Кузьмин С.З. Основы теории цифровой обработки радиолокационной информации (1974) (1186213), страница 71
Текст из файла (страница 71)
Поэтому выборразмеров строба необходимо производить с учетом переходного процесса, а коэффициенты сглаживания а и β необходимо выбирать так,чтобы ошибки в переходном режиме при маневре скоростью была минимальными.13 Зак. 614385Получим переходную характеристику системы при воздействии наее входе единичного перепада скорости: LJBX (ί) = 0 при t < 0 иϋ η (/) « 1 при t > 0.В этом случае Ζ-преобразование входного сигнала имеет вид [11]U a x i Z - ' H T o Z - V O — Z- 1 ) 2 -(9.6.7)Подставляя это выражение в (6), получаем1Э \'I/П„О\-7_ 1I/ 1„ 11—4 'V'*'Полагая 7 0 = 1 и деля числитель на знаменатель, получаемгде Й! — 2 — а —.β; а 2 = 1 — а.Коэффициенты при обратных степенях Ζ~η и являются ординатамипереходного процесса для моментов времени пТ0. Выбирая различныезначения а и β в Пределах треугольника устойчивости, можно построить графики переходного процесса, ординаты которых будут соответствовать ширине необходимого строба при экстраполяции координаты.
Подобные исследования показывают, что "для большей частиобласти устойчивости переходный процесс в рассматриваемой системеимеет колебательный или слабодемпфицированный характер, за исключением области вблизи диагонали прямой, описываемой уравнениема = β. Быстрое затухание переходного процесса получается прибольших значениях а и β, приблизительно для а а р .в) С л у ч а й н ы е о ш и б к и в у с т а н о в и в ш е м с я реж и м е . Наблюденные значения координаты сопровождаются ошибками случайного характера.
Предполагается, что последовательностьслучайных ошибок в равноотстоящих точках на оси времени представляет собой дискретный стационарный случайный процесс и полностьюхарактеризуется дисперсией ofr . Рассматриваемая система сглаживания координаты и скорости является линейной. При этих условияхдисперсия случайной ошибки на выходе системы определяется по формуле (см. гл.
3)σ2X11о1*х = -^τπ Ψ К (Ζ- ) К (Ζ) Ζ- dZ,^ / |Ζ|<1гдеι(9-6-9)К (Ζ~ ) — соответствующаяпередаточная х а р а к т е р и с т и к а . .Подсчитаем по методике, описанной в § 3.3, дисперсию случайнойошибки с г л а ж и в а н и я координаты.П р о и з в о д я ' в выражении (3) заменуΖ " 1 = (1 — v ) / ( l -f v),получаемKUn(v)β + (2α—β)νco + c l vmUn—(9.6.10)—2α —где с0 = β; сх = 2 α — β; d0 = β; άχ = 2 α; ά2 = 4 — 2 α386Аналогично,получаемзаменяя Ζ = (1 + v)/ (I — ν),са—civKUn(—ν)1—vd0—diПо таблицам [13] находим"έ ί(go + civ)со. _Дисперсия случайной ошибки сглаживания координаты будет равнаили, после подстановки коэффициентов разл'оженил в соответствиис обозначениями (10), окончательно получим'Un(9.6.11)а (4—2а— β)Графики относительной дисперсии, этой ошибки в зависимости откоэффициентов сглаживания а и β приведены на рис. 9.11.00,2 0,4 0,6-0,8 t,OoL0,2 0,4 0,6 0,8 f,0j3Рис.
9.12. Графики относительныхошибок «скользящего» сглаживанияскорости.Рис. 9.11. Графики относительныхошибок «скользящего» сглаживаниякоординаты.Аналогичным образом подсчитывается дисперсия случайной ошибки сглаживания скорости. Для этого применяется Ζ-преобразованиепередаточной характеристики системы по сглаженной скорости (4) исведение полученного выражения к табличному интегралу.Окончательная формула для дисперсии случайной ошибки сглаживания скорости имеет вид"о?.?υη2Ё!=ατ0(4-2α-β)аЬп-(9.6-12)На рис. 9.12 приведены графики относительной дисперсии ошибкисглаживания скорости в зависимости от величины коэффициентоваир.13"..367/ Из графиков на рис. 9.11 и 9.12 следует, что для хорошей фильтрации случайных ошибок при сглаживании координаты и скорости необходимо выбирать малые значения коэффициентов сглаживания•а и β.Применяя Ζ-преобразование передаточной характеристики системы по экстраполированной координате (5) и путем сведения полученного выражения к табличному интегралу, определяется формуладля вычисления дисперсии случайной ошибки экстраполяции, котораяимеет видUna_ 2α—β)α ( 4"-•(9.6.13)Подсчитаем теперь корреляционный момент связи величин 0 п ;U n как .математическое ожидание произведения случайной ошибкиоценки координаты Δ ΰ η и случайной ошибки оценки скорости ее изменения Δ ύ η , т.
е.Копйл-М[ДОпдйп].(9.6.14)Используя формулы(9.6.15)записываем выражения для случайных ошибок оценки сглаженнойкоординаты ДС„. скорости Δ θ η и ошибки экстраполяции Δ ϋ η 3в видеΔ ϋ η - (β/Го) Δ υ η + Δύ η β —β/Г., ДО„,(9.6.16)В этих выражениях величина Δ1)η представляет собой случайнуюошибку измерения координаты.В результате выполнения операции (14), с учетом (16), окончательная формула для корреляционного момента получается в видеК UnUn0ЬР ( 2 а(4~ 2Р ) йβГрафики изменения коэффициента корреляции в'зависимости отзначений коэффициентов сглаживания а и р приведены на рис.
