Кавчук С.В. Сборник примеров и задач по теории сигналов (2001) (1186343), страница 13
Текст из файла (страница 13)
ω . T ) 0;00⇒ решение данного уравнения в виде вектор-столбца трех его корней.jTТаким образом, подынтегральная функция имеет два полюса: один поj0 и другой простой полюс при ω 2люс второго порядка при ω 1.TСогласно (3.10), вычет Res ω 1 ( t ) в точке ω1 будетassume v , T , tj . ω. tv. ed.
( ω )22....dω(j ω ) (1 j ω T)ω0Resj . v. ( t T ) .Итак, первый вычетω 1( t )limj . v. ( tT ).Вычет Res ω 2 ( t ) в точке ω2 будетassume v , T , tj . ω. tv. elimωj2.( j .ω ) ( 1j .ω.T ). ωjTj . v. expt .T.TTt .T.TВ конечном итоге, согласно (3.13), для t>0 выходной сигналt .y( t )j . ( j . v. ( t T ) )j . v. expT , t>0;TИтак, второй вычет Res ω 2 ( t )j . v.
exp123t .T , t>0 - результат упрощения.TК этому же результату можно прийти, вычислив интеграл свертки (3.22)сигнала x(t) и импульсной функции g(t), а именноy( t )v. tTexptτt1v. τ . . eTy( t )Tdτ ;0v. ty( t )T. vT . expt .v , t>0.TУчитывая временные ограничения (t>0) с помощью функции временногоокна типа Хевисайда Ф(t), окончательно получимt.
Φ ( t ) ; y ( 1 . sec ) = 0.552 volt .y( t )v. t T . 1 expTДля идеального устройства, не имеющего запаздывания, при масштаб1ном коэффициенте K ( 0 . sec ) = 1 имеемassume v1K ( 0 . sec ) . x ( t ) . Φ ( t )y ид ( t )v. t. Φ ( t ) .ПРИМЕЧАНИЕ. Полученная таким способом функция yид(t) являетсябезразмерной, так как предложение “ assume v” предписывает Mathcad считать величину “v” неопределенной. Поэтому при построении ее графика, совмещенного с размерной функцией y(t), необходимо умножить такую функцию на соответствующую размерность (см. рис.3.2.22) или определить этуфункцию как размерную.На основании (3.23) функция динамической погрешностиt. Φ ( t ) v.
t. Φ ( t ) ;v. t T . 1 expΔ (t)TΔ (t)v. T .1exptT. Φ ( t ) - результат упрощения.Графики выходных сигналов идеального и реального устройств приведены на рис.3.2.22 при124MM3 . sec и t,10MM10200.. M .Графики выходных сигналов6volty( t )4y ид ( t ) . volt2101234tsecРис.3.2.22Для достаточно больших t (установившийся режим) погрешностьΔ(t)=-vT=constи функция y(t) запаздывает относительно x(t) на время T.Если допускается запаздывание выходного сигнала на время t 0отклик идеального устройстваassume v , T1K ( 0 . sec ) . x t t 0 . Φ ( t )y1 ид ( t )v. ( tТогда динамическая погрешность принимает видΔ 1( t )v. tΔ 1( t )v. T . expT.
1exptT.Φ ( t )v. ( tT , тоT ). Φ ( t ).T ). Φ ( t ) ;t .Φ ( t ) - результат упрощения.TГрафики динамической погрешности при недопустимости и допустимости запаздывания реального устройств приведены на рис.3.2.23приM4 . sec и t0 , 0.001 . M .. M .1252Графики динамических погрешностейv. TvoltΔ( t )Δ1( t )012345v.
T2tsecРис.3.2.23Пример показывает, что при произвольной форме входного сигнала x(t)объем вычислений для определения как y(t), так и Δ(t) достаточно велик. Поэтому на практике часто довольствуются приближенными оценками динамической погрешности.Пример 3.2.8. Пусть имеется датчик неэлектрической величины, выходной сигнал которого является напряжением. Датчик представляет собойинерционное звено первого порядка с постоянной времени T2 . sec , характеризующей его инерционность, и имеет частотный коэффициент передачи1K(ω ).1 j .ω.TТакому датчику соответствует эквивалентная электрическая схема в виде интегрирующей RC-цепи.Требуется уменьшить динамическую погрешность датчика в 10 раз.
