоненциального видеоимпульса1 .2 1EU m . и составит E = 5 sec watt ..(2 R)α59В результате получаем уравнение21. γ . U m2 R α1 . ln ( γ2U m1 .1.exp 2 . α . t m;R( 2. α )( 2. α )1)- корень данного уравнения, полученный Mathcad.2αТаким образом, решение этого уравнения относительно tm дает практическую длительность экспоненциального видеоимпульса. Отсюда следует1 .tmln ( 1 γ ) ,2. αчисленное значение t m = 14.979 sec .( 1 γ ) . E и соПри этом энергия отброшенной части сигнала Δ Eставляет Δ E = 0.25 sec watt .Относительная среднеквадратическая погрешность за счет ограничениясигнала по длительностиσ отн.ΔEEи составляет σ отн.
= 22.361 %.1.4.3. Типовые задачиЗадача 1.4.1. Найти при коэффициенте γ0.95 практическую ширину спектра экспоненциального видеоимпульса из примера 1.4.4 с амплитудой1U m1 . volt и коэффициентом затухания α0.1 . sec .Ответ. Практическая ширина спектра определяется частотой срезаπ .R. αω cα . tan γ . E .,2U m1 .2 1U m . - полная энергия импульса.где E.(2 R)αПодстановка численных значений дает ω c = 1.271 sec1.0.95 практическую шириЗадача 1.4.2.
Найти при коэффициенте γну спектра линейно изменяющегося напряжения U(t) при исходных данных:1скорость изменения V m 4 . volt . sec , длительность τ1 . sec.Аналитическое выражение сигнала (рис.1.4.6) имеет вид60V m. tU(t)τif 0 t τ .20 otherwise2voltU( t)2101232tsecРис.1.4.6Ответ. Если ввести обозначения22A ω c4 .
cos τ . ω ccos τ . ω c . τ . ω c ;22A ω c4 ;cos τ . ω c . τ . ω c33B ω cSi τ . ω c . τ . ω c4 . sin τ . ω c . τ . ω c;22C ω c4 3. τ . ω c ,то практическая ширина спектра определяется решением уравнения2 32V m .τVmA ω cB ω cC ω c.γ.312 .
R( 6. ( π . R ) )ω cотносительно частоты среза ω с .Корень уравнения ω пFind ω c . Так как ω пω c, то частота сре-заfcω п, т.е. f c = 6.067 Hz .2. πЗадача 1.4.3. Найти при коэффициенте γ0.95 практическую дли1тельность сигнала из примера 1.4.3, но имеющего параметры μ2 . volt . sec1иα0.5 . sec .Ответ. Практическая длительность сигнала определяется решениемуравнения61γ.μ22. α . t m1 . 2.μ.4 R3222.
α . t m . e14. R . αотносительно неизвестной переменной t m .Кореньуравненияt п = 6.296 sectпFind t mα2. α . t m13даетвеличинудлительности.0.95 практическую шириЗадача 1.4.4. Найти при коэффициенте γну спектра сигнала u(t) на рис 1.4.7, где параметры τ1 . sec и.U m1.5 volt .График сигнала u(t)volt2τu( t )32Umτ101234Um2tsecРис.1.4.77 .
При этом частота срезаОтвет. Число сохраняемых гармоник n cπ1ω cn c. и составляет ω c = 21.991 secτω cили f cи составляет f c = 3.5 Hz .2. π0.95 и единице времени одна миллисеЗадача 1.4.5. Найти при γ3.кунда ( ms 10 sec) практическую ширину спектра сигнала u ( t ) , t 0112 . volt . ms , λ0.5 . ms и α0.2 . ms .(рис.1.4.8) с параметрами μМатематическая модель сигналаu( t )μ. ( λt ).
e0 otherwiseα .tif t 0 .624voltu( t)2500503t . 10msРис.1.4.82 22. λ . α2 . λ . α 1 , то практичеОтвет. Если ввести обозначение Bская ширина спектра определяется решением уравненияω c. α 2 ω 2 . B α . ω . ( 2. λ . α 1 )atan22cc.γ μ .Bμα..3224. R α 3 2. ( π . R )α . αω cКорень уравнения ω пТак как ω пFind ω cи составляет ω п = 381.144 secω пω c, то частота среза f c, т.е. f c = 60.661 Hz .2.
π1.2. ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ СИГНАЛОВ2.1. Числовые и временные характеристики2.1.1. Основные понятия и соотношенияМатематическая модель случайного сигнала - стационарный случайный процесс X (t ) . В результате опыта случайная функция Х(t) принимаетконкретный вид x(t).
