Кавчук С.В. Сборник примеров и задач по теории сигналов (2001) (1186343), страница 8
Текст из файла (страница 8)
τ ) . Φ ( τ ) отлична от нуля при τ > 0 , а составляющая exp ( α . τ ) . Φ ( τ ) - при τ < 0 , то полученное выражение, учитываяпонятие модуля, можно окончательно записать в компактной формеR y( ω )α. τ .2σ .ecos ω 0 . τ .Задача 2.2.3. Для случайного процесса U ( t ) из задачи 2.1.1 найтиспектральную плотность мощности.Ответ. При введении определения функции ДиракаDirac ( z )∞ if z 0 .0 if z 076спектральная плотность мощности1.2Dirac ω ω 0 .S( ω )U m . π . Dirac ω ω 02Таким образом, спектр мощности представляет собой две дельта-функции на1частотах ±ω 0 с площадью ⋅ U 2m ⋅ π .2αЗадача 2.2.4. Случайный процесс Y( t ) имеет с параметрами1110 .
sec корреляционную функцию1.5 . sec , σ2.5 . volt и ω 0α τ .2R y( ω )σ .ecos ω 0 . τ .Требуется найти спектр мощности сигнала.Ответ. Спектральная плотность мощности.12σ .α.S y( ω )α2ω1ω 022αωω 02.Задача 2.2.5. Найти дисперсию и спектральную плотность мощностистационарного случайного сигнала V(t), имеющего с параметрами σ3 . volt120 . π . sec корреляционную функцию (КФ)иω 0sin ω 0 . τ2R v( τ )σ ..ω 0. τОтвет. При введении определения сигнум-функцииsignum ( x )1 if x 0на сопротивлении RS v( ω )1 if x < 0.1 Ω спектральная плотность мощности (рис.2.2.7)21 .
σ . . signum ω 0π2 Rωsignum ω 0ω 0ω.77Спектр мощности сигнала V(t)watt * sec1ω0ω0S v( ω )2σ .πR .ω 02000200ωrad / secРис.2.2.722σ и будет D v = 9 volt .Дисперсия D v0.95 практическую ширину спектра стаЗадача 2.2.6. Найти при γционарного случайного сигнала U(t), имеющего с параметрами σ3 . volt и2a0.2 . sec корреляционную функцию (КФ)σR u( τ )221 a. τОтвет. Практическая ширина спектраω cln ( γ.1 ) . a и составляет ω c = 1.34 sec1rad .Задача 2.2.7. Найти спектральную плотность мощности стационарного случайного сигнала Z(t), имеющего с параметрами σ3 .
volt и1α2 . sec корреляционную функцию (КФ)R z(τ )2σ . 1( α.τ )α. τ2..e α τ .3Ответ. Спектральная плотность мощностиS z(ω )16 .3σ5α .(α22 32.ω )Задача 2.2.8. Найти дисперсию и корреляционную функцию стационарного случайного сигнала G(t), имеющего с параметрами σ3 . volt и1α2 . sec спектральную плотность мощностиS g( ω )α24. σ .(α232 2ω ).7822σ и составляет D g = 9 volt .Ответ. Дисперсия D g2σ .( 1Корреляционная функция R g ( τ )α . τ ). eα.
τ.Задача 2.2.9. Случайный сигнал S(t) имеет спектральную плотностьмощности (рис.2.2.8)W( f)1 . watt . sec if 200 . Hz f 400 . Hz .0 otherwiseТребуется найти вид корреляционной функции сигнала.watt * secW( f) 10200400600fHzРис.2.2.81 . watt . sec , f 1200 . Hz иОтвет. При введении обозначений W 03400 . Hz корреляционная функция (рис.2.2.9 при ms10 . sec) будетf2R s( τ )1.2W 0.sin 2 .
π . f 2 . τsin 2 . π . f 1 . τГрафик КФ сигнала S(t)200watt,( π .τ )W 0. f 2f1R s( τ )1510502003τ. 10msРис.2.2.95101579причем при τ=0 значение функции R s0R s0 = 200 watt .W 0. f 2f 1 и составляетЗадача 2.2.10. Помеха ξ(t) представляет собой "белый шум", спек0.002 . watt . sec при ∞ < ω < ∞ .тральная плотность мощности которого S 0Найти корреляционную функцию помехи и действующее значение напряжения помехи на сопротивлении R100 . Ω в полосе частот Δ f250 . Hz .Ответ. Корреляционная функция помехиR ξ(τ )S 0 . Dirac ( τ ) ,if( z 0 , ∞ , 0 ) - функция Дирака (дельта-функция).где Dirac ( z )Действующее напряжение помехиσξ2 .
R . S 0 . Δ f и составляет σ ξ = 10 volt .3. ПРОХОЖДЕНИЕ СИГНАЛОВ ЧЕРЕЗ ЛИНЕЙНЫЕУСТРОЙСТВА3.1. Динамические характеристики линейныхустройств3.1.1. Основные понятия и соотношенияДля линейных устройств (ЛУ) справедлив принцип суперпозиции. Различают два режима работы ЛУ - статический и динамический. Для описанияработы реального линейного устройства (РЛУ) в динамическом режимеслужат следующие характеристики.1. Частотные характеристики.1.1.
