Кузьмин С.З. Основы теории цифровой обработки радиолокационной информации (1974) (1186213), страница 73
Текст из файла (страница 73)
Разрешив его относительно γ, получиму = 2αβ/(2 — α),(9.6.47)С учетом условий (46) из данного уравнения получается область возможныхзначений у: 0 < γ < 8..Таким образом, необходимые и достаточные условия устойчивости фильтраимеют видО < а < 2,0<β<4,0 < γ < 8.(9.6.48)Область устойчивости фильтра, изображенная на рис. 9.17, представляетсобой пирамиду сложной формы в системе координат а, β, у. В ее основании лежит треугольник устойчивости фильтра «скользящего* сглаживания параметровлинейной траектории. В пространстве область устойчивости ограничивается поверхностью второго порядка, описываемой уравнением (44), и плоскостью Q.Если разрешить уравнение (44) относительно β, то получимβ = у (2 — α)/2α.Откуда следует, что при а = 2 ребро / пирамиды (рис. 9.17) лежит в плоскостиаОу и перпендикулярно плоскости α0β.
Кроме того, грань Q перпендикулярнаплоскости αθβ.В результате совместного решения уравнений (43) и (44) с учетом условияО < у < 8 получаем, что грань а является прямой, соединяющей точки Л и й(рис. 9.17). .Таким образом, область устойчивости рассматриваемого фильтра имеет следующие особенности:— ребра I и а являются линейными,— грань Р представляет собой поверхность второго порядка,— вся пространственная фигура стягивается при ее -*• 2, β -*• О в точку Ас координатами а = 2, β = 0, γ = 8.;9.7.
Экспоненциальное сглаживание параметров траекторииРассмотрим еще один метод последовательного сглаживания параметров траектории с помощью фильтра с постоянной памятью, которыйназывается методом экспоненциального сглаживания. При экспоненциальном сглаживании предыдущие значения параметров учитываютсяс убывающими по экспоненциальному закону весами.9.7.1. Формула экспоненциального сглаживанияДля произвольного скалярного параметра Θ формула экспоненциального сглаживания имеет вид [11]в и - и - а е .
н - у ^ , е,_2§n-J,""{9.7.I)где Θη — измеренное значение параметра в л-м обзоре; Ъп — сглаженное значение параметра в η-м обзоре; / [...] — некоторая функцияпредыдущих сглаженных значений параметра; ξ — постоянная величина, имеющая смысл коэффициента сглаживания.В простейшем случае сглаживания неизменного во времени параметра для нахождения очередного сглаженного значения используется399только текущее измерение и предыдущее сглаженное значение. Формула сглаживания (1) имеет тогда видй = ( ΐ _ ? ) θ π + εθ η ,.(9.7.2>Формула (2) может быть использована, например, при сглаживаниикурса Qn и скорости Уц аэродинамической цели при равномерном ипрямолинейном ее полете, а так7(0же при сглаживании эллиптиче°»9ских параметров' неманеврирую\\0,8щей космической цели.
ОсновнымIее достоинством является простота/1реализации на ЦВМ./ 0,6/Формулу (2) можно записать в/виде7 0,5А0,50,9ϊ10,30,2ifгде т}( = (1 — \) V — весовая функция учитываемых при сглаживании измеренных значений параметра.На рис. 9.18 изображены графики весовой функции η ( при различных значениях ξ (ξ = 0,9; 0,5;0,1)- Из рисунка видно, что весовая функция имеет вид экспоненты. Чем меньше ξ, тем в меньшейстепени учитываются результатыРис.
9.19. Структурная схема фильтра предыдущих измерений (меньшесглаживание) и, наоборот, чемэкспоненциального сглаживания.больше |, тем больше сглаживание,т. е. тем больше результатов предыдущих измерений параметра учитываются при вычислении сглаженного значения. Поэтому коэффициентξ и получил название коэффициента экспоненциального сглаживания.Формула (2) представляет собой уравнение движения замкнутойимпульсной САУ, структурная схема которой изображена на рис. 9.19.Легко показать, что такая система устойчива при 0 ^ 1 <; I.При сглаживании линейно изменяющегося параметра формула экспоненциального сглаживания имеет видРис.
9.18.Графики весовой функции η(ΐ).Θη = (Ι.-ξ)Θ η -}-ξ/[θ^, ΘΛ_2].^(9.7.3)Операция / [...] над предыдущими сглаженными значениями,параметра должна в этом случае состоять в нахождении экстраполирован400ного значения параметра на момент tn последнего измерения. Еслипринять, например, что оценки β η . χ и Ьп.г равноточны, тоf [h-i, Θ η ^ - Θ η 8 = 2 Θ η _ ! - - θ ; - 2 .(9.7.4)Естественно, для экстраполяции могут быть использованы и болеесложные формулы, учитывающие неравноточность оценок.Аналогичным образом может быть получена формула экспоненциального сглаживания параметра, изменяющегося по квадратичномузакону.Мы в дальнейшем ограничимся случаем экспоненциального сглаживания неизменного во времени параметра.9.7.2.
