Советов Б.Я., Яковлев С.А. Моделирование систем (2001) (1186219), страница 60

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 60)

Попарноеиспользование для этих целей критериев Смирнова и Стьюдентадля проверки нулевой гипотезы затруднено в связи с наличиембольшого числа выборок при моделировании системы. Поэтомудля этой цели используется дисперсионный анализ.Пример 7.3. Рассмотрим решение задачи дисперсионного анализа при обработкерезультатов моделирования системы в следующей постановке. Пусть генеральныесовокупности случайной величины {у(1)}, (У2'}, •••, {ум} имеют нормальное рас­пределение и одинаковую дисперсию Необходимо по выборочным средним значени­ям при некотором уровне значимости у проверить нулевую гипотезу Н0 о равенствематематических ожиданий. Выявим влияние на результаты моделирования толькоодного фактора, т е рассмотрим однофакторный дисперсионный анализ.Допустим, изучаемый фактор х привел к выборке значений неслучайной251величины У следующего вида: у1а у2, •••> Ук, где к — количество уровней факторах.

Влияние фактора будем оценивать неслучайной величиной Dx, называемойфакторной дисперсией:Лх-oJ- £(y,-y)lk,1-1где р — среднее арифметическое значение величины У.Вели генеральная дисперсия D [у] известна, то для оценки случайности разбросанаблюдений необходимо сравнить D \у] с выборочной дисперсией Si, используякритерий Фишера (F-распределение). Если эмпирическое значение F3 попадает в кри­тическую область, то влияние фактора х считается значимым, а разброс значенийх — неслучайным.

Если генеральная дисперсия D [х] до проведения машинногоэксперимента с моделью Мм неизвестна, то необходимо при моделировании найтиее оценку.Пусть серия наблюдений на уровне у-, имеет вид у,\, уцут, где и — числоповторных наблюдений на I-M уровне. Тогда на ;'-м уровне среднее значениенаблюдений1 "У-=~п I УФi-iа среднее значение наблюдений по всем уровнямI * "1 *У—JZ I I У'у-г. Z УОбщая выборочная дисперсия всех наблюденийПри этом разброс значений у определяется суммарным влиянием случайныхпричин и фактора х. Задача дисперсионного анализа состоит в том, чтобы разложитьобщую дисперсию D\y] на составляющие, связанные со случайными и неслучайнымипричинами.Оценка генеральной дисперсии, связанной со случайными факторами,*м^СЦ*-Ц(£")"}а оценка факторной дисперсииAt-£M-£eM.Учитывая, что факторная дисперсия наиболее заметна при анализе среднихзначений на I-M уровне фактора, а остаточная дисперсия (дисперсия случайности) длясредних значений в п раз меньше, чем для отдельных измерений, найдем болееточную оценку выборочной дисперсии'Д .

+ 1 А > М = 7 — , 1 iy.-yfпкJ1-ХУмножив обе части этого выражения на п, получим в правой части выборочнуюдисперсию Si, имеющую (к— 1)-к> степень свободы. Влияние фактора х будет значи­мым, если при заданном у выполняется неравенство SljD0[y\>F\-yВ противномслучае влиянием фактора х на результаты моделирования можно пренебречь и счя252тать нулевую гипотезу Я 0 о равенстве средних значений на разлнчных уровняхсправедливой.Таким образом, дисперсионный анализ позволяет вместо про­верки нулевой гипотезы о равенстве средних значений выборокпроводить при обработке результатов моделирования проверкунулевой гипотезы о тождественности выборочной и генеральнойдисперсий.Возможны и другие подходы к анализу и интерпретации резуль­татов моделирования, но при этом необходимо помнить, что ихэффективность существенно зависит от вида и свойств конкретноймоделируемой системы S.7.3. ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ МАШИННОГО ЭКСПЕРИМЕНТАПРИ СИНТЕЗЕ СИСТЕМПри синтезе системы S на базе машинной модели Мм задачапоиска оптимального варианта системы при выбранном критерииоценки эффективности и заданных ограничениях решается путеманализа характеристик процесса функционирования различных ва­риантов системы, их сравнительной оценки и выбора наилучшеговарианта.

Независимо от того, как организуется выбор наилучшеговарианта системы — простым перебором всех проанализированныхпри машинных экспериментах результатов или с помощью специ­альных процедур поиска оптимального варианта, например мето­дов математического программирования,— элементарной операци­ей является сравнение статистически усредненных критериев оценкиэффективности вариантов систем [9, 29, 33, 53].Особенности машинного синтеза.

Учитывая то обстоятельство,что конкурирующие варианты системы S отличаются друг от другаструктурой, алгоритмами поведения, параметрами, число такихвариантов достаточно велико. Поэтому при синтезе оптимальноговарианта системы 5 ^ особенно важно минимизировать затратыресурсов на получение в результате моделирования характеристиккаждого варианта системы. Исходя из этих особенностей, при син­тезе системы S обработку и анализ результатов моделированиякаждого варианта системы S следует рассматривать не автономно,а в их тесной взаимосвязи.