Комплексный коэффициент передачи или комплексная частотнаяхарактеристика (рис.3.1.1)x (t)Fx(jω)РЛУy(t)x (t)Fy(jω)X(p)y(t)РЛУРис.3.1.1Y(p)рис.3.1.2K ( jω) =F y ( jω)F x ( jω),(3.1)где Fx(jω) = Ф[x(t)] и Fy(jω) = Ф[y(t)] – преобразование Фурье (спектр) входного x(t) и выходного y(t) сигналов соответственно.80Функцию K ( jω) можно представлять в другой формеK ( jω) = P(ω) + jQ(ω) = K (ω) ⋅ e jϕ( ω) ,где K (ω) = | K ( jω) | =(3.2)P 2 (ω) + Q 2 (ω) - амплитудно-частотная характери-стика (АЧХ);ϕ(ω) = arctgQ ( ω)- фазочастотная характерстика ( ФЧХ).P ( ω)1.2. Передаточная функция (рис.3.1.2)Y ( p)K ( p) =,(3.3)X ( p)где р=c+jω - комплексная частота; X(p) = L[x(t)] - изображение по Лапласувходного сигнала; Y(p) = L[y(t)] - изображение по Лапласу выходного сигнала.Передаточную функцию К(р) можно получить из комплексного коэффициента передачи заменой jω на р, т.е.
K ( jω) → K ( p) при jω → p .Функция K ( p ) является аналитическим продолжением частотного коэффициента передачи K ( ω ) с мнимой оси jω вещественных частот ω навсю плоскость комплексных частот p .Достаточно часто передаточная функция представляется отношениемдвух многочленов - K ( p) = M ( p) N ( p) .Передаточная функция линейного четырехполюсника с постояннымипараметрами может быть представлена в нуль-полюсном виде( p − z1 ) ⋅ ( p − z 2 ) ⋅⋅⋅ ( p − z m )K ( p) = K 0 ⋅,(3.3 а)( p − p1 ) ⋅ ( p − p 2 ) ⋅⋅⋅ ( p − p n )где K 0 - постоянная величина;z 1 .. z m и p 1 .. p n - нули и полюсы передаточной функции, причем число полюсов n должно превышать число нулей m.Нули являются корнями уравнения M ( p) = 0 , а полюсы - корнями уравнения N ( p) = 0 .
Для устойчивой цепи полюсы p 1 , p 2 .. p n должны располагаться в левой полуплоскости комплексной частоты p , образуя комплексносопряженные пары.2. Временные характеристики.2.1. Весовая или импульсная функция g(t), t>0 ⎯ это реакция (или отклик) устройства на дельта-функцию δ(t) или функцию Дирака Dirac(t) дляMathcad (рис.3.1.3). Для физически реализуемых устройств g(t)=0 при t<0.81∞x (t)δ(t)0g(t)y(t)K(jω)0ttРис.3.1.3Эта функция связана простым соотношением с комплексным коэффициентом передачи К(jω), именноg(t ) =12π∞∫ K ( jω) ⋅ ejω tdω(3.4)−∞или в операторной форме (обратное преобразование Лапласа)g(t ) =1⋅ lim2π ⋅ j R →∞c + jR∫ K ( p) ⋅ eptdp .(3.5)c − jRЗная в результате эксперимента весовую функцию g(t), можно определять иликомплексный коэффициент передачи К(jω) или передаточную функцию К(р):∞K ( jω) =∫ g(t) ⋅ e− jω t∞∫K ( p) = g(t ) ⋅ e − p t dt.dt ;−∞(3.6)02.2.
Переходная функция h(t), t>0 - это реакция устройства на единичнуюфункцию 1(t) или функцию Хевисайда Ф(t) для Mathcad (рис.3.1.4). Для физически реализуемых устройств h(t)=0 при t<0.1(t)h(t)1x (t)Единичныйскачок0y(t)K(jω)К(0)20ttРис.3.1.4Связь между функциями h(t) и К(jω) определяется выражениемh(t ) =11K (0) +22π∞∫−∞K ( jω) jωte dω .jω(3.7)Если учитывать только переменную (~) составляющую отклика (постояннойсоставляющей K(0)/2 пренебрегаем), то тогда связь между функциями h(t),К(jω) и К(р) принимает вид82h(t ) =12π∞∫−∞K ( jω) jω t⋅ e d ω;jω1h(t ) =⋅ lim2π ⋅ j R →∞c + jR∫c − jRK ( p) p t⋅ e dp;p(3.8)(3.8 а)∞∫K ( jω) = jω h(t ) ⋅ e − jω t dt;(3.9)−∞∞∫K ( p) = p h(t ) ⋅ e − p t dt.(3.9 а)0ПРИМЕЧАНИЯ1. Вычисление интегральных преобразований Фурье и ЛапласаЭто вычисление значительно облегчается при использовании методовконтурного интегрирования на плоскости комплексного переменного.
Приэтом вычисление интеграла сводится к определению вычетов Res в полюсахподынтегральной функции.2. Вычеты и контурные интегралыПусть f(z) есть функция комплексной переменной z=x+jy. Пусть эта комплексная функция аналитична в точке z=a, т.е. дифференцируема в некоторойокрестности точки a. Корни уравнения f(z)=0 называют нулями функции f(z).Нулю порядка m соответствует m одинаковых корней уравнения f(z)=0.Точка z=a является особой, если в самой точке z=a функция f(z) неаналитична, а в ее окрестностях - аналитична.
К особым точкам относятся полюса f(z). Точка z=a является полюсом, если lim f ( z) = ∞ . Точка z=a будетz →aполюсом порядка r, если комплексную функцию можно представить в видеψ( z), где ψ(z) аналитична и ψ(a ) ≠ 0 .f ( z) =(z − a) rВычетом R e s f (a ) функции f(z) в точке z=a называется контурный интеграл вида1R e s f (a ) =f (ζ)d ζ ,2π ⋅ j ←∫Cгде C- контур, окружающий точку z=a. Стрелка показывает, что интегралберется по пути C в направлении против часовой стрелки.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