Для0.2 . sec за счетэтого уменьшим его постоянную времени до величины T 0расширения рабочей полосы частот (полосы пропускания) путем последовательного включения корректирующего звена.Решение. Для идеальной корекции на основании (3.31) корректирую1 должнощее звено с коэффициентом передачи на нулевой частоте K 0иметь частотный коэффициент передачиK 0. ( 1K 1( ω )j . ω . T ).Однако такая функция соответствует физически нереализуемому звену.Тем не менее можно подобрать корректирующее звено (рис.3.2.24) с комплексным коэффициентом передачи достаточно близким к идеальному присоответствующем выборе параметров.126Рис.3.2.24Пусть для начальной определенности элементы схемы нарис.3.2.24 имеют значения:R 11.
K Ω ;R 21. K Ω ;C11. μ F .Для рассматриваемой схемы введем обозначения:1) коэффициент передачи на нулевой частотеR 2K 0;R 1 R 2R 1. C 1 и T 0K 0. T 1.2) постоянные времени T 1Тогда частотный коэффициент передачи корректирующего звена можно представить в виде1 j .ω.T 1K 0.K 1( ω ).1 j .ω.T 0Заметим, что при ωΤ2<<1 данная функция отвечает требованию идеальнойкоррекции.Частотный коэффициент передачи скорректированного датчика1 j .ω.T 11. K .K Σ(ω ).01 j .ω.T1 j .ω.T 0Для последовательной коррекции датчика необходимо выполнить условиеT=T1.
Тогда коэффициент передачи скорректированного датчика будет равенK 0K Σ(ω ).1 j .ω.T 0В результате получена новая постоянная времени устройстваT0=K0T1=K0T. Очевидно, при K0<1 новая постоянная T0<T. Теоретическивеличину T0 можно сделать сколь угодно малой, выбрав соответствующимобразом значение коэффициента K0. Однако при этом уменьшается чувствительность скорректированного датчика, так как она пропорциональна величине множителя K0. В известных пределах потерю чувствительности можновосстановить промежуточным усилением сигнала.127На основании изложенного проведем расчет последовательной коррекции посредством пассивной схемы на рис.3.2.24.
Так как требуется постоян0.2 . sec, то коэффициентная T 0T0K 0; K 0 = 0.1 .T90 . K Ω . Тогда емкость конденЗададимся сопротивлением резистора R 1сатораTи составит C 1 = 22.222 μ F .R 1Сопротивление второго резистораK 0. R 1R 2, R 2 = 10 K Ω .1 K 0Модуль частотной характеристики датчика до коррекцииassume T1K(ω ).C12 2ω .T1Отсюда следует АЧХ1A( f ).2.21 ( 2. π . f ) TЧастотный коэффициент передачи после коррекции1 j . ω .
R 1. C 11..K 0K Σ(ω )1 j .ω.T1 j . ω . K 0. R 1. C 1Модуль этой частотной характеристикиassume K 0 , T , R 1 , C 1 , K 0 > 01K Σ(ω )12 2ω .T1.K .01.222ω .R 1 .C 1.2222ω .K 0 .R 1 .C 1Отсюда следует АЧХK Σ ( 2. π . f ) .Графики АЧХ приведены на рис.3.2.25 при константе Bзоне изменения частоты fB. Hz , ( B 0.01 ) . Hz ..
B. Hz .A Σ ( f)1.5 и диапа-128АЧХ датчика до и после коррекции1A Σ ( f)A( f )21012fHztРис.3.2.25Переходная функция датчика до и после коррекции (рис.3.2.26 при0 , 0.01 .. 4 . sec ) соответственноh( t )1ettTT0K 0. 1и h Σ (t)e.Переходная функция до и после коррекцииK0h Σ( t)h( t ) . K 001234tsecРис.3.2.263.2.3. Типовые задачиЗадача 3.2.1. Примем за единицу времени одну миллисекунду3ms10 .
sec. На вход идеального ФНЧ без временного запаздывания c час1.5и частотой срезатотным коэффициентом передачи K 01100 . π . sec в момент времени t=0 подается прямоугольный видеоимω c1 . ms.пульс с амплитудой U m 1 . volt и длительностью τ129Модель входного сигнала в форме записи, удобной для символьных преобразований символьным процессором Mathcad,x( t )U m.