Очевидно, что задача синтеза оптималь­ного варианта моделируемой системы S^ должна быть уже постав­лена при планировании машинного эксперимента с моделью Мы.В предыдущей главе было показано, что искусственная органи­зация статистической зависимости между выходными характеристи­ками сравниваемых вариантов St и S2 системы дает выигрышв точности оценки средних значений, вероятностей и дисперсий приположительно коррелированных критериях qy и qz. Корреляциямежду критериями qx и q2 возникает в силу того, что случайныевекторы253описывающие воздействие внешней среды Е на варианты Sx и S2системы, имеют общие составляющие v =(t;l5 ..., vk), в то времякак составляющие («tVi, ••-, vP) и («j$i, ..., viP) статистическинезависимы.Если через v=(vt, ..., vk) обозначить фиксированные значениясоставляющих v = {vt, ..., v*), то условные средние значения qi и q2будут такими:Mi (« ) = М [qjv] = М [q2jv],т. е, являются функциями переменных « =(vlt ..., vk).Рассмотрим особенности обработки результатов моделирова­ния, когда сравниваемые в ходе проведения имитационных экс­периментов полные средние значения критериев qtaq2 примут видHi=M[qi]= J ...

Jii^)f{v)dv;— oo—oo— oo—ooгде dv=dvlt..., dvk',f(v)=fk(v,..., vk) — совместная плотность веро­ятностей составляющих vu ..., v*.Ковариадия00Bi2=B[q1,q2]=I— aoСОJ \ix (?) \i2 (v)f(v)dv-ц^.— ooДостаточным условием неотрицательности ковариации, да­ющим выигрыш в оценке разности средних, является одинаковаяупорядоченность условных средних /^ (v), \i2 (v) относительно век­торного аргумента v=(vlt ..., v2), т. е. выполнение неравенстваfriG)-viG№2G)-ni&)]>o(7.1)для любых значений векторных аргументовz=(zx, ..., zk), u=(uv ..., ик).соос_^Действительно, учитывая, что j ...

J f{v)dv — 1, находим—хВц= 1 - I h(v)/i2(v)f(v)dv— 00254— OO— ooJ ... J ii,{v)f{Z)dv—CC—ОСJ ... J x— 0 0 — 0 0*ti2(v)f(v)dv=0,5J ... J— oofG)f{u)\til(ji)ii2{u)-iilG)n2<ji)+—oo+ fi1(z)fi2(z)-^)^)]dzdu=0,5 J ... J f(z)f(u)x— oo—ooТак как /(v)>0 для всех v, то при выполнении (7.1) имеем2?х 2^0, что и требовалось доказать.Когда в качестве результатов моделирования выступают вероят­ности событий А1г А2 для вариантов S1 и S2 системы, то условныезначенияtii0)=P(Al^); HzfaPiAJv),где P(AJv) — условная вероятность, i"= 1, 2.Тогда достаточное условие неотрицательности ковариации запи­шется в видеPiAjb-PiAJuMPiAjb-PiAjU)]^,(7.2)что соответствует одинаковой упорядоченности условных вероят­ностей P(AJv) и P[A2(v) относительно векторного аргумента «.Одинаково упорядоченными являются монотонно возраста­ющие или монотонно убывающие функции /^ (v) и ц2 (v) скалярногоаргумента », а также одинаковые функции fii(v)=ti2(v) независимоот их монотонности.

Пример одинаково упорядоченных возраста­ющих (в) и убывающих (б) функций ц(и) показан на рис. 7.3.Если положительные функции fij(v),j=l, n, одинаково упорядо­чены, то произведение любой5)комбинации этих функций а)fik(v) ц,$)...ц„(И) одинаковоупорядочено с произведе­ниемлюбойкомбинации/*/(в)^(«).../*р(«).

Это же мож­но сказать и об условных веро­ятностях P(Aj/v),j=\, п.f^ Ч^Пример 7.4. Пусть методом стати­стического моделирования на ЭВМ не­обходимо сравнить результаты моде­лирования двух вариантов S1 и S2 си­стемы, составленных из одинаковыхблоков В1—В4.

(структура системы по­казана на рис. 7.4) и сравниваемых покритерию надежности с учетом случай­ных изменений внешней температурыСобытия Л j и А 2 соответствуют без­отказной работе вариантов 5j и S2 си­стемы в течение заданного времени Т.Рис. 7.3. Пример одинаково упорядочен­ных функцийРис. 7.4. Структуры сравниваемых вари­антов систем Sl и S2255Вероятность безотказной работы В, при заданной температуре »=v можноопределить какгде A, (v) — интенсивности отказов, являющиеся возрастающими функциямитемпературы.Таким образом, функции P(BfJv) являются одинаково упорядоченными убыва­ющими функциями. Можно показать, что функции P(AJv) = {l — [1— P(B1/v)][l —-P(B2M]Ul-[l-P(.B3lvW-P(BAM]},P(^/v) = l-[l-P(B 1 /v)xP(B 3 /v)][l—P(B2/v)P{BJv)] также одинаково упорядочены и убывают с ростом температурыv.

Характеристики

Список файлов книги