Советов Б.Я., Яковлев С.А. Моделирование систем (2001) (1186219), страница 57
Текст из файла (страница 57)
В случае dB<fi<01 ни одна из гипотезне принимается.Для нормального распределенияi-1*-— I bi-eo1Рш=°е 2 Ky/2n<rf,-— Е 0-,-во)1Рот=е *" - 'l(y/2naf,— Г£(у1-о.)1-ЕО'1-ео):]Pim!Pam=e2'"Критерий проверки гипотезы строится по следующему правилу:если11пВ=Ь<2аГ" inm\ £ (у,-в1)/1-'£.4-1(У.-»о)2 <а = \пА,-1то наблюдение продолжается.237Можно упростить процедуру, если использовать логарифмическую функциюправдоподобия. В этом случаеIn (PiJPoJ=K0, - во)/*1] Г Z У,- 0,5т (0, + ад],а=ЫА=Ы[(1-Р)/я],Ь=ЫВ=ЫЩ\-а)].Тогда на каждом шаге т проверяется выполнение неравенств:еслиж£ у,>аа1/(в1-во)+0,5т(01+во),i-iто принимается # 0 ;если£ j*<toa/(fl1-0o)+O,5«(0,+eoXто принимается Яд;еслиiff2-да1+0,5т(в,-(-б0)< £ >>,<—^-+0,5^(^+60),то машинный эксперимент продолжается.Для математического ожидания числа наблюдений при условии верности Н1и Я 2 соответственно можно записатьМЩН0]=[Ь(\ -а)+ааУМ[г1НД,где N — число наблюдений; z=b\f(y, 6Ж(у,0О)]= -[(у-в^+^у-воУЩЬт1).Можно записать ММНД^ф^О^КЪг1),Mlz/H^fa-O^/Cb?),так какМ\у]=0О Д™ гипотезы Я 0 и Af [у] =0, для гипотезы Нх.ТогдаЛ/ [tf/tfj = - [Ъ (1 - а)+аа] 2*а/(в, - 0О)2.мщндшм+а(\ -дмг^/р, -ад2.Применение данного метода по сравнению с фиксированнымобъемом выборки N дает уменьшение числа реализаций при статистическом моделировании более чем в два раза.Для проверки гипотезы о среднем для случайных величин с нормальным законом распределения, неизвестным средним ц и неизвестной дисперсией а можно использовать следующую процедуру.Проверяют гипотезы Н0: ц<ц0 и Н^.
ц>ц0. Необходимо, чтобывероятность отвергнуть Н0 при ц^ц0 была Р^а и вероятностьпринять # 0 при ц>ц + А была Р</?.На первом шаге берут выборку размером m и вычисляют выборочную дисперсию238tf=£ (»-5Da/(»-i);здесь число т выбрано таким, чтобы выполнялось условиеа (8) < 1,25 log (1/(5),где fl(i5)=[(l/«5)w-l]/72, <5=min(a, F),f=m-1.Затем последовательно проводят по одному эксперименту. Привыполнении условия£ (у | -^ 0 -Д/2)>5Ь(а)/(2^-ЛГ(А/2-^)эксперимент прекращают и гипотезу Н0 отвергают.Гипотезу Я 0 принимают, если£(yj-H0-A/2)<N(AI2-d)-Sh(fi)l(2d),где^=ЗД/8.Таким образом, чем сложнее машинная модель Мы, тем важнееэтап тактического планирования машинного эксперимента, выполняемый непосредственно перед моделированием на ЭВМ системы 5.Процесс планирования машинных экспериментов с модельюМы итерационен, т.
е. при уточнении некоторых свойств моделируемой системы S этапы стратегического и тактического планирования экспериментов могут чередоваться.Контрольные вопросы6.1. Каковы характером особенности машинного эксперимента по сравнениюс другими видами экспериментов?6.2. Какие виды факторов бывают в имитационном эксперименте с моделямисистем?6.3.
Что называется полным факторным экспериментом?6.4. Какова цель стратегического планирования машинных экспериментов?6.5. Какие проблемы стратегического планирования машинных экспериментовс моделями систем являются основными?6.6. Какова цель тактического планирования машинных экспериментов?6.7. Что называется точностью н достоверностью результатов моделированиясистем на ЭВМ?6.8. Как повысить точность результатов статистического моделирования системыв условиях ограниченности ресурсов инструментальной ЭВМ?ГЛАВА 7ОБРАБОТКА И АНАЛИЗ РЕЗУЛЬТАТОВМОДЕЛИРОВАНИЯ СИСТЕМКонцепция статистического моделирования систем в реализационном планенеразрывно связана с ограниченностью ресурсов инструментальных ЭВМ.
Поэтому при рассмотрении теоретических проблем машинной имитации, относящихся в основном к разделу математической статистики, необходимо учитывать особенности и возможности текущей обработки экспериментальной информации на ЭВМ. Успех имитационного эксперимента с моделью системы существенным образом зависит от правильного решения вопросов обработки и последующего анализа и интерпретации результатов моделирования. Особенно важно решить проблему текущей обработки экспериментальной информации прииспользовании модели для целей автоматизации проектирования систем.7.1. ОСОБЕННОСТИ ФИКСАЦИИ И СТАТИСТИЧЕСКОЙ ОБРАБОТКИРЕЗУЛЬТАТОВ МОДЕЛИРОВАНИЯ СИСТЕМ НА ЭВМПосле того как машинный эксперимент спланирован, необходимо предусмотреть меры по организации эффективной обработкии представления его результатов.
