Советов Б.Я., Яковлев С.А. Моделирование систем (2001) (1186219), страница 56
Текст из файла (страница 56)
Например, еслиfl система S/ удовлетворяет требованиям;[О в противном случае,то показатели Е, являются вероятностями нормальной работы системы St. Еслиfj(q,) = (Aqi-M[Aq])2,i=TTk,j=T7L,то показатель Е, является дисперсией значения контролируемойвеличины и т. д. Здесь Aq, = \q,— qai\— отклонение значения контролируемой для системы 5", величины q, от истинной #„,.232В дальнейшем, поскольку при сравнении характеристик, полученных на машинной модели Мм, всегда рассматриваются дваконкурирующих варианта моделируемой системы, будем сопоставлять только две системы: 5Х и S2. Существенной особенностьюоперации сравнения вариантов систем S1 и S2 является повышениетребований к точности статистических оценок Ё х , Ё 2 показателейEj, Е2 при уменьшении разности АЕ = |Е1—Е2|.
Это обстоятельствотребует разработки специальных приемов получения статистическизависимых оценок для уменьшения дисперсии.Рассмотрим наиболее характерные случаи, имеющие место приимитационных экспериментах, когда в качестве оценок выступаютсредние значения, вероятности и дисперсии [29, 53].Если полученные в результате имитационного экспериментас вариантами модели системы Sx и S2 оценки а1г а2 среднихзначений критериев qv q2, fl1 = iW[g1], a2 = M[q2] имеют дисперсииD [aj, D [a2] и коэффициент корреляции оценок at, a2 равен R [аи а2],то дисперсию погрешности оценки 3=а1 — а2 разности d=at — a2можно найти из соотношенияZ)fd]=i)[5 1 -aJ = Z)[fl1]+Z>[fl2]-2J?[c1, aj^ffj,(6.13)где 0i = л/D[aj, o2=y/D[a2] — средние квадратические отклоненияоценок.При независимом моделировании вариантов системы с использованием различных реализаций псевдослучайных последовательностей коэффициент корреляции оценок R=[auaj =0иА,[<3]=2)[<г1]+Я[52].При моделировании удается получить положительный коэффициент корреляции R[au 3^0, т.
е. D[3]<D„[3], когда при имитационных экспериментах с вариантами системы St и 5 2 используются,например, одни и те же псевдослучайные последовательности.Рассмотренные соотношения для дисперсии D[3] не связанысо специальными предположениями о способе получения оценока1г а2.Пример 6.8. Рассмотрим полученные при машинном моделировании реализацииу^ (гДг), у2 (Mf), r= =0, N, критериев qlt q2 как выборку из двухмерного векторногостационарного процесса q (0— ll?i (')> Яг (Oil с° средним значением \\а^ я2]| и матричной корреляционной функцией„,ч5п(т)В12(г)Я«(т)B22{i)где В„ (т) — автокорреляционная функция i = 1, 2; Вч (т) = BJt (т)взаимная корреляционная функция компонентов q (f), «.7=1. 2, iV/233Тогда можно показать, что1>Й=11/(^+1)](Ли(0)+В„(0)-4В1г(0) +JV+1+ I ll-rl(N+l)UBn(rAt)+{B2i(rAi)-2[B12(rAt)+B2l(.rbt)]}).Эту формулу применяют для расчета точности оценки d при заданной матричной корреляционной функции В (т).Вероятностиpt,p2 событий Л,, А2, характеризующих сравниваемые варианты модели систем 5^ и S2, можно представить каксредние значения двоичных случайных величин qu q2 с распределением вероятностей P{qi = l}=pl; P{qi = 0}=l—Pi', Р\Я2 = 1}=Р2>P{<h=0) = l-P2Поэтому для оценки разности вероятностей A/J=/J 1 — p2 =—M[q^\—Mlq^ можно использовать все выражения, полученныеранее при сравнении средних значений, видоизменив в них'обозначения с учетом того, что двухмерное распределение вектора (qu q2),описывающее зависимость между событиями А1г .42^_имеет видP{4i = h Чг = 1}=Р(АиАг)=Рл> ^{?i = 0, q2^0} = P{Alt Л2)=рв;Р{Я=1 q2 = 0} = P(A1, A2)=pc; P{q, = 0, q2 = l} = P(Alt A2)=pD,причемрл+Рс=рх, PA+PD=PI- В частности, для повторной выборки объемом N получим, что оценкаДр =Pi~р2=mJN-mJN,где т1г т2 — количество наступлений событий Ах, А2, полученныхпри независимых прогонах модели.
Учитывая, что между qx, q2ковариация B12=pA—pj>2, найдем дисперсию оценкиD [АЙ = \рс +pD - (рс -pD)2]/N,что следует из (6.13).Если в процессе проведения имитационных экспериментов с моделью фиксируются эмпирические частоты рс, pD событий С, D, тодля дисперсии D[Ap\ при достаточно большом N можно воспользоваться несмещенной оценкойD[AP)=[PC+PD-(PC-PD)Z]/(X-1)-И наконец, рассмотрим случай, когда в качестве оценки варианттов систем St и S2 выступает дисперсия. В этом случае оценка АЛразности LD = Dl—D2 дисперсией критериев qu q2 вычисляется понезависимым реализациям вектора (qu q2) с помощью формулыAD = Dl — D2, где Л 1( 32 — эмпирические дисперсии критериев qx,q2, рассчитываемые по формулеЛ,= £ (q-M[q])2i(N-l).1=1234Для оценки AD дисперсияD[AS\=D[3^+D[3^-2B[5lt£j,где дисперсии эмпирических дисперсий D[D{\, D[D^\ вычисляютсяпо формулеZ)[^]=iV[(/f4-i)5)/iVr-20i4-2i)J)/iV2 + 0 i4 -3^ 2 )/iSr 3 ]/(Ar-l) }где H4 = MA[q]=M[(q—M[q])*] —центральный момент распределения четвертого порядка.КовариацияВ[бх, ВА*М[(91-М[Ч1))2(q2-M[q])2]/N.Пример 6.9.
