Кавчук С.В. Сборник примеров и задач по теории сигналов (2001) (1186343), страница 7
Текст из файла (страница 7)
βОтвет. Соотношение между α и β определяется уравнением1.αβ2Дисперсия D4.и составляет D = 0.5 volt .3αЗадача 2.1.5. Известно, что случайная величина на интервале от нуля2 . volt может быть описана (пусть для начальной опредедо величины d22 . volt ) плотностью вероятностиленности параметр a67p( x )a .
x if 0 x d .0 otherwiseТребуется найти значение параметра “a” и дисперсию случайной величины.22Ответ. Параметр a, a = 0.5 volt .2d1 . . 4.22 429 ) , D = 0.222 volt .a d ( 8. a . dДисперсия D2. a . d36Задача 2.1.6. Стационарный центрированный гауссов случайный про20.5 . volt , α 0.2. sec и нормированной корре-цесс Z(t) с параметрами ε2exp ( α . τ ) имеет в сечениях Z(t1) и Z(t2) двуляционной функцией ρ ( τ )мерную плотность вероятности22z 12. ρ ( τ ) . z 1.
z 2 z 21.p z 1,z 2,τexp.. ε 2. ( 1 ρ ( τ ) ) 22222. π . ε . 1 ρ ( τ )Найти его ненормированную корреляционную функцию R z ( τ ) .22ε . exp ( α . τ )Ответ. R z ( τ )2.2. Спектральные характеристики2.2.1. Основные понятия и соотношения[Пусть x(t ), t ∈ 0, t m]- реализация эргодического процесса. Для нееподобно мощностным детерминированным сигналам можно найти спектральную плотность мощности (см.
энергетические характеристики детерминированных сигналов)S(ω) = lim| F t ( jω) |2mt m →∞Выражая2| F t ( jω) | =mквадратмодуляF t ( jω) ⋅ F t* ( jω)mmtm.спектральнойфункциичерез прямые преобразования Фурье функцийx(t ) ⇔ F t ( jω) и x( z) ⇔ F t∗ ( jω) при z = t − τ , можно показать, что спекmmтральная плотность мощности S(ω) эргодического процесса есть прямое преобразование Фурье для корреляционной функции R(τ) ,т.е.68∞S(ω) =∫ R (τ)e− jωτdτ .(2.7)−∞Если существует прямое преобразование, то существует и обратное преобразованиеR ( τ) =12π∞∫ S(ω)ejω τd ω.(2.8)−∞Эта пара преобразований, связывающая функции R(τ) и S(ω), называетсяпреобразованием Хинчина - Винера.
Они доказали, что такое преобразование справедливо для всех стационарных процессов, а не только для эргодических.Так как R(τ) - функция четная, то пару преобразований Хинчина - Винера можно записать в другой форме:∞∫S(ω) = 2 R ( τ) ⋅ cos(ω τ)d τ;0(2.9)∞R ( τ) =1S(ω) ⋅ cos(ω τ)d ω.π∫0Функцию S(ω) иногда называют энергетическим спектром случайногопроцесса. Этот спектр не несет сведений о фазовых соотношениях. По немунельзя восстановить реализацию процесса как функцию времени. Он показывает частотное распределение мощности флюктуаций случайного процесса.По известной функции S(ω) можно найти дисперсию процесса D , т.е.среднюю мощность P ∼ ,∞D = P ∼=1S(ω)d ω .π∫(2.10)0На основании (2.10) подобно (1.22) имеем условие для выбора практической ширины спектра случайного процесса:1γP ∼ =πωc∫ S(ω)dω .(2.11)0В технике для области физически реализуемых частот (f>0) часто применяют односторонний спектр мощности⎧2S(2πf ) при f ≥ 0;W (f ) = ⎨(2.12)⎩0 при f p 0.692.2.2.
Типовые примерыПример 2.2.1. Найти энергетический спектр стационарного случайного напряжения U(t), заданного корреляционной функцией (КФ) с параметрами1σ3 . volt и α0.2 . sec , а именно22R(τ )σ . exp ( α . τ ) ;R ( 0 . sec ) = 9 volt .График КФ сигнала U(t) показан на рис.2.2.1 при T2. T2. T , 2. T.. 2 . T .400τ8 . sec иvolt * volt10R ( τ)5201001020τsecРис.2.2.1Решение. Воспользуемся преобразованием Хинчина-Винера (2.7)0∞α .
τ . j . ω. τα . τ . j . ω. τ22S u( ω )σ .edτ σ .edτ .ee∞0Тогда для области положительных времен τ имеемassume σ , α , α > 0∞2σα . τ. j . ω. τ2S1 u ( ω )σ .edτj ..e.α ω )(j0Для области отрицательных времен τ интеграл0α . τ . j . ω. τ2S2 u ( ω )σ .eedτ∞должен быть комплексно сопряжен с функцией S1 u ( ω ) , так как S(ω) - этодействительная функция. Следовательно, S2 u ( ω )S2 u ( ω )σ(αS1 u ( ω ) , т.е.2j .ω );70j .ω )2 (ασ .- результат комлексного сопряжения.22(αω )Спектральная плотность мощностиS u( ω )S1 u ( ω ) S2 u ( ω ) .S2 u ( ω )Подстановка выражений даетS u( ω )S u( ω )σ(α2j .ω )σ2. α .j .ω )2 (ασ .;22(αω )2- результат упрощения.22(αω )1 .