( Φ ( t ) Φ ( t τ ) ) .Модель ФНЧK(ω )K 0. Φ ω ω cΦ ω ω c .Требуется для выходного сигнала найти энергетический спектр и энер-гию.Ответ. Энергетический спектр выходного сигнала.1 ).22 ( cos ( ω τ )E y( ω )2. U m . K 0 .Φ ω ω c2( ω )Энергия выходного сигналаEyω c.2K 0. cos ω . τU mcπω c2.Φ ω2.Si ω c.
τ . τ . ω c .12Энергия составляет E y = 0.22 sec volt .Задача 3.2.2. Пусть имеется (рис.3.2.27, где R50 . K Ω , C20 . μ F икоэффициент усиления операционных усилителей K1 → ∞) идеальное интегрирующее устройство (ИУ) с постоянной интегрирования TR. C1(T1 . sec ) и передаточной функцией K ( p ).p. TCRRR-Вх.-K1K1+Вы х.+Рис.3.2.27На вход ИУ в момент времени t=0 подается экспоненциальный видео1.5 . volt и постоянной времени T 02.0 . sec.импульс с амплитудой U 0Математическая модель входного сигналаU 0 .
expt. Φ ( t ).T0Требуется спектральным методом определить вид выходного сигнала,его энергетический спектр и полную энергию, а также коэффициент передачимощности устройства.x( t )1301Ответ. Коэффициент передачи мощности K p ( ω )Энергетический спектр E y ( ω )U 0T02.2.2.(ω T )2222 2ω .T 0 .( ω .T )1∞.Полная энергия E yВыходной сигнал (рис.3.2.28) имеет видU 0. T 01..
expty( t )TT0.1 . Φ ( t ).Выходной сигнал y(t) идеального ИУ4volty( t )x( t ) 20246810tsecРис.3.2.28Задача 3.2.3. Дана схема на рис.3.2.29, где элементы R50 . K Ω ,.C20 μ F и коэффициент усиления операционных усилителей K1>>1. Схема имеет постоянную времени TR. C (T1 . sec ) и импульсную функцию1.1.g( t )expt .TTRRR-Вх.СR-K1K1++Рис.3.2.29Вы х.131сτНа вход схемы в момент времени t=0 подается линейный видеоимпульс1параметрами: скорость изменения V m 4 . volt . sec , длительность2 . sec. Математическая модель входного сигналаτ .x( t )V m.
t( Φ ( t ) Φ ( t τ ) ).2Требуется операторным методом определить вид выходного сигнала.Ответ. Выходной сигнал (рис.3.2.30)y( t )1.21.21.V m.2. TV m.T1.(te2. tτ)T2. T . e.( τ1.tTτ.eτ1.t2. T )eTt. ( 2. Tif t ττ)if t τ0 otherwiseГрафики сигналов x(t) и y(t)5volty( t )x( t )012345tsecРис.3.2.30Задача 3.2.4. Решить задачу 3.2.3 временным методом.Задача 3.2.5. Схема на рис.3.2.29, где R50 . K Ω , C20 . μ F иK1>>1, используется для масштабирования.
На вход схемы в момент времениt=0 подается линейный видеоимпульс с параметрами: скорость изменения1Vm4 . volt . sec , длительность τ2 . sec. Математическая модель входного сигналаx( t )V m. t. ( Φ ( t ) Φ ( t τ ) ) .Требуется определить динамическую погрешность данной схемы.Ответ. Динамическая погрешность (рис.3.2.31) масштабирующегоустройства132T . V m.Δ (t)1τtTV m.
e1.expTτt.τTeif t τtt.TeT.Tif t > τ0 otherwiseГрафики сигналов и погрешности10volty( t )x( t )5Δ( t ) . volt012345tsecРис.3.2.31Задача 3.2.6. Решить задачу 3.2.5 при условии, что схема на рис.3.2.29используется для интегрирования.Ответ. Динамическая погрешность (рис.3.2.32) интегрирующегоустройстваΔ и( t )1.22. T22. T . tV m.Vm2. T1. . 2t TTtτ2. e0 otherwiseT2if t τTt.2 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
