Кавчук С.В. Сборник примеров и задач по теории сигналов (2001) (1186343), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Выбор шага РВД по производным сигналаЗдесь исходят прямо из временного представления сигнала. Математическая модель сигнала – некоторая функция x(t), непрерывная на интерваленаблюдения tm и имеющая ограниченное число конечных и непрерывныхпроизводных.Такую функцию можно описать любым аппроксимирующим полиномом.Обычно применяют экстраполяционный полином Тейлора степени n = 0(ступенчатая экстраполяция СЭ) и n = 1 (линейная экстраполяция ЛЭ) илиинтерполяционный полином Лагранжа степени n = 0 (ступенчатая интерполяция СИ) и n = 1 (линейная интерполяция ЛИ). Критерий приближения –равномерный или среднеквадратичный.При оценке погрешности воспроизведения, исходя из остаточного членаполинома, можно получить формулы для расчета шага РВД, сведенные втабл.4.1, где163M 1 и M 2 – модуль-максимум 1- и 2-й производных сигнала,M 1 = max x ′(t ) , M 2 = max x ′′(t ) , t ∈ t m ;δ д и σ д – абсолютные максимальная и среднеквадратичная погрешности дискретизации.КритерийприближенияПолиномТейлораРавномерныйЛагранжаТейлораСреднеквадратичныйЛагранжаСтепеньn0Таблица 4.1Шаг РВДΔtδ д / M112δ д / M 202δ д / M 118δ д / M 203σ д / M 112 5σ д / M 202 3σ д / M 112 30σ д / M 24.2.2.
Типовые примерыTλПример 4.2.1. Найти шаг дискретизации сигнала (рис.4.2.1 приT21.5 . volt . sec10 . sec и t0,.. T ) с параметрами a 0и10011 . sec , математическая модель которого имеет вид2a 0 . t . exp ( λ . t ) , t>0.Способ воспроизведения – полиномом Котельникова (т.е. функциямиотсчетов ФО), допустимое значение относительной среднеквадратичной по0.1 .грешности σ отнx( t )164volt1x( t ) 0.500510tsecРис.4.2.1Решение. Так как сигнал задан на интервале t>0, то для определенияего спектральной функции вместо (1.7) целесообразно использовать преобразование Лапласа. Найдем изображение заданного сигнала с помощью оператора Laplace Transform в виде 1(*).
Тогда2X( s)1 . a 0 . t . exp ( λ . t ) ;a0X( s)2.− результат преобразования, где s − пере3(s λ)менная Лапласа.Отсюда, заменяя переменную Лапласа s на переменную Фурьеjω, можно получить спектральную функцию2. a 0F x( ω ).3( j .ω λ )1Например, F x ( 1 . sec ) = 0.75 0.75j sec volt .Спектральная функция не ограничена по частоте. Модуль спектральнойфункцииassume λ , a 0 > 0F x( ω )a02.3222.(λω )На основании равенства Парсеваля (1.14) полная энергия сигналаassume a 0 , λ > 0165∞Ex1.π2a 02.dω3(λ23. a 04 λ522ω )20Таким образом, полная энергия на сопротивлении R.1 .
Ω будет23 .a 0и составит E x = 1.688 sec watt .4. R λ 5Энергия погрешности, согласно (4.4) и (4.5),2E x . σ отнE отби составит E отб = 0.017 sec watt .Энергия сигнала, ограниченного частотой среза ωc,Exω cEx ω c1.π2a02.dω .3(λ22ω )20Интегрирование и последующее упрощение дают2Ex ω ca0.2. π35. λ . ω c3. λ . ω cλ35.3 . atanλ2ω c. λ2λ2 2ω c2 2.ω cСогласно (4.7), граничную частоту среза ωc найдем из решения неравен2E отб E x ω c , откуда при γ1 σ отн имеем уравнение.γ E x E x ω c , где γ = 0.99 .Решить данное трансцендентное уравнение можно только численным способом:1ω c1 .
sec − начальное приближение;Given − ключевое слово нижеследующего уравненияω c233. λ2 ω 222 5. λ . ω3 . atan3. λ . ω ccca03. a 0 .λ.γ;.524 λ2 π5.22λ λω cства E x166ω c1Find ω c − корень уравнения, определяемый в Mathcad спец-1функцией Find(z). Решение уравнения дает ω c1 = 1.803 sec .Таким образом, в соответствии с (4.2) шаг временной дискретизацииπΔtи составит Δ t = 1.742 sec .ω c1Пусть время наблюдения сигнала t m 10 .
sec . Тогда число отсчетовtmи составит N p = 5 ,Δtгде floor(z) − функция выделения целой части числа. Исходный сигнал восстанавливается полиномом Котельникова (4.3)N psin ω c1 . ( t i. Δ t )K(t)x ( i. Δ t ) ..ω c1 . ( t i. Δ t )i= 0График восстановленного по Котельникову сигнала приведен нарис.4.2.2 в сравнении с исходным сигналом.N pfloorvolt1K( t )x( t )0246810tsecРис.4.2.2Пример 4.2.2.
