Кавчук С.В. Сборник примеров и задач по теории сигналов (2001) (1186343), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Тогда получим1K ∑ ( jω) ≈,K oc ( jω)(3.32)т.е. частотные характеристики скорректированного устройства определяютсязвеном обратной связи. В частности, при Koc(jω)=β получим идеальную коррекцию путем введения отрицательной обратной связиK ∑ ( jω) ≈ 1 .β3.2.2.
Типовые примерыПример 3.2.1. Пусть задан идеальный фильтр нижних частот (ФНЧ) ,имеющий амплитудно-частотную характеристику (АЧХ) с коэффициентом1.5 и частотой среза f c350 . Hz , а также линейную фапередачи K 0зочастотную характеристику (ФЧХ) α(f)=-2πft0 с параметром t0.1033Примем за единицу времени одну миллисекунду ms 10 . sec.
Пустьна вход ФНЧ подается периодическая последовательность прямоугольныхимпульсов x(t) с параметрами: амплитуда импульса U m 1 . volt , длительность импульса τ2.5 . ms и период следования импульсов T4. τ .Требуется при условии t 0τнайти для выходного сигнала y(t) спек2тры амплитуд и фаз, вид сигнала и его среднюю мощность.Решение. Аналитическое выражение АЧХ идеального ФНЧ имеет видK ( f)K 0 if 0 f f c .0 otherwiseФЧХ идеального ФНЧα ( f)2 . π . f. t 0 if 0 f f c .0 otherwiseМатематическая модель периодической последовательности идеальныхпрямоугольных импульсов для трех периодовU m if 0 t τx( t )U m if T t < TτU m if 2 .
T t < 2 . Tτ0 otherwiseГрафики входного сигнала при tT , T 0.01 . ms .. 3 . T , а также.АЧХ и ФЧХ при f 0 .. 0.5 KHz приведены на рис.3.2.3, 3.2.4 и 3.2.5.volt1x( t )100103t. 10msРис.3.2.3203020radКоэффициент передачи104K( f ) 10500500α( f) 24fHzfHzРис.3.2.4Рис.3.2.5Для решения этой задачи необходимо прежде всего найти спектр входного сигнала. Так как входной сигнал представляет собой периодическуюфункцию времени, то для его представления в частотной области можно использовать как тригонометрический ряд Фурье, так и экспоненциальный рядФурье.
Первое разложение дает односторонний спектр (f>0), а второе - двусторонний (0<f<0). Поскольку заданная АЧХ-фильтра соответствует одностороннему спектральному представлению, то для нахождения спектра входногосигнала воспользуемся тригонометрической формой ряда Фурье (1.1).Так как при временном сдвиге амплитудный спектр не изменяется, тоτсдвинем сигнал на величину t c, перенеся тем самым начало координат в2середину импульса. При этом, согласно теореме о временном сдвиге, изме2 .
π . f. t c.нится спектр фаз на величину φ cx ( f )В результате при частоте 1-й (основной) гармоники f 1N10 учитываемых гармоник kФурье будут следующими:τа) a 01.T1и числеT0 .. N коэффициенты разложения в ряд2U m d t - постоянная составляющая ;τ2a01.TU m. τ - результат интегрирования, причем a 0 = 0.25 volt .105τ2.б) a k2k. 2. π .U m.
cost dt , k 0 ;TTτ2sin k . π .ak2.( k. π )τT .Um - результат интегрирования,например, a 1 = 0.45 volt ;τв) b k2.2Tk. 2. π .U m. sint dt, k 0;Tτинтегрирование дает b k20 . volt , как и следовало ожидать для четной функ-ции.Итак, cпектр амплитуд входного сигнала при k 1 будетτsin k . π .T .AkU m; A1 = 0.45 volt .2..(k π )С учетом постоянной составляющей амплитудный спектр принимает видA x( k )a 0 if k 0 .Ak if k 0Фазовый спектр входного сигналаbkφ x( k )atanφ cx k .
