Кавчук С.В. Сборник примеров и задач по теории сигналов (2001) (1186343), страница 4
Текст из файла (страница 4)
U m1; длительность τ0.5 . sec ; начальный0 . sec; возможная периодичность повторения Tмомент времени t 02. τ .Аналитическое выражение сигналаτU(t)U m1 if 0 t <.4U m2 ifU m1 ifτ43. τ4t<3. τ4t τ0 otherwisevolt2U( t )τ3. τ44U m21U m110.500.511.5tsecРис.1.2.32ПРИМЕЧАНИЕ. Для решения данной задачи целесообразно использовать принцип суперпозиции и теорему о временном сдвиге.Ответ.
Амплитудный спектр одиночного видеоимпульса U ( t ) специальной формыω.ττω.τU m1. τ . SaA u( ω )U m2 U m1 . . Sa.224График амплитудного спектра приведен на рис.1.2.33 приW1W40 . sec и ω2. W , 2. W.. 2 . W .200volt * sec38A u( ω)1003. π3. πττ501. .τ U m220U m150100ωrad / secРис.1.2.331.3. Энергетические характеристики сигналов1.3.1.
Основные понятия и соотношенияt ⎤⎡ tПусть сигнал x(t ), t ∈ ⎢− m , m ⎥ задан на интервале наблюдения t m и⎢⎣ 2 2 ⎥⎦есть напряжение (или ток) на сопротивлении R = 1 Ом. Тогда при описаниисигнала во временной области средняя мощность P и энергия E будут равны:tmP=1tm∫−tm2tm2−22∫ x (t)dt ,x 2 (t )dt = x 2 (t ); E = P ⋅ t m =tm(1.9)22где обозначение x (t ) означает усреднение по времени квадрата сигнала.Если допустить периодическое продолжение сигнала x(t) с периодомT = t m , то среднюю мощность можно находить также, исходя из спектрального представления периодического сигнала в частотной области:P = a 20 +P=12∞∑Ak =12k- для ряда (1.1);A 02 1 ∞ & 2+A k - для ряда (1.2);42∑(1.10)(1.11)k =1P = C 02 + 2∞∑ C& kk =12- для ряда (1.4).Часто сигнал задается на бесконечном интервале [ −∞, ∞ ] . Тогда(1.12)39P = limt m →∞tm 21tm∫∞x 2 (t )dt; E =−t m 2∫ x (t)dt .2(1.13)−∞Здесь различают два вида сигналов: энергетический или импульсный(E→E0=const,Р→0) и мощностной (E→∞, Р→P0=const).Для энергетического сигнала справедливо равенство Парсеваля (илитеорема Рейли)∞∫E=x 2 (t )dt =−∞12π∞∫2∞F ( jω) d ω =−∞1A 2 (ω)d ω .π∫(1.14)02Функция F ( jω) = A 2 (ω) = E (ω) называется спектральной плотностью энергии или энергетическим спектром.
Она является четной функцией и определяет величину энергии, приходящейся на полосу в один рад/сек.Для мощностных сигналов рассматривают среднюю мощность, так какпонятие энергии теряет смысл. Средняя мощность при t m → ∞ будетtmP = limt m →∞где S(ω) = limt m →∞1tm2∫−t mF t ( jω)x 2 (t )dt =12π2∞∫∞S(ω)d ω =−∞1S(ω)d ω ,π∫(1.15)02— спектральная плотность мощности.mtmДля количественной оценки временного сдвига детерминированных сигналов используют автокорреляционную функцию АКФ∞B( τ) =∫ x(t) ⋅ x(t − τ)dt .(1.16)−∞Энергетический спектр и АКФ связаны преобразованием Фурье:∞E ( ω) =B( τ) =12π∫ B(τ)e−∞∞jωτ∫ E(ω)e−∞d τ (прямое преобразование);− jωτ(1.17)d ω (обратное преобразование).
(1.18)401.3.2. Типовые примерыПример 1.3.1. Требуется найти энергию и энергетический спектр прямоугольного видеоимпульса x ( t ) с амплитудой U m 0.4 . volt и длитель2 . sec . Оценить распределение энергии в его спектре.ностью τМатематическая модель сигнала (рис.1.3.1 при T2. τ иtT1.2 .
T , 1.2 . T500.. 1.2 . T )x( t )τU m if2τt2.0 otherwisevoltτ1τ2x( t )64220246tsecРис.1.3.1Решение. На сопротивлении R1 . Ω полная энергия импульсаassume U m , τ , RτEx1.R22U m dtτ1.R2U m .τ .2Согласно решению примера 1.2.1, спектральная функция симметричного относительно начала координат прямоугольного видеоимпульса будетω.τ1sinsin . ω . τ22U m. τ .2 . U m.F x( ω ).или F x ( ω ).ω τω2По определению энергетический спектр или спектральная плотность1 . Ω есть квадрат спектральной функции, т.е.энергии на сопротивлении R41U m τ.RE x( ω )ω.τsin2. 222.ω.τ221watt .Например, E x ( 1 .
sec ) = 0.453 secСогласно равенству Парсеваля (1.14), энергия сигнала в частотной областиassume U m , τ , R , τ > 0∞Exsin1 .π .R2 2U m .τ .2ω.τ2.ω τ1. .2τ U m .Rdω20Итак,, т.е. E x = 0.32 sec watt .R11 . sec ) безразмерную частотную переменнуюВведем (пусть ωω . τ . Тогда энергетический спектрExw2U m .τ2. 2E x( w)U m τ.Rwsin2w2.2График нормированного энергетического спектра прямоугольного видеоимпульса как функция безразмерной частотной переменной w приведен наπрис.1.3.2 при w 0 ,.. 6 .