9.13.Таким образом, формулы (11), (12) и (17) полностью определяютэлементы корреляционной матрицы случайных ошибок «скользящего»сглаживания параметров линейной траектории.388г) Д и н а м и ч е с к и е о ш и б к иву с т а н о в и в ш е м с яр е ж и м е м а н е в р а . Важной характеристикой качества рассматриваемого фильтра является также динамическая ошибка, возникающая в случае, когда цель движется по криволинейному курсу.Рассмотрим зависимость динамической ошибки от коэффициентов сглаживания а и β для режима установившегося маневра цели по координате U, причем будем полагать, что маневр происходит по кривой второго порядка, т.
е. в законе изменения координаты отсутствуют производные по времени выше 2-й-степени.В общем случае динамическая ошибка находится из выражения (см. § 3.3)где Δ1' υ η — ί-я конечная разность входного сигнала.Первая конечная разностьвходного сигнала соответствуетпервому приращению координаты, т. е.а вторая конечная разность —второму приращению координаты, т. е.[„_!.о,5Оа,0.51,0Рис. 9.13. Графики изменения коэффициента корреляции.Коэффициенты динамической ошибки Ct определяются из выражения (3.3.25)1где К д ^ (Z" ) — передаточная характеристика по сигналу ошибки.Передаточная характеристика рассматриваемой системы по ошибке сглаживания координаты имеет видК.гПроизводя преобразование, получаем— г±\ (\ — 7 - 1 1 !Дифференцируя К д 0 с г л по Ζ~ι, получаемДЬсгл^-* 1 Г П^~= 0,С,ι7 1λ4 2 К д и с г л (2"~=-Таким образом, квадрат динамической ошибки сглаживания координаты имеет видL]»..(9.6.18)Из выражения (18) следует, что квадрат динамической ошибки сглаживания координаты уменьшается с ростом а и β и равен нулюпри а — 1.При выводе выражения для квадрата динамической ошибки экстраполяции координаты воспользуемся формулой (6) для Ζ-преобразования ошибки экстраполяции.
Дифференцируя это выражение поΖ" 1 дважды, получаемс>, =— О,С,э =IТаким образом, квадрат динамической ошибки экстраполяции координаты U n определяется выражением. (ДаС' ) 2 = - — W 2 ) U n ) 2 .(9.6.19)Из выражения (19) следует, что квадрат динамической ошибкиэкстраполяции не зависит от а и уменьшается с ростом.β.Полученные формулы для дисперсии случайных ошибок и квадратадинамических ошибок позволяют выбирать оптимальные значения коэффициентов сглаживания а и р , например, по критерию минимума дисперсии суммарной (случайной плюс динамической) ошибки сглаживания в установившемся режиме, т.
е. исходя из условия(9.6.20)ГДисперсия суммарной ошибки сглаживания координаты имеетвидПереходя к относительным ошибкам^, получаем^ - Л с г л ^ . Р)-ЬР 2 С| с г л (а, Р).(9.6.21)συгде2f ^ T' ^(1 "а)8/Р>: •(α β)р 2 = [Д(г) U n P/au — относительное значение второго приращениякоординаты, которое называется относительной интенсивностьюманевра.Для нахождения оптимальных значений а и β по критерию (20) необходимо взять частные производные от выражения (21) поа и ри при390равнять их к нулю при а = а о п т и β — β 0 π τ - В результате дифференцирования получаем два уравнения;-О,—2α—а (4—2α-β)*(9.6.22)'ОПТ*опт(9.6.23)оптоптНепосредственное решение уравнений (22) и (23) с целью нахождения а о а т и β 0 π τ чрезвычайно громоздко.
Найдем поэтому толькозависимость а о в т = f (β 0 π τ ). Для этого выразим р 2 из уравнений (22)и (23) И приравняем полученные выражения. В результате получим( 2 a o n T - f β ό π τ ) ' — 4 β 0 π τ (а О цт "г v-о4—*:- = Ропт-/Q с <)л\(У.о.^4)Если наложить на коэффициенты a o a T и β 0 π τ естественные ограничения, вытекающие из условия устойчивости системы,«опт > О, Роят > 0, - 2α 0 π , + β 0α τ < 4и, кроме того, условиться, что а Ф 1, то выражение (24) значительно^упрощается и имеет вид(2a o n T -f β 0 π τ ) 2 —4β 0 π τ а о п т (1 — а о а т ) .Из этого выражения получаем (беря только арифметическое значение корня)«опт = VVfrvn—βόηΐ/2.(9.6.25)Выражение (25) совместно с уравнениями (22) и (23) позволяет выбирать пару α 0 π τ , β 0 π τ , если известна интенсивность маневра по координате.9,6.3. Фильтр «скользящего» сглаживанияпараметров траектории, заданной полиномом 2-й степениВ § 9.3 были получены формулы экстраполяции (3.25) и последовательного сглаживания (3.28) параметров траектории, задаваемой,полиномом 2-й степени.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