f 1 или, так как bk=0,akφ x( k )φ cx k . f 1 , т.е. φ x ( k )2. π . k. f 1. t c .На основании (3.17) спектр амплитуд выходного сигналаA y( k )A x ( k ) . K k. f 1 ;При подстановке функций A x ( k) и K (f ) окончательно можно записать106a 0 . K 0 if k 0A y( k )sin k . π .2.τT.U( k. π ).. .m K 0 if ( k 0 ) k f 1 f c0 otherwiseСогласно (3.18), спектр фаз выходного сигналаφ y( k )α k. f 1φ x ( k ) или....φ y( k )2 π k f 1 t 0 t c if 0 k . f 1 f c.0 otherwiseСпектрограммы входного и выходного сигналов приведены на рис.3.2.6и рис.3.2.7.volt1A y( k )A x( k )0100аφ x( k ) 5а100radrad01010kномер гармоникиkномер гармоники10φ y( k )5kномер гармоникиkномер гармоникиббРис.3.2.6Рис.3.2.7Таким образом, на выходе ФНЧ будут присутствовать только постоянная составляющая и первые три гармоники. Остальные частотные составляющие входного спектра полностью подавляются идеальным ФНЧ, так какего коэффициент передачи на этих частотах равен нулю.Вид выходного сигнала (рис.3.2.8) как суперпозиция выходных составляющих определяется тригонометрическим рядом Фурье, включающим прошедшие через ФНЧ составляющие входного спектра,1073y( t )A y ( k ) .
cos k . 2 . π . f 1 . tA y( 0 )φ y( k ).k= 12volt1y( t )10010203013t. 10msРис.3.2.8На основании (3.30) средняя мощность выходного сигнала на сопротивлении R1 . Ω будетPy1.R22a 0 .K 01 .2. Rsin k . π .32.k= 1( k. π )2τT.Um.K20 .Она составляет P y = 0.508 watt .ПРИМЕЧАНИЕ. Переход от одностороннего к двухстороннему частотному представлению на основе комплексного ряда Фурье можно выполнить, исходя из следующего. Для экспоненциального ряда Фурье спектр амплитуд есть четная функция, а спектр фаз - нечетная. Поэтому одностороннийспектр амплитуд входного сигнала зеркально отображается на область отрицательных частот. Одновременно амплитуды спектральных составляющих наположительных и отрицательных частотах уменьшаются в два раза.
Постоянная составляющая остается без изменения. Спектр фаз отображается на область отрицательных частот зеркально с одновременным изменением знакафазы каждой гармоники.Частотные характеристики ФНЧ приводятся в соответствие двухстороннему частотному представлению входного сигнала. На область отрицательных частот зеркально отображается АЧХ без изменений и ФЧХ с одновременным изменением знака фазы.Пример 3.2.2. Примем здесь за единицу времени одну миллисекунду3ms10 . sec. Пусть на вход идеального дифференцирующего устройства(ДУ), имеющего постоянную дифференцирования T1 .
sec и частотный108коэффициент передачи K ( ω )j . ω . T , подается в момент времени t=0 одиночный прямоугольный импульс x(t) с длительностью τ1 . ms и амплитудой U m 1.5 . volt .Требуется определить спектр и вид выходного сигнала, используя спектральный подход (3.20).ω . T . Так как ФЧХРешение. Идеальное ДУ имеет АЧХ A k ( ω )ωи при ω>0 имеем atan ( ∞ ) , а при ω<0 - atan ( ∞ ) , то ФЧХ0идеального ДУ можно записать, используя в Mathcad встроенную функциюif(x,y,z), следующим образомπ πα(ω )if( ω > 0 , atan ( ∞ ) , atan ( ∞ ) ) или α ( ω )if ω > 0 , ,.2 2Вид частотных характеристик идеального ДУ показан на рис.3.2.9 а,бW1при W0.8 . sec и ωW, W.. W .100α(ω )atanбезразмерная12radA k( ω)10α( ω )1ωωrad / secrad / secВходной сигнал x ( t )бРис.3.2.9U m.
( Φ ( t ) Φ ( tческой функцией времени (рис.3.2.10 при tдляvolt2x( t ) 123t. 10msРис.3.2.10121а004τ ) ) является непериоди0 , 0.01 . ms .. 2 . ms). Поэтомуего частотного представления следуетиспользовать интегральное преобразование Фурье (1.7). Тогда для входного сигнала можно получить частотные характеристики.1) Спектральную функциюτj . ω.
tF x( ω )U m. edt;0109F x( ω )j .U m. exp ( j . ω . τ )sin ( ω . τ )U m.ω2) Амплитудный спектр A x ( ω )F x( ω )A x( ω )2 . U m.1cos ( ω . τ )ωU mωU m. cos ( ω . τ )j .U mωF x( ω ).илиsinили A x ( ω )2 . U m.ω.τ2ωπ= 0.955 ms. volt .τarg F x ( ω ) или3) Фазовый спектр φ x ( ω )( cos ( ω . τ ) 1 )φ x( ω )atan, т.е. φ x ( ω )sin ( ω . τ )Например, A x;ω.τ2,так как выражение в квадратных скобках равно tan(-ωτ/2).На основании (3.15) спектральная функция выходного сигналаU m. exp ( j . ω . τ ) U m.. ( j . ω . T );F y( ω )jωF y( ω )U m.
