Советов Б.Я., Яковлев С.А. Моделирование систем (2001) (1186219), страница 58
Текст из файла (страница 58)
В качестве оценки для искомой вероятностир=Р(А) используется частость наступления события m/N, где т —число случаев наступления события А; N — число реализаций.Такая оценка вероятности появления события А является состоятельной, несмещенной и эффективной. В случае необходимостиполучения оценки вероятности в памяти ЭВМ при обработке результатов моделирования достаточно накапливать лишь числот (при условии, что N задано заранее).Аналогично при обработке результатов моделирования можноподойти к оценке вероятностей возможных значений случайнойвеличины, т. е. закона распределения.
Область возможных значенийслучайной величины г\ разбивается на и интервалов. Затем накапливается количество попаданий случайной величины в эти интервалы Шк, к = \, п. Оценкой для вероятности попадания случайнойвеличины в интервал с номером к служит величина mk/N. Такимобразом, при этом достаточно фиксировать л значений тк приобработке результатов моделирования на ЭВМ.Для оценки среднего значения случайной величины г\ накапливается сумма возможных значений случайной величины ук, к=\, N,которые она принимает при различных реализациях. Тогда среднеезначениеу=(1/Л0 £ > .Jfc-IПри этом ввиду несмещенности и состоятельности оценкиМ\у] = M[rj\ = W Л М = Л [r,]/N= allN.В качестве оценки дисперсии случайной величины у при обработке результатов моделирования можно использоватьSt=i(yk-J)2/N.к-\Непосредственное вычисление дисперсии по этой формуле нерационально, так как среднее значение у изменяется в процессе накопления значений ук. Это приводит к необходимости запоминаниявсех N значений ук.
Поэтому более рационально организовать фик-сацию результатов моделирования для оценки дисперсии с использованием следующей формулы:*М-Н-[£ *-(£*,)*/*]/(*-ОТогда для вычисления дисперсия достаточно накапливать двесуммы: значений ук и их квадратов у*2.Для случайных величин £ и т\ с возможными значениямихк и ук корреляционный моментк(ч=\ Д (хк-х)(ук-у)\ Num.^ = ( Д ^*-(]/Л0 £ хк ^ *J/(#-1). *Последнее выражение вычисляется при запоминании в процессемоделирования небольшого числа значений.Если при моделировании системы S искомыми характеристиками являются математическое ожидание и корреляционная функция случайного процесса у (t) [в интервале моделирования (О, Т)], тодля нахождения оценок этих величин указанный интервал разбивают на отрезки с постоянным шагом А/ и накапливают значенияпроцесса ук (t) для фиксированных моментов времени t=t„=mAt.При обработке результатов моделирования математическоеожидание и корреляционную функцию запишем так:J(tm)= t УМ/КB(U, Z)= £(yk/u)-y(u))(yk(z)-y(z))KN-l),где и и z пробегают все значения tm.Для уменьшения затрат машинных ресурсов на хранение промежуточных результатов последнее выражение также целесообразнопривести к следующему виду:£(u,z)=(£Ук(и)ук(г)-(ЦЩ£Ук1(и)£ Mz)W-l).Отметим особенности фиксации и обработки результатов моделирования, связанные с оценкой характеристик стационарных случайных процессов, обладающих эргодическим свойством.
Пустьрассматривается процесс y(t). Тогда с учетом этих предположенийпоступают в соответствии с правилом: среднее по времени равносреднему по множеству. Это означает, что для оценки искомыххарактеристик выбирается одна достаточно продолжительная ре244ализация процесса y(t), для которой целесообразно фиксироватьрезультаты моделирования. Для рассматриваемого случая запишемматематическое ожидание и корреляционную функцию процесса:Г-tТy=]im (1/7) \y(t)dt; B(t)= lim [1/(Г-т)] fy(t)y(t+x)dt-y\На практике при моделировании на ЭВМ системы S интервал (О,Т) оказывается ограниченным и, кроме того, значения y(t) удаетсяопределить только для конечного набора моментов времени tm.
Приобработке результатов моделирования для получения оценок"у я В(х) используем приближенные формулыT/&Jy=(At/T)£ y(tm);B(x) = [At/(T-x)]ra=l(Г-т)/Дг£y{Uby{tm+x)-y*.m=lкоторые целесообразно преобразовать к виду, позволяющему эффективно организовать порядок фиксации и обработки результатовмоделирования на ЭВМ [4].Задачи обработки результатов моделирования. При обработкерезультатов машинного эксперимента с моделью Мм наиболее часто возникают следующие задачи: определение эмпирического закона распределения случайной величины, проверка однородности распределений, сравнение средних значений и дисперсий переменных,полученных в результате моделирования, и т.
д. Эти задачи с точкизрения математической статистики являются типовыми задачамипо проверке статистических гипотез.Задача определения эмпирического закона распределения случайной величины наиболее общая из перечисленных, но для правильного решения требует большого числа реализаций N.
В этомслучае по результатам машинного эксперимента находят значениявыборочного закона распределения F3(y) (или функции плотности/э (у)) и выдвигают нулевую гипотезу Н0, что полученное эмпирическое распределение согласуется с каким-либо теоретическим распределением. Проверяют эту гипотезу Н0 с помощью статистических критериев согласия Колмогорова, Пирсона, Смирнова и т.