Пусть задан сигнал (рис.4.2.3 при T10 . sec иT211.5 . volt . sec и λt0,.. T ) с параметрами a 01 . sec , математи100ческая модель которого имеет вид2x( t )a 0 . t . exp ( λ . t ) , t>0.Найти шаг временной дискретизации, при котором погрешность равно0.2 . voltмерного приближения не превышает допустимой величины δ 0при способе воспроизведения, ориентированном на линейную интерполяцию(ЛИ).167volt1x( t ) 0.500510tsecРис.4.2.3Решение.
Согласно табл.4.1, для расчета шага РВД необходимо провести анализ второй производной сигнала x(t) на интервале определения t>0.Вторая производнаяx2 ( t )d22a 0 . t . exp ( λ . t ) ;d t22 2x2 ( t )a 0 . exp ( λ . t ) . ( 2 4 . λ . t λ . t ) − результат двойногодифференцирования.Значения 2-й производной на границах интервала определения:21x2 ( 0 . sec ) = 3 secvolt и x2 ( ∞ )0 . sec .
volt.Найдем точки экстремума 2-й производной. Для этого определим третьюпроизводную сигналаx3 ( t )d3d t3λ. t2a 0. t . e ;a 0 . λ . exp ( λ . t ) . ( 6Решим уравнение2 26 6. λ . t λ . t 0 ;x3 ( t )12( 2. λ )12( 2. λ ). 6. λ6. λ . t2 2λ . t ) - результат дифференцирования.2. 3. λ. 6. λ2.
3. λ⇒ корни уравнения в виде вектор-столбца его решений.Итак, имеемt11.λ33 , t 1 = 4.732 sec .1681.33 , t 2 = 1.268 sec .λТретий корень соответствует условию exp(-λt)=0 и равен t3= ∞ .t2Значения модуля 2-й производной в точках экстремума будут22x2 t 1 = 0.072 secvolt и x2 t 2 = 0.618 secvolt .Сравнение значений модуля 2-й производной в точках экстремума и награницахинтерваладаетмодуль-максимум2-йпроизводнойM 2x2 ( 0 . sec ) и значение шага РВД для ЛИ8. δ 0, Δ t ли = 0.73 sec .M 2Отсчеты сигнала при РВД в случае ЛИ и график его восстановления меj.
Δ t ли0 .. 12 и tjтодом ЛИ показаны на рис.4.2.4 при jΔ t ли1voltx tx tΔt лиj6. Δtлиj0246810tjsecРис.4.2.44.2.3. Типовые задачиЗадача 4.2.1. Найти для случая воспроизведения функциями отсчетов5 . % шагФО при относительной среднеквадратичной погрешности σ отн50 . volt . secдискретизации сигнала с параметрами μтематическая модель которого имеет видα .tu( t )μ .
t. e . Φ ( t ) .1110 . sec , ма-и αОтвет. Частота среза спектра сигнала ω c = 54.646 secШаг РВД Δ t = 0.057 sec .1.169Задача 4.2.2. Найти для случая воспроизведения функциями отсчетов10 . % шагФО при относительной среднеквадратичной погрешности σ отн210 . volt . sec и λдискретизации сигнала с параметрами aтематическая модель которого имеет видλ. ta. e .
.x( t )( λ t sin ( λ . t ) ) , t>0.2λ10.5 . sec , ма-1Ответ. Частота среза спектра сигнала ω c = 0.847 sec .Шаг РВД Δ t = 3.707 sec .Задача 4.2.3. Найти для случая ЛИ при допустимой погрешности рав5 . volt шаг дискретизации сигнала с параметномерного приближения δ 0210 . volt . sec , λрами aрого имеет вид0.5 . secλ.a. ex( t )λq21иq10 , математическая модель кото-t.( λ.tsin ( λ . t ) ) , t>0.Ответ. Модуль-максимум 2-й производной M 2Шаг РВД Δ t ли = 2.322 sec .27.42 . volt . sec .Задача 4.2.4.
Найти для случая воспроизведения функциями отсчетовФО при относительной среднеквадратичной погрешности σ отн. = 2 % шагдискретизацииэкспоненциальноговидеоимпульсасамплитудой1..U m1 volt и коэффициентом затухания α0.1 sec , математическаямодель которого имеет видx( t )U m. exp ( α . t ) .
