Кавчук С.В. Сборник примеров и задач по теории сигналов (2001) (1186343), страница 12
Текст из файла (страница 12)
TСогласно свойству временного сдвига, для преобразования Лапласа (оноаналогично преобразованию Фурье) наличие в изображении UR(p) множителяexp ( p . τ ) говорит о появлении в оригинале временного сдвига, т.е. разрывафункции, величиной τ. Поэтому выделим составляющую с временным сдвигом, разложив изображение выходного сигнала на элементарные дробиU R(p)U m.T(1p. T )T . exp ( p .
τ ).U m.( 1 p. T )Форма выходного сигнала определяется обратным преобразованием Лапласа функции UR(p), т.е. uR(t)=L-1[UR(p)]. Найдем это преобразование методом вычетов, используя формулу обращения (3.14).Рассмотрим первое слагаемоеU m. TU1 R ( p ).( 1 p. T )1 p . T , имеющий одинЗнаменатель функции U1R(p) есть полином N ( p )простой корень p 11T. Согласно (3.12) и (3.14), оригинал изображенияU1R(p) есть вычет Res1 p1 ( t ) функции U1R(p)ept в точке p1. Определим вMathcad вычетU m.
T. ep . t .Res1 p1 ( t )limpp 1 d (N(p))dpВычислим предел113assume U m , TU m. T. ep . tU m. expt, здесь t>0.T1 d ( 1 p. T )pT dpИтак, вычет первого слагаемого справедлив для области t>0 . Его можнозаписать в общем виде, введя временные ограничения с использованием вкачестве временного окна функцию Хевисайда Ф(t). Тогдаt .Res1 p1 ( t )U m. expΦ ( t ).TТеперь рассмотрим второе слагаемоеlimU2 R ( p )p .τU m. T . e.1 p.
TВычислим для него пределassume U m , T , τpU m. T . elimp1Tddp(1.( tτ)p. T )( tU m. expτ)T, здесь t>τ.Итак, вычет второго слагаемого справедлив для области t>τ . Его можнозаписать, введя временные ограничения функцией окна типа Ф(t-τ), в следующей форме(t τ ) .Res2 p1 ( t )U m. expΦ (t τ ) .TТак как оригинал выходного сигнала в целом определяется суммой вычетов слагаемых изображения, то окочательно имеемu R(t)U m.
expt .Φ (t)TU m. exp(tTτ) .Φ (tτ ).График сигнала на выходе дифференцирующей RC-цепи приведен нарис.3.2.15.114volt2u R( t)321012323t. 10msРис.3.2.15Если выходной сигнал снимать с конденсатора, то данная RC-цепь будетсоответствовать интегрирующей цепи. При этом напряжение на конденсаторе(рис.3.2.16)u C( t )u ( t ) u R ( t ).volt2Umu C( t )1u( t)32101233t.
10msРис.3.2.16ПРИМЕЧАНИЕ. При практическом использовании операторного метода большую часть формальных вычислений можно исключить, обращаясь кшироко распространенным таблицам преобразований Лапласа или применяяMathcad с операторами прямого и обратного преобразований - LaplaceTransform и Inverse Laplace Transform . Например, определив произвольно1p( 2 j . 5 ) . sec , и записав обратное преобразование Лапласа в виде( 1 exp ( p . τ ) ) . p . T1u R(t)1 .
U m.,p1 p. Tс помощью оператора Inverse Laplace Transform можно для t>0 получитьt(t τ )expexpTTu R(t)U m. T .Φ ( t τ )., t>0.TTЭто соответствует результату, полученному методом вычетов.115Пример 3.2.4. Дана интегрирующая RC-цепь (рис.3.2.17) с постояннойвремени T1 . sec и импульсной характеристикой1.texpg( t ).TTНа ее вход в момент времени t=0 подается одиночный видеоимпульс экспо1.5 . volt и постоянной времениненциальной формы с амплитудой U 0T02.0 . sec . Модель входного сигнала (рис.3.2.18 при M8 . sec иMtM, M.. M ) имеет вид250t .x( t )U 0 .