Ошибки экспоненциального сглаживания параметров.Выбор оптимального значения \'Качество экспоненциального сглаживания оценивается по величинеслучайных и динамических ошибок сглаживания.Мгновенное значение суммарной ошибки сглаживания параметразапишем в виде(= Ъп-в п\(9.7.5)где Qln0> — истинное значение параметра в момент времени tn;§η« Σ η ^ . , ;(9.7.6)Θη-( ~ результаты измерения (расчета) параметров, которые представляют собой аддитивную смесь истинных значений Θ«-ί и ошибокизмерения ΔΘ η _ /( т. е..Θ ^ - θ ί ΰ ι + ΔΘ».,.(9.7.7)Используя выражения (6) и (7), суммарную ошибку сглаживанияпараметра можно представить в следующем виде: •= 2 η ί (θ!, 0S Ч. θάΪΙ ΐ — θ£°Λ + ± η, Де и _ 4 .(9.7.8)Первое слагаемое в выражении (8), заключенное в скобки, представляет собой динамическую доставляющую Да§ п суммарной ошибкисглаживания, а второе — случайную составляющую Д С Л 9 П этойошибки.Так как случайная и динамическая составляющие не коррелированы между собой, дисперсия суммарной ошибки будет равна .о!»а|п+(Давя)2.14 Зак.
6U401Вычислим дисперсию случайной и квадрат динамической составляющих ошибки.Так как математическое ожидание случайной ошибки равно нулю,то дисперсию этой ошибки можно записать в видеПосле элементарных преобразований получимпV!пVП/•"\где RQ (i — /) — корреляционный момент случайных ошибок измерения параметра.Предположим, что сглаживаемый параметр вычисляется по двумизмеренным значениям координат, причем каждое измеренное значение участвует в расчете параметра дважды.
Тогда, при условии отсутствия межобзорной корреляции измеренных значений координат, вычисленные значения параметра будут коррелированы в двух соседнихобзорах. Непосредственным подсчетом можно показать, что коэффициент корреляции в этом случае отрицателен и равен 0,5.Следовательно,σδ при I—/ = 0 ,(9.7.9)Яе (£-/)« -0,5σ§ при |t — / | = 1,0при 1 1 — / | > 1 ,где σ| — дисперсия расчета параметра по двум измеренным значениям, координат.
'С учетом (9) выражение для дисперсии случайной ошибки можнозаписать в видеппΣ η?- Σ 1Имея в виду, что при п-*-оо (установившийся режим работы)ΐ-0 .'=-0получим окончательноσ|= σ§ϋ^ϋ! .'(9.7.10)Формула (10) показывает, что дисперсия случайной ошибки экспоненциального сглаживания параметра тем меньше, чем больше коэффициент сглаживания ξ.402Вычислим теперь квадрат динамической ошибки сглаживания параметра для случая установившегося маневра цели по этому параметру,Коэффициенты динамической ошибки Ci определяются из выражения (см.
§ 3.3)где•μ ι - Σ / ' η / ( / - о , 1, 2,..., /); ./-о/ —"-степень многочлена, описывающего функцию Θ<°> (/).Коэффициенты а ( принимают значенияа 0 = 1,'Ci - р,.... at = p'/t!.где р — число периодов экстраполяции входного сигнала; при сглаживании р — 0, поэтому аг = 0.Для случая линейного изменения параметра при маневре (/ = 1),вычисление коэффициентов динамической ошибки даютμβ« Σ / ° η / - ( ΐ - Ι ) ' Σ ν = \>следовательно, С 0 = 0;Σ/«оследовательно, С г ««^/(1—ξ).Таким образом,а квадрат этой ошибки определяется по формуле2Λ -Τ^Τ( Δ ( 1 ) Θ^;(97Л1)С учетом выражений (10) и (11) дисперсия относительной суммарной ошибки сглаживания равна|а1)ίϋ(97.12)2где т|з == (Δ< Θη) /σ2 — относительная интенсивность маневра.На рис. 9.20 построены графики зависимости дисперсии относительной суммарной ошибки сглаживания параметра от коэффициента сглаживания ξ при различных интенснвнрстях маневра.
Графики имеютэкстремумы минимального типа, которые смещаются влево.при уве.личении интенсивности маневра. Отсюда можно сделать вывод о целесообразности изменения коэффициента сглаживания ξ с целью поддержания ошибки" на минимальном или близком к минимальному уровню для каждого конкретного значения интенсивности маневра.
Изграфиков ошибок также следует, что выбор коэффициентов I для кажи* .-403дого значения интенсивности маневра некритичен, так как экстремумы графиков тупые.Для нахождения оптимального значения | о п Т по критерию минимума дисперсии суммарной ошибки продифференцируем выражение(12) по | и приравняем результат к нулю.
Окончательное уравнениедля ξ 0 π τ имеет вид2(1 - |ΰ π τ= 0.)4-1,6 \-0,80ΖО,1*0.60,8 cРис. 9.20. Графики относительных суммарных ошибок экспоненциального сглаживания.', .Используя это уравнение, можно выбрать оптимальное значениекоэффициентасглаживания £опт, если известна интенсивность маневра цели ψ2 по параметру,СПИСОК.ЛИТЕРАТУРЫ1. Маневрирование космических аппаратов. М., «Машиностроение», 1970Авт.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