Вообще, проблема статистическойобработки результатов эксперимента с моделью тесно связанас рассмотренными в гл. 6 проблемами стратегического и тактического планирования. Но важность этой проблемы и наличие специфики в машинной обработке результатов моделирования выделяютее в самостоятельную проблему. При этом надо иметь в виду, чтоприменяемые на практике методы обработки результатов моделирования составляют только небольшую часть арсенала математической статистики [7, 11, 18, 21 25, 33].Особенности машинных экспериментов. При выборе методов обработки существенную роль играют три особенности машинногоэксперимента с моделью системы S.1. Возможность получать при моделировании системы S наЭВМ большие выборки позволяет количественно оценить характеристики процесса функционирования системы, но превращаетв серьезную проблему хранение промежуточных результатов моделирования.
Эту проблему можно решить, используя рекуррентныеалгоритмы обработки, когда оценки вычисляют по ходу моделирования, причем большой объем выборки дает возможность пользоваться при этом достаточно простыми для расчетов на ЭВМ асимптотическими формулами.2402. Сложность исследуемой системы S при ее моделировании наЭВМ часто приводит к тому, что априорное суждение о характеристиках процесса функционирования системы, например о типеожидаемого распределения выходных переменных, является невозможным. Поэтому при моделировании систем широко используются непараметрические оценки и оценки моментов распределения.3. Блочность конструкции машинной модели Мм и раздельноеисследование блоков связаны с программной имитацией входныхпеременных для одной частичной модели по оценкам выходныхпеременных, полученных на другой частичной модели.
Если ЭВМ,используемая для моделирования, не позволяет воспользоватьсяпеременными, записанными на внешние носители, то следует представить эти переменные в форме, удобной для построения алгоритма их имитации.Методы оценки. Рассмотрим наиболее удобные для программной реализации методы оценки распределений и некоторыхих моментов при достаточно большом объеме выборки (числереализаций N).
Математическое ожидание и дисперсия случайнойвеличины £, соответственно имеют видИ=ЩЯ=? xf(x)dx;<x!=D[Z\=M[(x-n()2] =— оосо= J(x-Hi)2f(x)dx,— оогде/(х) — плотность распределения случайной величины <!;, принимающей значения х.При проведении имитационного эксперимента со стохастическоймоделью системы S определить эти моменты нельзя, так как плотность распределения, как правило, априори неизвестна.
Поэтомупри обработке результатов моделирования приходится довольствоваться лишь некоторыми оценками моментов, полученными наконечном числе реализаций N. При независимых наблюдениях значений случайной величины ^ в качестве таких оценок используютсяx=fi( = (ljN) £ x,;S2 = a2 = (llN) £i=l(х,-х)2,i= lгде х и Sb2 — выборочное среднее и выборочная дисперсия соответственно. Знак ~ над Д^ и а* означает, что эти выборочные моментыиспользуются в качестве оценок математического ожидания fit и дисперсии а2.К качеству оценок, полученных в результате статистической обработки результатов моделирования, предъявляются следующие требования [7, 11, 25]:1) несмещенность оценки, т е равенство математического ожидания оценкиопределяемому параметру М [g\=g, где g — оценка переменной (параметра) g;2) эффективность оценки, т е.
минимальность среднего квадрата ошибки данной241оценки М\ii~g]^MKjfi-g)2],где f, — рассматриваемая оценка; g; — любая другаяоценка;3) состоятельность оценки, т. е. сходимость по вероятности при ЛГ-юо к оцениваемому параметруlim P{\g-g\>e)=Q, е>0,либо, учитывая неравенство Чебышева, достаточное (но не обязательно необходимое) условие выполнения этого неравенства заключается в том, чтобыРассмотрим оценку выборочного среднего значения х. Математическое ожидание выборочного среднего значения х составитт. е. оценка /1;=х является несмещенной.С учетом независимости значений xt средний квадрат ошибки*i<*-«n-*D| <*-«>']-И(! <*-«>*)]-^ 4т.
е. оценка #{=х состоятельна. Можно показать, р о эта оценка также и эффективна.Рассмотрим оценку выборочной дисперсии Si. Математическое ожидание выборочной дисперсииУчитывая, что£ (*,-*)*= I <*i—яе>*—-wis—меЛi-ii-i* К*-*)*!-»!. ^ P - « ) J ] = « T ? / ^ ,получим M[Sb] = (Na$—trf)/N=(N—l)0{/N, т. e. оценка ff| = Sj является смещенной.Можно показать, что эта оценка состоятельна и эффективна.Несмещенную оценку дисперсии oj можно получить, вычисляя выборочнуюдисперсию видаЭта оценка также удовлетворяет условиям эффективности и состоятельности.Статистические методы обработки. Рассмотрим некоторые особенности статистических методов, используемых для обработкирезультатов моделирования системы 5.
Для случая исследованиясложных систем при большом числе реализаций N в результатемоделирования на ЭВМ получается значительный объем информации о состояниях процесса функционирования системы. Поэтомунеобходимо так организовать в процессе вычислений фиксациюи обработку результатов моделирования, чтобы оценки для ис242комых характеристик формировались постепенно по ходу моделирования, т. е. без специального запоминания всей информациио состояниях процесса функционирования системы S.Если при моделировании процесса функционирования конкретной системы S учитываются случайные факторы, то и среди результатов моделирования присутствуют случайные величины. В качестве оценок для искомых характеристик рассчитывают средние значения, дисперсии, корреляционные моменты и т. д.Пусть в качестве искомой величины фигурирует вероятностьнекоторого события А.