Кавчук С.В. Сборник примеров и задач по теории сигналов (2001) (1186343), страница 10
Текст из файла (страница 10)
ep . t ..92Вычислим пределω olimαpα2ω opdp22. α . p2j . ω oαexp1. .2j ω o .2d2ω o2α2α2.t. ep . t ;ω o2- результат взятия предела.2Итак, первый вычетαexp1. .2j ω o .2Res p1 ( t )2j . ω o2α2.t.2ω oαНайдем вычет Res p2 ( t ) функции K(p)ept в точке p2 какω olimpαα2exp1. .2j ω o .2ω oαd2pdp22j . ω oω o2α22. α . pα2.t.
ep . t ;ω o2- результат взятия предела.2Итак, второй вычетRes p2 ( t )exp1. .2j ω o .2α2j . ω o2α2.t.2ω oαНа основании (3.14) для t>0 импульсная функцияg( t )Res p1 ( t ) Res p2 ( t ) , т.е.g( t )j .2 eω o .222α j . ω o α .tω o2α2j .2 eω o .222α j . ω o α .t, t>0.ω o2α293α .t2ω o .eОна при A( t )ω o2αA( t ) .g( t )eприводится к виду2j .ωo22α .teωoj .22α .t,t>0.2. jОтсюда окончательно следует2.ω o exp ( α . t ) .g( t )ω osin222α .t, t>0.2ω oαГрафик импульсной функции показан на рис.3.1.12 в случае, когда едиM3ница измерения времени ms 10 .
sec, при M10 . ms и t0,.. M .1001 / ms10g( t ) . 103 5A( t ) . 103051053t. 10msРис.3.1.12Таким образом, при подаче на вход рассматриваемой схемы (рис.3.1.5),представляющей собой последовательный колебательный контур с потерями,сигнала в виде дельта-функции Дирака на выходе получаем затухающие синусоидальные колебания с собственной частотой контура (СЧК)ω счкω o22α .3.1.3. Типовые задачиЗадача 3.1.1. Требуется найти динамические характеристики интегрирующей RC-цепи (рис.3.1.13, где R10 . K Ω и C200 . μF ) с постоянной.времени TR C, причем T = 2 sec .94RВх.CВых.Рис.3.1.13Ответ.
Амплитудно-частотная характеристика (АЧХ)1A( ω ).2. 21 ω TФазочастотная характеристика (ФЧХ) α ( ω )Импульсная функция1.texpg( t ), t>0.TTatan ( ω . T ) .tTПереходная функция h ( t )1 e , t>0.ПРИМЕЧАНИЕ. Переходную функцию можно также записать без указания временного ограничения (t>0), используя вместо него временное окно ввиде функции Хевисайда Ф(t), так как она равна 1 при t>0 и 0 при t<0. В этомслучаеt .h( t )1 expΦ ( t ).TПодобным образом можно записывать также импульсную функцию.Задача 3.1.2.
Найти амплитудно-частотную характеристику схемы нарис.3.1.8 из примера 3.1.2.Ответ. АЧХA( ω )22ω .T 1R21.1.22ω . T 2 . R1Задача 3.1.3. Построить амплитудно-частотную характеристику схемына рис.3.1.14, имеющей следующие параметры элементов: сопротивление0.113 . henry и0.5 .
K Ω ; индуктивности катушек L 1резистора RL20.113 . henry ;C10.224 . μ FемкостиконденсаторовиC20.224 . μ F .95Величина коэффициента передачиРис.3.1.14Ответ. АЧХ приведена на рис.3.1.15 и соответствует полосовомуфильтру.1A( f )0.50010002000300040005000fHzРис.3.1.15Задача 3.1.4. Найти методом вычетов, используя частотный коэффициент передачи, импульсную характеристику g(t) схемы из примера 3.1.1317 .