expΦ ( t ).T0Требуется определить вид выходного сигнала, его энергетическийспектр и полную энергию.Сигнал x(t)2voltx( t )110Рис.3.2.17010tmsРис.3.2.18Решение. Отклик цепи определяется для t>0 интегралом свертки (3.22)tτ .1.t τU 0 . expexpy( t )Φ ( τ ).dτ ;TT0T0expy( t )U 0. T 0.tT0T0expT1.Tt, t>0 - результат интегриро-вания.График выходного напряжения показан на рис.3.2.19 при NNt0,.. N .25010 .
sec и1161volt1.36. sec0.75 . volty( t )0510tsecРис.3.2.19График показывает, что интегрирующая RC-цепь сглаживает входной сигнал.На основании (1.7) спектральная функция выходного напряжения∞U 0. T 0.F y( ω )ettT0TeT0T. exp ( j . ω . t ) d t.0Вынося постоянный множитель за знак интеграла, ее можно привести к виду∞∞tt.U 0 T0T0j .
ω. tT . j . ω. t..F y( ω )eedte edt .T0 T00Для первого интеграла имеемassume T 0 > 0∞tF1 y ( ω )eF2 y ( ω )T.0Для второго интеграла assume T > 0∞T0.ej . ω. tdtjjω.T 0.T .0tj . ω. tj .T.(jT. ω )0Таким образом, спектральная функция выходного сигнала будетeedt117U 0. T 0.T0 TF y( ω )U 0.F y( ω )jT 0. ωj.TT0T 0. ω . ( T . ωjj0T. ω )(jj ).T ;- результат упрощения.1Например, F y ( 1 .
sec ) = 0.3 0.9j sec volt .Амплитудный спектр как модуль спектральной функции будетassume U 0 , T 0 , T , U 0 > 0 , T 0 > 0 , T > 0 , T > T 0A y( ω )T0U 0.F y( ω )2.2.2.2T0 ω1. T ω1Согласно (3.26), энергетический спектр как квадрат модуля спектральной функции будетassume U 0 , T 0 , T , U 0 > 0 , T 0 > 0 , T > 0 , T > T 0F y( ω )2T02U 0 .2.2 22 2T 0 .ω1 .( T .ω1)1 .
Ω спектральная плотность энергииСледовательно, на сопротивлении Rвыходного сигнала2E y( ω )U 0.RT022ω .T 022 21 .( T .ω.1)21watt .Например, E y ( 1 . sec ) = 0.9 secГрафик энергетического спектра выходного сигнала приведен наW1рис.3.2.20 при W2 . sec и ωW, W.. W .100watt * sec * sec10E y( ω )221U 0 .T 0 .R52101ωrad / secРис.3.2.2023118if( z > 0 , 1 , 1 ) полная энергияНа основании (3.27) при signum ( z )выходного сигнала∞22U 0T01..E y T,T 0dω ;222 2πRω .T 01 .( T .ω1)0E y T,T 01.22.U 0 T0Так как signum T 0 = 1T 0 . signum T 02.R.
Tи signum ( T ) = 12T . signum ( T )T02., то22T01. U 0 .T T02 REyи составит E y = 1.5 sec watt .Пример 3.2.5. На входе интегрирующей RC-цепи (рис.3.2.17) с постоянной времени T1 . sec и частотным коэффициентом передачи1K(ω )1 j .ω.T12 . sec ,действует идеальный низкочастотный сигнал с частотой среза ω c20.5 . sec . watt вэнергетический спектр которого равномерен и равен E 0полосе частот 0 ω ω c.Требуется определить отношение энергий сигналов на входе и выходе.Решение. В данном случае частотный коэффициент передачи мощностиassume T complexK p( ω )1K ( ω ). K ( ω )(12 2ω .T )2(1илиK p( ω )T2ω .12 2( 1 ω .T )Согласно (3.27), энергия выходного сигналаassume ω c , E 0 , T.22 2ω .T )2119EyE0.πω c1(12 2ω .T )E0.