Φ ( t ) .Ответ. Частота среза спектра сигнала ω cШаг РВД Δ tπ.αtanπ.2α . cotπ.22σ отн .2σ отн , Δ t = 0.02 sec .Задача 4.2.5. Найти для случая ЛЭ при допустимой среднеквадратич0.2 . volt шаг дискретизации сигнала с параметраминой погрешности σ 0μ10 . volt . sec, λ12 . sec , математическая модель которого имеет вид170μ.z(t)tsin ( λ . t ) , t>0.Ответ. Модуль-максимум 2-й производной M 21Шаг РВД Δ t лэ2. 3. 54σ0.3μ. λ1.
. 3μ λ .3, Δ t лэ = 0.183 sec .2Задача 4.2.6. Найти для случая СИ при допустимой погрешности рав0.2 . volt шаг дискретизации сигнала с параномерного приближения δ 02метрами A 10 . volt . sec , λкоторого имеет видλ.x( t )A. eq22. λ2 . rad . sec1иq10 , математическая модельt. ( sin ( λ . t )λ . t. cos ( λ . t ) ) , t>0.Ответ. Модуль-максимум 1-й производной M 1Шаг РВД Δ t си = 0.046 sec .18.657 . volt . sec .Задача 4.2.7. Решить задачу 4.2.6 для случая СЭ и допустимой средне0.2 . volt .квадратичной погрешности σ 0Ответ. Шаг РВД Δ t сэ = 0.04 sec .Задача 4.2.8. Решить пример 4.2.2 при условии, что способом воспроизведения является ступенчатая экстраполяция.Ответ.
Модуль-максимум 1-й производнойa 0. 2M 12 . exp 22 . 2.λШаг РВДδ 0. λ2.. exp 2Δ t сэ2 , Δ t сэ = 0.289 sec .22a 0. 21714.3. Дискретизация случайных сигналов4.3.1. Основные понятия и соотношенияВ качестве математической модели сигнала в этом случаеpассматpивается стационаpная случайная функция вpемени, хаpактеpистикикотоpой [математическое ожидание mx, диспеpсия Dx и функция автокоppеляции Rx(τ)] являются известными. Погpешность дискpетизации обычнооценивается сpеднеквадpатичным кpитеpием пpиближения. Однако впpинципе возможно пpименение кpитеpия pавномеpного пpиближения. Длявоспpоизведения сигнала пpименяется полином Тейлоpа или Лагpанжа.Основные фоpмулы для pасчета шага PВД пpи сpеднеквадpатичномкpитеpии пpиближения пpиведены в табл.4.2.Таблица 4.2ПолиномСтепеньnТейлора0Уравнение для расчета шага РВДR x ( Δt ) = R x (0) −1Лагранжаσ 2дσ 2д22= 2R x (0) − 2R x ( Δt ) + Δt R x′ (0) − 2ΔtR xx′ ( Δt )0σ 2д⎛ Δt ⎞R x ⎜ ⎟ = R x (0) −⎝ 2⎠21σ 2д = 15.
R x (0) + 0.5R x ( Δt ) − 2R x ( Δt 2)В табл.4.2 приняты обозначения:R x ( Δt ) − автокорреляционная функция сигнала при τ = Δ t ;R x′ (0) − автокорреляционная функция 1-й производной сигнала приτ = 0;R xx′ ( Δt ) − взаимная корреляционная функция сигнала и его 1-й произ-водной при τ=Δt.Для стационаpного диффеpенциpуемого пpоцесса автокоppеляционнаяфункция к-й пpоизводной будетRx( k )( τ) = ( −1)kd 2 k R x ( τ)d τ 2k,а взаимная коppеляционная функция сигнала и его 1-ой пpоизводной(4.8)172R xx′ ( τ) =dR x ( τ).dτ(4.9)Для стационарного процесса возможен также выбор шага РВД по его частотным характеристикам. В этом случае используется критерий среднеквадратичного приближения и случайный сигнал воспроизводится функциямиотсчетов, т.е.
полиномом Котельникова.Для применения теоремы Котельникова необходимо ограничитьэнергетический спектр частотой ω c , отбросив высокочастотную частьспектра при условии обеспечения допустимой погрешности дискретизации(точнее аппроксимации). Тогда условие выбора частоты среза ω cэнергетического спектра будетPо т б =1π∞∫ S(ω)dω ≤ σ2д.(4.10)ωc4.3.2. Типовые примерыσприσ0Пример 4.3.1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