10 . sec и коэффициент(рис.3.1.5), имеющей резонансную частоту ω o1500 . sec . Частотный коэффициент передачи схемызатухания αω oK(ω )2.2ω oОтвет. Результат должен быть аналогичен примеру 3.1.3, т.е.ωg( t )2.22. j . α . ωω o exp ( α . t ) .sinω oω o222α .tα2, t>0.96Задача 3.1.5. Требуется найти комплексный частотный коэффициентпередачи дифференцирующей RC-цепи (рис.3.1.16, где R20 . K Ω и.C0.01 μ F ), если известна ее импульсная функцияtg( t )Dirac ( t )1 .eR.CR .C.CОтвет.
Частотный коэффициент пере-Вх.R Вых.дачиK(ω )j . ω . R.C.1 j . ω . R.CРис.3.1.16Rку.Задача 3.1.6. Дана схема интегрирующей RL-цепи (рис.3.1.17, где2. K Ω и L0.1 . henry ). Требуется найти ее импульсную характеристи-LВх.RВых.Ответ. Импульсная характеристикаR.R. .expt Φ ( t ).g( t )LLРис.3.1.17Rку.Задача 3.1.6. Дана схема дифференцирующей RL-цепи (рис.3.1.18, где2. K Ω и L0.1 . henry ). Требуется найти ее импульсную характеристи-RВх.L Вых.Ответ.
Импульсная характеристикаR.R. .expt Φ ( t ).g( t )Dirac ( t )LLРис.3.1.18Задача 3.1.7. Найти и построить амплитудно-частотную характеристикусхемы на рис.3.1.19, где сопротивление резистора R0.5 . K Ω , индуктив.ность катушки L0.1 henry и емкость конденсатора C0.2 . μ F .97CВх.LR Вых.Рис.3.1.19Ответ. Для области физически реализуемых частот АЧХ( 2. π . f )A( f )( 2. π . f )42. ( 2. π . f )L. C2.21( 2.
π . f )2 2L .C2 2R .C2График АЧХ приведен на рис.3.1.20 и соответствует фильтру верхнихчастот.коэффициент передачиАмплитудно-частотная характеристика1A( f )0.50050010001500200025003000fHzРис.3.1.20Задача 3.1.8. Найти импульсную и переходную функции, а также амплитудно-частотную характеристику активного RC-фильтра нижних частот первого порядка, схема которого дана на рис.3.1.21, где сопротивления резисторов R1 .
K Ω и емкость конденсатора C1. μ F .98CRR-Вх.K1Вы х.+Рис.3.1.21Ответ. Импульсная характеристика1 .1 . .expt Φ ( t ).g( t )..(R C)(R C)Переходная характеристика1 . .t Φ ( t )..(R C)Амплитудно-частотная характеристика1A( ω ).h( t )1exp12 2 2ω .R .C3.2. Прохождение детерминированных сигналов черезлинейные устройства3.2.1. Основные понятия и соотношенияРазличают следующие основные задачи динамики.3.2.1.1. Экспериментальное определение динамическиххарактеристик устройстваУстройство рассматривается как “черный ящик” и оценивается его реакция на испытательные сигналы δ(t) и 1(t). Зная в результате экспериментавесовую функцию g(t) или переходную функцию h(t), можно на основании(3.6) или (3.9) определять или комплексный коэффициент передачи К(jω) илипередаточную функцию К(р).3.2.2.2.