T . ( 1 exp ( j . ω . τ ) ) - после упрощений ;F y( ω )U m. T . ( 1 cos ( ω . τ ) ) j . U m. T . sin ( ω . τ ) - запись в формеa+jb.Отсюда следует, что его амплитудный спектрA y( ω )cos ( ω . τ ) )U m. T . ( 1A y( ω )2 . U m. T .12U m. T . sin ( ω . τ )2;cos ( ω . τ )2илиω.τ.2 . U m. T . sin2Фазовый спектр выходного сигнала в периодической формеsin ( ω . τ )ω.τφ y( ω )atanatan cotили φ y ( ω ).( 1 cos ( ω τ ) )2.πω τφ y( ω )atan tan.22Следовательно, в линейной форме фазовый спектр будетA y( ω )или.110φ 1 y( ω )πω.τ22if ω0 .ω.τπif ω < 022Графики амплитудного и фазового спектров выходного сигнала ДУ приW1ведены на рис.3.2.11 а,б при W15 .
ms и ωW, W.. W . На1001пример, A y ( 4 . ms ) = 2.728 sec volt .A y( ω )20102. U m0205ω. 10 3rad / msРис.3.2.11,аradvolt * sec5φ1 y( ω )2002010ω. 10 3rad / msРис.3.2.11,бЭтот же результат можно получить и на основании (3.17) и (3.18).Форма сигнала y(t) на выходе идеального ДУ находится обратным преобразованием Фурье его спектральной функции Fy(ω). С этой целью используем в Mathcad оператор обратного преобразования Фурье Inverse FourierTransform в виде 1-1(*), где * - преобразуемое выражение и введем определеif( t 0 , ∞ , 0 ) . В Mathcad символу ∞ соотние дельта-функции Dirac ( t )307ветствует число 10.
Тогда можно записать11 . U m. T . ( 1 exp ( j . ω . τ ) ) .В результате преобразования имеем1 .y( t )U m. T . ( 2 . π . Dirac ( t ) 2 . π . Dirac ( t τ ) )( 2. π )U m. T . ( Dirac ( t ) Dirac ( t τ ) ) .или в привычной форме y ( t )y( t )График выходного сигнала показан на рис.3.2.12 при tвиде столбчатой диаграммы.0,τ25.. 2 .
τ в111volt3072 103τ. 10g( t )00.511.522.53072 103t. 10msРис.3.2.12Таким образом, отклик идеального ДУ на одиночный прямоугольныйвидеоимпульс представляет собой две дельта-функции Дирака с площадью,равной UmT. Положительная дельта-функция соответствует переднему положительному фронту импульса. Отрицательная дельта-функция- его заднемуотрицательному фронту.Пример 3.2.3. Примем за единицу времени одну миллисекунду3ms10 . sec. Реальная дифференцирующая RC-цепь (рис.3.2.13) с элементами R20 .
K Ω , C0.01 . μ F и постоянной времени TR. C( T = 0.2 ms) имеет передаточную функциюp. TK(p).1 p. TПусть на ее вход в момент времени t=0 подается одиночный прямоугольный видеоимпульс c длительностью τ1 . ms и амплитудой.U m1.5 volt . Модель входного сигнала (рис.3.2.14) в форме записи, удобной для символьных преобразований символьным процессором Mathcad,имеет видu( t )U m.
( Φ ( t ) Φ ( t τ ) ) .Требуется определить вид выходного сигнала, используя операторныйподход (3.21).volt2u( t)15Рис.3.2.1303t. 10msРис.3.2.145112Решение. Входной сигнал имеет изображениеτp .tU(p)U m. edt ;0.( exp ( p τ ) 1 )U(p)U m.- результат преобразования.pИзображение выходного сигнала, снимаемого с резистора, будетexp ( p . τ ) ) .(1U m.U R(p)pp. T.1 p.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