д.,причем необходимую в этом случае статистическую обработку результатов ведут по возможности в процессе моделирования системы S на ЭВМ.Для принятия или опровержения гипотезы выбирают некоторуюслучайную величину U, характеризующую степень расхождениятеоретического и эмпирического распределения, связанную с недостаточностью статистического материала и другими случайнымипричинами. Закон распределения этой случайной величины зависитот закона распределения случайной величины г\ и числа реализацийN при статистическом моделировании системы S. Если вероятность245расхождения теоретического и эмпирического распределенийP{UT^U} велика в понятиях применяемого критерия согласия, топроверяемая гипотеза о виде распределения Яр не опровергается.Выбор вида теоретического распределения F(y) (или/(у)) проводится по графикам (гистограммам) F3(y) (или/ э 00), выведенным напечать или на экран дисплея.Рассмотрим особенности использования при обработке результатов моделирования системы S на ЭВМ ряда критериев согласия[7, И, 18, 21, 25].Критерий согласия Колмогорова.
Основан на выборе в качестве меры расхождения £/величины D=max [.Рэ О*)—F(y)].Из теоремы Колмогорова следует, что 5**D>/N при ЛГ—»оо имеет функциюраспределенияF(z)=P{6<z}= £(-l)*e-2*Vj2>0.Если вычисленное на основе экспериментальных данных значение 5 меньше, чемтабличное значение при выбранном уровне значимости у, то гипотезу Н0 принимают,в противном случае расхождение между F3(y) в F(y) считается неслучайным^ гипотеза Н0 отвергается.Критерии Колмогорова для обработки результатов моделирования целесообразно применять в тех случаях, когда известны все параметры теоретической функциираспределения.
Недостаток использования этого критерия связан с необходимостьюфиксации в памяти ЭВМ для определения D всех статистических частот с целью ихупорядочения в порядке возрастания.Критерий согласи Пирсона. Основан на определении в качестве меры расхождения U величиныf = £ <rn,-Npd/(.Npd,где m; — количество значений случайной величины г], попавших в i-й подынтервал;Pi — вероятность попадания случайной величины у в i-й подынтервал, вычисленнаяиз теоретического распределения; d — количество подынтервалов, на которые разбивается интервал измерения в машинном эксперименте.При N-юэ закон распределения величины U, являющейся мерой расхождения,зависит только от числа подынтервалов и приближается к закону распределения х(хи-квадрат) с (d— г— 1) степенями свободы, где г — число параметров теоретического закона распределения.Из теоремы Пирсона следует, что, какова бы ни была функция распределенияF{y) случайной величины г\, при 7V->oo распределение величины х2 имеет видFk(z) = P{X2<2} = l/[2kl2r(k/2)]] e-'l2tW2-l)dt,оz>0,где T(fc/2)—гамма-функция; z — значение случайной величины хг> k=d—r—\ —число степеней свободы.
Функции распределения Fk (z) табулированы.По вычисленному значению Ь'=х и числу степеней свободы к с помощьютаблиц находится вероятность Я{х* >Х2}- Если эта вероятность превышает некоторый уровень значимости у, то считается, что гипотеза Н0 о виде распределения неопровергается результатами машинного эксперимента.Критерий согласия Смирнова. При оценке адекватности машинной модели Мы реальной системе S возникает необходимость проверки гипотезы На, заключающейсяв том, что две выборки принадлежат той же генеральной совокупности. Если246выборки независимы и законы распределения совокупностей F(u) и F(z), из которыхизвлечены выборки, являются непрерывными функциями своих аргументов v и f, тодля проверки гипотезы Н0 можно использовать критерий согласия Смирнова, применение которого сводится к следующему.
По имеющимся результатам вычисляютэмпирические функции распределения F3(u) и F3(z) и определяютD=max\F3(u)-F3(z%Затем при заданном уровне значимости у находят допустимое отклонениегде TVj и N2 — объемы сравниваемых выборок для F3 (и) и F3 (z), и проводятсравнение значений D и D-.: если D>Dy, то нулевую гипотезу Н0 о тождественностизаконов распределения F(u) и -F(z) с доверительной вероятностью />=1 —у отвергают.Критерий согласия Стьюдевта. Сравнение средних значений двух независимыхвыборок, взятых из нормальных совокупностей с неизвестными, но равными дисперсиями D[v]=D[£\, сводится к проверке нулевой гипотезы Н0: Д=и—г=0на основании критерия согласия Стьюдевта (f-критерия).
Проверка по этому критерию сводится к выполнению следующих действий. Вычисляют оценку'=[£-5)/V(W1 -1)*? + № - WlVs/N^ (JV, +N2 -DKNi+NJ,где N, и N2 — объемы выборок для оценкийнгсоответственно; д% и 5\ — оценкидисперсий соответствующих выборок.Затем определяют число степеней свободы k=Nl+N1—2,выбирают уровеньзначимости у и по таблицам находят значение ty. Расчетное значение / сравниваетсяс табличным ty и если |r| < ty, то гипотеза На не опровергается результатами машинного эксперимента.Критерий согласия Фишера. Задача сравнения дисперсий сводится к проверкенулевой гипотезы Н0, заключающейся в принадлежности двух выборок к одной и тойже генеральной совокупности.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