Определение спектра выходного сигналаСпектр выходного сигнала y(t) находится на основании (3.1). Решениеданной задачи в общем случае имеет видF у ( jω) = K ( jω) ⋅ F x ( jω) = K ( jω) ⋅ Ф[x(t )] .(3.15)или, учитывая (3.6), F у ( jω) = Ф[g(t )] ⋅ Ф[x(t )] .(3.16)Выбор алгоритма решения зависит от вида заданной динамической характеристики устройства.99Спектр амплитуд и фаз выходного сигнала можно выразить через соответствующие частотные характеристики воздействия и устройства. На основании (3.2), (3.15) и (1.8) имеемF y ( jω) = A y (ω)ejϕ y ( ω)= K (ω)e jα(ω) A x (ω)ejϕ x (ω)= A x (ω)K (ω)e[j α( ω ) + ϕ x ( ω )].Отсюда следуетA y ( ω) = A x ( ω) K ( ω ) ;(3.17)ϕ y ( ω ) = ϕ x ( ω ) + α( ω ) .(3.18)В случае ЛУ с переменными параметрами, когда коэффициент передачизависит от времени и равен K (t ) , целесообразно сначала находить откликустройства во временной области, а затем , используя прямое преобразованиеФурье, спектр выходного сигнала(3.19)F y ( jω) = Ф[y(t )] = Ф[K (t ) ⋅ x(t )] .3.2.1.3.
Определение выходного сигнала у(t) при заданных входном сигнале x(t) и характеристиках устройства К(jω) или К(р)Эту задачу можно решать тремя методами.1. Спектральный метод. Алгоритм решения определяется равенством[][]{}y(t ) = Φ −1 F y ( jω) = Φ −1 F x ( jω) ⋅ K ( jω) = Φ −1 K ( jω) ⋅ Φ[x(t )] . (3.20)Процесс прохождения сигнала через ЛУ на основе спектрального представления сигнала поясняет схема на рис.3.2.1. Решение задачи сводится кследующему. Определяется спектр входного сигнала. Умножая его на комплексный коэффициент передачи, находят спектр выходного сигнала. Затем,применив обратное преобразование Фурье, получают отклик устройства.x (t) Ù Fx(jω)y(t) ÙFy(jω)K(jω)Fy(jω)= Fx(jω)•K(jω)Рис.3.2.12.
Операторный метод. Порядок решения следует из равенства{}y(t ) = L−1[Y ( p)] = L−1[ X ( p) ⋅ K ( p)] = L−1 K ( p) ⋅ L [x(t )] . (3.21)Этот метод подобен спектральному и отличается применением преобразования Лапласса.3. Временной метод. Так какF y ( jω) = F x ( jω) ⋅ K ( jω) = F x ( jω) ⋅ F g ( jω) ,где F g ( jω) - спектральная функция импульсной функции g(t), то согласнотеореме о свертке100tF x ( jω ) ⋅ F g ( jω ) ⇔ x( τ)g(t − τ)d τ =∫0t∫ x(t − τ)g(τ)dτ = x(t )∗ g(t ) ,0где ∗ - обозначение свертки двух функций.tСледовательно, y(t ) = x( τ)g(t − τ)d τ = x(t )∗ g(t ).∫(3.22)03.2.1.4.
Оценка динамической погрешности преобразованияКачество работы реального устройства в динамическом режиме оценивается динамической погрешностью, которая обычно устанавливается путемсопоставления результатов преобразования входного сигнала для идеальногои реального устройства. Под динамической погрешностью во временной области понимают разность откликов реального и идеального ЛУ, т.е.Δ(t ) = y ре ал(t ) − y ид е ал(t ) .(3.23)Динамическую погрешность можно определить и в частотной областикак преобразование Фурье функции Δ(t ) , а именно[][]F Δ ( jω ) = K ( jω ) − K ид ( jω ) F x ( jω ) или Δ( p ) = K ( p ) − K ид ( p ) X ( p ) , (3.24)где K(jω) и Kид(jω) - комплексные частотные коэффициенты передачи соот-[]ветственно реального и идеального устройств. При этом Δ(t ) = Ф −1 F Δ ( jω) .Отсюда следует, что динамическая погрешность зависит как от характеристикустройства, так и от вида входного сигнала.Вид комплексного коэффициента передачи идеального устройства зависит от характера его преобразования (масштабирование, дифференцирование,интегрирование и т.д.) и от формулировки требований, предъявляемых к операции преобразования.В технике наиболее распространенной операцией является масштабирование.