atan ω . T .c( π .T )dω0Энергия входного сигналаassume ω c , E 01.Exπω cE 0 dω0Отношение этих энергий будетassume ω c , E 0 , TEy1.πE 0 . ω c..1 . atan ω c T; h = 0.554 .ExTω cОтсюда видно, что отношение h стремится к нулю с ростом как постоянной времени T , так и верхней граничной частоты спектра ωс.hПример 3.2.6. Пусть задан идеальный фильтр нижних частот ФНЧ с1.5 , временем запаздывания t 02 .
sec икоэффициентом передачи K 015 . sec . Его частотный коэффициент передачи в экспочастотой среза ω cненциальной форме имеет видK(ω )K 0 . exp j . ω . t 0 if ωω c.0 otherwiseНа вход ФНЧ подается сигнал δ(t) в виде дельта-функции Dirac(t) с площадьюQ01 . volt . sec , т.е. δ(t)=Q0Dirac(t).Требуется определить вид сигнала y(t) на выходе ФНЧ.Решение. Воспользуемся спектральным методом решения. Спектральная функция входного сигналаassume Q 0∞F δ(ω )Q 0 . Dirac ( t ) . exp ( j .
ω . t ) d t∞На основании (3.19) выходной сигнал ФНЧQ 0.120y( t )1 .2. πω cQ 0. K 0. ej . ω. t 0. .. ej ω t d ω ;ω csin ω c. t t 0y( t )Q 0. K 0.- результат интегрирования.π. t t 0График сигнала y(t) на выходе ФНЧ показан на рис.3.2.21 приT10 . sec и tT, T.. T500T4t0volt2U 0. K 0.ωπy( t )100c102tsecРис.3.2.21Пример 3.2.7.
Пусть интегрирующая RC-цепь (рис.3.2.17) с постоянной времени T1 . sec используется для масштабирования и имеет следующие характеристики:1) импульсную функцию1.tg( t );expTT2) частотный коэффициент передачи1K(ω ).1 j .ω.TНа ее вход в момент времени t=0 подается сигнал в виде линейно воз1v.
t.растающей со скоростью v 1.5 . volt . sec функции времени x ( t )Требуется найти функцию динамической погрешности Δ(t).Решение. Используя спектральный подход, определим отклик данногомасштабирующего устройства. Спектральная функция входного сигналаassume v121∞v. t. eF x( ω )j . ω. tdtundefined .0Интеграл непосредственно в Mathcad не берется. Поэтому рассмотримпри a>0 интеграл вида∞a.tv.
t. edt;0( a . t. exp ( a . t ) exp ( a . t ) 1 )limit v., t ∞ , left - результат2интегрирования.aТеперь найдем предел ( limit ) левого (left) выражения в квадратныхскобках:( a . t. exp ( a . t ) exp ( a . t ) 1 )v.- левое выражение;2av.tvv- его разложение22a exp ( a . t )( a . exp ( a . t ) )a на элементарные дроби.Согласно правилу Лопиталя, предел первого слагаемогоdlimt2d t2∞ d2d t2d( v. t )0 и второго ( a. ea.t)limtdt( v)0.∞ d ( a 2. ea .
t )dtСледовательно, зачение интеграла в целом равно v/a2. Замена величины "a" наоператор Фурье jω дает спектральную функцию входного сигналаvF x( ω ).2( j .ω )Можно также воспользоваться преобразованием Лапласа с оператором1L [x(t)]=1(*), где * - преобразуемое выражение. При этом Mathcad возвращаетизображение от переменной s. Тогда изображение входного сигналаX( s)1 .
( v. t ) ;vX( s).2sЗаменяя оператор Лапласа s оператором Фурье jω, получим спектральнуюфункцию входного сигналаassume v122vF x( ω )v( j .ω )На основании (3.20) выходной сигнал∞y( t )2ω2.j . ω. tv. e1 .2. π2( j .ω ) .( 1j .ω.T )dω .∞Для вычисления обратного преобразования Фурье воспользуемся методом вычетов, полагая ω комплексной переменной. Полюсы подынтегральнойфункции являются корнями уравнения2( j . ω ) . ( 1 j .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