Функцию x(t) называют реализацией случайного процесса. Каждая реализация - это неслучайная функция. Случайный процессполностью определяется бесконечным набором реализаций{x i (t)}i=1 , т.е.Nансамблем реализаций (число реализаций N→∞).Основные характеристики случайного процесса во временной областипредставления:1) одномерная плотность вероятности p(х,t) = p(x,t+τ) = p(x) - не зависитот момента времени t (места сечения процесса);2) двухмерная плотность вероятности p(x1,х2,τ), где τ= t2-t1 , т.е. зависит отвеличины интервала τ между двумя сечениями процесса X(t1) и X(t2);633) первый момент или математическое ожиданиеm1 = M [ X ( t ) ] =∞∫ x ⋅ p(x)dx ,(2.1)−∞oслучайный процесс X (t ) = X (t ) − m1 называется центрированным.4) момент второго порядка∞[] ∫xm 2 (t ) = M X 2 (t ) =2⋅ p(x, t )dx.(2.2)−∞5) второй начальный момент или дисперсияo⎡ o2 ⎤ ∞D = m 2 = M ⎢ X (t ) ⎥ = (x − m 1 ) 2 ⋅ p(x)dx ,(2.3)⎢⎣⎥⎦ −∞характеризует разброс случайной величины относительно среднего значенияи не зависит от места сечения t.6) корреляционный момент или корреляционная функция (КФ)∫∞ ∞o⎡o⎤[1R (τ ) = M ⎢X( t ) ⋅ X( t − τ)⎥ =x 1 − m1 ]⋅ [x 2 − m1 ]⋅ p( x 1 , x 2 , τ)dx 1dx 2 , (2.4)4243 14243⎣⎢⎦⎥ −∞ −∞oox1x2∫ ∫по известной функции R(τ) можно найти дисперсию процесса D = R (0) .7) интервал корреляции τk определяется как величина∞∫τ k = | ρ( τ) | d τ ,(2.5)0R ( τ)R ( τ)=- нормированная корреляционная функция.где ρ( τ) =2DσРазличают два понятия средних значений:[(2.6)]а) среднее к-го порядка по ансамблю - m k = M X k (t ) ;б) среднее к-го порядка по времени одной реализацииtmk2t ⎤⎡ tx k (t ) dt, t ∈ ⎢− m , m ⎥.t m →∞ t⎢⎣ 2 2 ⎥⎦m tmx (t ) = lim1∫−2Стационарные случайные процессы, для которых усреднение по ансамблю и усреднение по времени эквивалентны, называются эргодическими.64Итак, для эргодических процессов имеем m k = x k (t ) .
Свойство эргодичностипозволяет дать физическое толкование некоторых числовых характеристик.Пусть х(t) есть ток или напряжение на сопротивлении R=1 Ом. Тогда:1) m1 = x(t ) - среднее значение или постоянная составляющая случайногосигнала;2) m 2 = x 2 (t ) = P - средняя мощность случайного сигнала;o2o3) m 2 = D = x (t ) =P∼ - средняя мощность флюктуаций, т.е.
отклонений отпостоянной составляющей;4) σ = D - эффективное или действующее значение флюктуаций, т.е. переменной составляющей тока или напряжения.2.1.2. Типовые примерыПример 2.1.1. Стационарный гауссов случайный процесс X(t) с пара20.5 . volt , μ1 . volt и α0.2 . sec имеет нормированную корметрами σ2реляционную функцию (НКФ) ρ ( τ )ятности в сечении процесса X(t1)1eα .τ. expи одномерную плотность вероμx12.. σ22..σ 2 πТребуется найти его числовые характеристики (математическое ожидание m1, дисперсию D) и временные характеристики (корреляционную функp x1цию R(τ) и интервал корреляции τk).Решение.
Найдем, согласно (2.1), математическое ожидание процесса всечении X(t1)assume σ , μ∞m11σ . 2. π.x 1 . expx12. σμ22dx 1μ.∞μ , т.е. m 1 = 1 volt .Итак, математическое ожидание m 1Согласно (2.3), дисперсия процесса, например в сечении X(t2), будетassume σ , μ65∞D1σ . 2. π.x2m12.expμx22. σ22dx 22σ .∞22σ и составляет D = 0.25 volt .Итак, дисперсия DНа основании (2.6) корреляционная функция процесса222D . exp ( α .
τ ) или R ( τ )R(τ )σ . exp ( α . τ ) .Оценим, согласно (2.5), величину интервала корреляции процессаassume α , α > 0∞1 .2τ k( α )exp ( α . τ ) d τπ..02 αСледовательно, интервал корреляцииτ k1. π2α; τ k = 1.982 sec.2.1.3. Типовые задачиЗадача 2.1.1. Случайный процесс U ( t ) образован при параметрах1U m2 . voltω 00.2 . secиреализациямивидаu( t , φ )U m. cos ω 0 . t φ . Фазовый угол φ есть случайная величина,равномерно распределенная на интервале [-π,π], т.е.
плотность вероятностифазового угла1p( φ )if π φ π .2. π0 otherwiseТребуется найти математическое ожидание, дисперсию и корреляционную функцию данного процесса.Ответ. Математическое ожидание m 1 = 0 volt .ДисперсияD1.22U m .Корреляционная функцияR(τ )1.22U m . cos ω 0 . τ .66Задача 2.1.2.
Стационарный случайный процесс X (t ) имеет при пара-метре λ2 . volt1экспоненциальную плотность вероятностиλ.ep( x )λ. xif x 0 .0 if x < 0Требуется определить математическое ожидание и дисперсию этого процесса.1Ответ. Математическое ожидание m 1, m 1 = 0.5 volt .λ12Дисперсия D, D = 0.25 volt .2λЗадача 2.1.3. При каком соотношении между параметрами α и β (при12мем для начала β1 . volt и α1 . volt ) функцияβf( x )21 α.xявляется плотностью распределения вероятностей стационарного случайного процесса X(t) в его сечении t.Ответ.
Соотношение между α и β определяется уравнениемπβ.1.αЗадача 2.1.4. Стационарный случайный процесс X (t ) имеет в сечении tпри параметрах β1 . volt1иα2 . voltα. x1плотность вероятностиp( x )β.e, −∞ p x p ∞ .Требуется определить допустимое соотношение между параметрами α иβ, а также дисперсию данного процесса.2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