Масштабирующее устройство (датчик) должно обеспечивать неискажаемую передачу входного сигнала. Для этого достаточно, чтобы отклик былточной копией входного сигнала. При этом допускается различие в амплитуде, так как важна форма, а не величина отклика. Кроме того, часто допускается запаздывание во времени выходного сигнала относительно воздействия.Поэтому можно считать, что сигнал x(t) передается без искажений, еслиотклик устройства y(t ) = K ⋅ x(t − t 0 ) , где K - масштабный коэффициент, равный частотному коэффициенту передачи K(0) на нулевой частоте, и t 0 - время запаздывания. На основании свойства временного сдвига преобразованияФурье имеемF y ( jω) = K ид ( jω)F x ( jω) = K (0)F x ( jω)e− jωt 0.101Следовательно, при масштабировании идеальное (неискажающее) устройство должно иметь комплексный коэффициент передачиK ид ( jω) = K ид (ω) ⋅ ejα ид ( ω )= K (0)e− jωt 0.(3.25)Отсюда следует, что АЧХ такого утройства должна быть постоянна на всехчастотах и равна K(0), т.е.
K ид (ω) = K (0) . С другой стороны, ФЧХ должнабыть линейной функцией частоты, т.е. α ид (ω) = −ω ⋅ t 0 . Если запаздываниевыходного сигнала недопустимо, то ФЧХ α ид (ω) = 0 .3.2.1.5. Определение энергетических характеристик выходного сигналаЗадача определения энергетических характеристик выходного сигналарешается на основании теоремы Парсеваля и понятия энергетических характеристик в частотной области. В результате на выходе имеем:а) спектральную плотность энергии22E y (ω) = F y ( jω) = K ( jω)F x ( jω) = K 2 (ω)E x (ω) = K p (ω)E x (ω) , (3.26)гдеE x (ω) -спектральнаяплотностьэнергии2= A 2x (ω) , и K p (ω) = K ( jω)фициент передачи мощности;б) энергиюE x (ω) = F x ( jω)1Ey =π∞∫022входногосигнала,= K 2 (ω) - частотный коэф-∞∞0011F y ( jω) d ω =K 2 (ω)E x (ω)d ω =K 2 (ω)A 2x (ω)d ω ; (3.27)ππ∫∫в) спектр плотности мощности2S y (ω) = limFytm( jω)= limtmt m →∞2K ( jω)F ytm( jω)= K 2 (ω)S x (ω) , (3.28)tmt m →∞где S x (ω) - спектральная плотность мощности входного сигнала;г) среднюю мощность∞∞0011Py =S y (ω)d ω =K 2 (ω)S x (ω)d ω .ππ∫∫(3.29)Для периодических сигналов формула (3.29) с учетом (1.10) приводится квиду∞Py =∑k =0K 2 (ω k )Px (ω k ) = a 20x K 2 (0) +12∞∑ A 2kx K 2 (ω k ) .k =1(3.30)1023.2.1.6.
Коррекция динамических характеристик устройстваПри разработке масштабирующих устройств для улучшения их динамических свойств стремятся по возможности получить постоянную АЧХ в широком диапазоне частот. Расширение полосы пропускания устройства можнодостигнуть путем включения корректирующих звеньев со специально подобранной комплексной частотной характеристикой. Корректирующие звеньяобычно включают последовательно и в виде отрицательной обратной связи(рис.3.2.2).x(t)x(t)K(jω)K1(jω)“-”y(t)y(t)K(jω)Koc(jω)Рис.3.2.2Условие последовательной идеальной коррекцииK ∑ ( jω) = K = const , где K ∑ ( jω) = K ( jω)K 1 ( jω) .Отсюда следует, что последовательное корректирующее звено должно иметькомплексный коэффициент передачи видаK.(3.31)K 1 ( jω) =K ( jω)В случае коррекции посредством отрицательной обратной связи, когдаK ( jω)K ∑ ( jω) =,1 + K ( jω)K oc ( jω)необходимо выполнение условия K(jω)Koc(jω)>>1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