Пусть сравниваемые критерии qit q2 имеют нормальное распределение/(y)=e"°"fl),/(2ffV2^. °=М[Ч), ^=1>М,тогдаDlbB\=2{D\+D\-2B\2)l{N-1),где ВХ1 — ковариация. Использование зависимых испытаний дает выигрыш в точности сравнения дисперсий (£ 12 #0) независимо от знака корреляции. Воспользовавшись оценкойB[AD]=202l+322-2E12)/(N-\),можно организовать последовательную процедуру сравнения дисперсий для вариантов системы S1aSJ.Таким образом, при таком подходе к уменьшению дисперсиизадача состоит в специальном построении моделирующего алгоритма системы S, позволяющего получить положительную корреляцию, например, за счет управления генерацией случайных величин.Вопрос об эффективности использования метода уменьшения дисперсии может быть решен только с учетом необходимости дополнительных затрат машинных ресурсов (времени и памяти) на реализацию подхода, т.
е. теоретическое уменьшение затрат машинного времени на моделирование вариантов системы (при той жеточности результатов) должно быть проверено на сложность машинной реализации модели.Проблема выбора правил автоматической остановки имитационного эксперимента с моделями системы.
И наконец, последней изпроблем, возникающих при тактическом планировании имитационных экспериментов, рассмотрим проблему выбора правил автоматической остановки имитационного эксперимента. Простейший способ решения проблемы — задание требуемого количествареализаций N (или длины интервала моделирования Т). Однакотакой детерминированный подход неэффективен, так как в егооснове лежат достаточно грубые предположения о распределении235выходных переменных, которые на этапе тактического планирования являются неизвестными. Другой способ — задание доверительных интервалов для выходных переменных и остановка прогона машинной модели Мы при достижении заданногодоверительного интервала, что позволяет теоретически приблизитьвремя прогона к оптимальному.
При практической реализации введение в модель Мм правил остановки и операций вычислениядоверительных интервалов увеличивает машинное время, необходимое для получения одной выборочной точки при статистическоммоделировании.Правила автоматической остановки могут быть включены в машинную модель такими способами: 1) путем двухэтапного проведения прогона, когда сначала делается пробный прогон из N* реализаций, позволяющий оценить необходимое количество реализаций N (причем если N*pN, то прогон можно закончить, в противном случае необходимо набрать еще N—N* реализаций); 2) путемиспользования последовательного анализа для определения минимально необходимого количества реализаций N, которое рассматривается при этом как случайная величина, зависящая от результатов N— 1 предыдущих реализаций (наблюдений, испытаний) машинного эксперимента.Рассмотрим особенности последовательного планирования машинных экспериментов, построенных на последовательном анализе.В последовательном анализе объем выборки не фиксирован, а послеi-го наблюдения принимается одно из следующих решений: принятьданную гипотезу, отвергнуть гипотезу, продолжить испытания, т.
е.повторить наблюдения еще раз. Благодаря такому подходу можнообъем выборки существенно уменьшить по сравнению со способамиостановки, использующими фиксированный объем выборки. Такимобразом, последовательное планирование машинного экспериментапозволяет минимизировать объем выборки в эксперименте, необходимой для получения требуемой при исследовании системы 5 информации. Построив критерий, можно на каждом шаге решатьвопрос либо о принятии нулевой гипотезы Н0, либо о принятииальтернативной гипотезы Hlt либо о продолжении машинного эксперимента.
Последовательное планирование машинного эксперимента использует принцип максимального правдоподобия и последовательные проверки статистических гипотез [18, 21, 33].Пусть распределение генеральной совокупности характеризуетсяфункцией плотности вероятностей с неизвестным параметромY=f(y, в). Определяются нулевая и альтернативная гипотезы Н0:в~ва и Ну в — вх. Гипотезы проверяют на основании выборкинарастающего объема т. Можно записать: вероятность полученияданной выборки Pom=f(yi, в0)/(уг, 60)../(vm, в0) при условии, чтоверна гипотеза Н0 (правдоподобная выборка); вероятность получения выборки P\m=f(yl, 01)f(y2, Q\)—f(ym> Si) п Р и условии верности236гипотезы Hv Процедура проверки строится на отношении правдоподобия Pim/Po„.Последовательный критерий отношения вероятностей строитсяследующим образом. На каждом шаге машинного экспериментаопределяются Рш и Р0т, а также проверяется условие:PimС^В, то принимается Н0;J <Аесли — <то эксперимент продолжается;Р0п ) > Д^>ЛЕ, то принимается Ht;где 0<В<1, А>\, m=TTN.Для сходимости критерия необходимо, чтобы A^(l — fi)ja,B^pl(l — а), где а — вероятность ошибки первого рода; /? — вероятность ошибки второго рода.Данный метод позволяет снизить среднее число реализацийв машинных экспериментах по сравнению с использованием фиксированных объемов выборки (при одинаковых вероятностях ошибок).
Примером применения метода может служить проверка гипотезы о среднем значении величины, распределенной по нормальному закону.Пример 6.10. Пусть для случайной величины у известна дисперсия сг2 и неизвестно среднее ft. При этом нулевая гипотеза Н0: р=90, альтернативная Нх:ji=0,. Если Н0 верна, то вероятность ее отвергнуть равна а. Вели верна гипотеза# ! , то вероятность принять ее равна р .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