π .10042безразмерная12. πE x( w ) . R4. π2 2U m .τ05101520wбезразмернаяРис.1.3.2Рисунок показывает, что энергетический спектр прямоугольного видеоимпульса носит лепестковый характер. Для многих задач представляет интерес доля общей энергии сигнала, содержащаяся в пределах одного, двух , трехи т.д. лепестков спектральной диаграммы на рис.1.3.2 .Определим функцию интегрального синусаxsin ( z )Si( x )dzz0и введем безразмерную переменную z=w/2.
При этом dω=2dz/τ. Тогда доляэнергии прямоугольного видеоимпульса, заключенная в k последовательныхлепестках,k. π222. U m . τsin ( z ).E1 x ( k )dz ;π .R(z)0. ... . . .τ2. ( 1 cos ( 2 π k ) 2 Si( 2 π k ) π k ) .E1 x ( k )U m.2k( π .R )Например, при k=1 энергия E1 x ( 1 ) = 0.289 sec watt , а при k=2 E1 x ( 2 ) = 0.304 sec watt .Полная энергия импульса2U m .τ.RОтносительная доля энергии в зависимости от числа учитываемых лепестковE1 x ( 1 )E1 x ( 2 )E1 x ( 3 )= 0.903 ;= 0.95 ;= 0.966 .ExExExEx43Пример показывает, что переход от k=1 к значению k=2, т.е. двукратноерасширение полосы частот устройства, через которое проходит видеоимульс,увеличивает энергию сигнала на его выходе всего на 4.7%.Пример 1.3.2.
Найти спектр мощности пилообразного напряжения U(t)выходе генератора при исходных данных: скорость изменения1Vm4 . volt . sec ; период повторения T2 . sec . Аналитическое выражениенасигнала (рис.1.3.3 при tT1.5 . T , 1.5 . T.. 2 . T )500V m. t if 0 t TU(t)V m. ( t.T ) if T t 2 . T0 otherwisevolt10U( t )5420246tsecРис.1.3.3Решение. Поскольку сигнал представляет собой периодическую функцию времени, то он относится к мощностным сигналам. Для таких сигналовпонятие энергетического спектра теряет смысл. Здесь следует рассматриватьспектр мощности.2.
πНайдем при частоте первой гармоники ω 1k-й коэффициент разTложения сигнала U(t) в комплексный ряд Фурье (1.4)Tj .k .ω .t1.1C( k )dt .V m. t. eT0Интегрирование даетjV m. exp j . k . ω 1 . T . k . ω 1 . T j.C u( k )j.22T. k . ω 1При k=0 имеем неопределенность типа 0/0. Раскрывая неопределенностьпо правилу Лопиталя, получим44assume V m , T , ω 1limj .V m.
ej . k . ω 1. T.k. ω 1. Tjj1.22T. k . ω 1k0Следовательно, постоянная составляющая сигнала1.C0V m. T и составит C 0 = 4 volt .22V m. T .j . k . 2. π1 ) e1 , тоТак как ω1T=2π и при любом k ( например, kвыражение для k-го коэффициента при k 0 принимает видV m. ( ( k . 2 . π j ) j ).C u( k )j22T. k . ω 1или при записи в форме a+jb коэффициентVmπ.C u( k )2.
j ..2kT. ω 1Таким образом, коэффициенты разложения являются чисто мнимымивеличинами. Их действительная часть равна нулю.Модуль комплексного коэффициента разложенияVmπ.MC ( k )2., например, MC ( 1 ) = 1.273 volt .2kT. ω 1Амплитудный спектр сигнала U(t)A( k )C 0 if k 0.MC ( k ) if k 0Спектр мощности периодического пилообразного напряжения на со1 . Ω как квадрат модуля амплитудного спектра при N4противлении RиkN .. NP u( k )C0if k 0R1.2.Vm..π2if k 02T. ω 1График спектра мощности приведен на рис.1.3.4 при NN .. N , где P u ( 0 ) = 16 watt и P u ( 1 ) = 1.621 watt .Rk2k4 и45watt20P u( k )1042024kномер гармоникиРис.1.3.4На основании (1.12) доля мощности периодического пилообразного сигнала, заключенная в n последовательных гармониках, будетP( n )P u ( 0 ) if n 0C02Rn2.MC ( k )R2if n 0 .k= 1График зависимости мощности данного сигнала от числа учитываемых8 и n0 .. N , гдегармоник спектра показан на рис.1.3.5 при NP ( 1 ) = 19.242 watt и P ( 8 ) = 20.952 watt .22watt20P( n )181602468nномер гармоникиРис.1.3.5Полная средняя мощность PSM пилообразного напряжения U(t)assume T , V m , RPSM u1 .
1.R TTV m. t02dt1 . 2.2T Vm .( 3. R )46Итак,1 . 2.2T Vm.(3 R)PSM uи составит PSM u = 21.333 watt .Относительная доля мощности в зависимости от числа учитываемыхгармоникP( 1 )P( 2 )P( 3 )= 90.2 % ;= 94 % ;= 95.7 % .PSM uPSM uPSM uПример показывает, что переход от n=1 к значению n=2 , т.е. двукратное расширение полосы частот устройства, через которое может проходитьпилообразный видеоимульс, увеличивает энергию сигнала на его выходе всего на 3.8%.1.3.3. Типовые задачигиюVmЗадача 1.3.1.
Найти спектральную плотность энергии и полную энерпилообразного видеоимпульса U(t) при скорости изменения14 . volt . sec и длительности T2 . sec (рис.1.3.6).Аналитическое выражение сигналаU(t)V m. t if 0 t T .0 otherwisevolt10U( t )5420246tsecРис.1.3.6Ответ. Если обозначить2 2ω .T2 . sin ( ω .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