Ω для данного процесса спекТаким образом, на сопротивлении Rтральная плотность мощности2σ2. α .S u( ω ),R ( α2 ω2)1причем S u ( 0 . sec ) = 90 sec watt .График энергетического спектра (точнее плотности мощности) данного1случайного сигнала приведен на рис.2.2.2 при W3 . secи2. WωW, W.. W .5022. σwatt * sec100R .αS u( ω)5042024ωrad / secРис.2.2.20.95 практическую ширину спектра стаПример 2.2.2. Найти при γционарного случайного сигнала U(t), заданного при параметрах σ3 . volt и1α0.2 . sec корреляционной функцией (КФ)22R(τ )σ . exp ( α .
τ ) ; R ( 0 . sec ) = 9 volt .График корреляционной функции приведен на рис.2.2.1.Решение. Воспользуемся преобразованием Хинчина-Винера (2.9)71∞22. σ .S u( ω )eα . τ.cos ( ω . τ ) d τ .0Выполним в Mathcad интегрирование:∞α . τ.2..cos ( ω . τ ) d τ ;2 σe0( exp ( α . τ ) . ( α . cos ( ω . τ ) ω . sin ( ω . τ ) ) α )2, τ ∞ , left .2 . σ . limit22(αω )Отсюда, если взять предел (limit) при τ→∞, можно получитьα2S u( ω )2.
σ ..22αω1 . Ω спекТаким образом, для данного процесса на сопротивлении Rтральная плотность мощности2α2. σ .S u( ω ),22R (αω )1причем S u ( 0 . sec ) = 90 sec watt . Результат аналогичен примеру 2.2.1.Полная мощность переменной составляющей (флюктуаций) случайногосигнала определяется дисперсией, которая:1) при его описании в частотной области, согласно (2.10), будетassume R , σ , α > 0∞221.ασ2.
σ .;D u( σ )dωπR ( α2 ω2)R02) при его описании во временной области, согласно D=R(0), будетassume R , σ , α > 02limτИтак, дисперсия D uσσ . α. τe0 Rσ2R.2Rи средняя мощность флюктуаций P uD u,P u = 9 watt .На основании (2.11) условие для выбора практической ширины спектрапринимает вид72γ.σ2Rω c1.2α2. σ .dω ;22R (αω )π01.
. .γ π α - результат решения уравнения.tan2Итак, практическая ширина спектра1ω cα . tan . γ . π21rad . Она зависит только от параметров γ и α.и составляет ω c = 2.541 secГрафик энергетического спектра (точнее плотности мощности) данного13 . secислучайного сигнала приведен на рис.2.2.3 при W2. WωW, W.. W .5022. σwatt * sec100ωcS u( ω)4ωc50202R .α4ωrad / secРис.2.2.3Пример 2.2.3. Случайный процесс X ( t ) в частотной области имеетравномерный и ограниченный по частоте спектр мощности низкочастотного0.5 . watt . sec ивида с параметрами: спектральная плотность мощности P 015 .
sec .частота среза (верхняя граничная частота) спектра ω cМатематическая модель спектра мощности имеет видS x( ω )P 0 if ω c ω ω c .0 otherwiseТребуется найти корреляционную функцию и дисперсию данного сигна-ла.73watt * secWГрафик спектральной плотности мощности приведен на рис.2.2.4 приW110 . sec и ωW, W.. W .2001ωcS x( ω )ωcP0105051015ωrad / secРис.2.2.4Решение. Вид КФ можно найти обратным преобразованием Фурье(2.8) его спектра мощности, а именноassume P 0 , ω c , τ complexR x( τ )1 .2.
πω cj . ω. τdωP 0. eω cТаким образом,R x( τ )P 0.1 .sin ω c. τ . P 0 .( π .τ )sin ω c. τ.( π .τ )Полученное выражение можно записать в компактной форме, если умножить его числитель и знаменатель на ωc и учесть определение функцииотсчетовsin ( z )Sa ( z ).zВ результате получимP 0. ω c. Sa ω . τ .R x( τ )cπTГрафик КФ при T5 .
sec и τ1.0 . T , 1.0 . T.. 1.0 . T приве400ден на рис.2.2.5. Данный случайный процесс имеет знакопеременную КФ.74watt * sec1P 0. ωcπR x( τ )6420246τsecРис.2.2.5Согласно равенству D=R(0), дисперсия процесса будетassume P 0 , ω cωP 0. ω c. Sa ω . τ. c , т.е.limPc0ππτ0ω cDxP 0.и составит D x = 0.796 wattπили, используя частотное описание процесса, согласно (2.10)ω c1.DxP 0 dω ;π0ω cDxP 0.- результат интегрирования.π2.2.3. Типовые задачиЗадача 2.2.1.
Найти интервал корреляции и спектр плотности мощности стационарного случайного напряжения U(t) , заданного при параметрах2σ3 . volt и α0.2 . sec корреляционной функцией222R(τ )σ . exp ( α . τ ) ; R ( 0 . sec ) = 9 volt .Ответ. Интервал корреляцииτ kНа сопротивлении R1. π; τ k = 1.982 sec .2 α1 . Ω спектральная плотность мощностиS u( ω )2σ . π.1 . 2expω ,.(4 α ).R α751причем S u ( 0 . sec ) = 35.67 sec watt .Задача 2.2.2. Случайный процесс Y( t ) в частотной области имеет1спектр мощности резонансно-полосового вида с параметрами α1.5 .
sec ,σ110 . sec . Модель спектра мощности имеет вид2.5 . volt и ω 012σ .α.S y( ω )α212ω2ω 0αω ω 0График спектральной плотности мощности приведен на рис.2.2.6.Требуется найти корреляционную функцию сигнала.2.volt * volt * sec6ω0ω042σαS y( ω )2402002040ωrad / secРис.2.2.6Ответ. Корреляционная функция2R y( τ )σ . ( exp ( α . τ ) . Φ ( τ ) exp ( α . τ ) . Φ ( τ ) ) . cos ω 0 . τ ,где Φ(t) - функция Хевисайда.Так как составляющая exp ( α .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
