Кузьмин С.З. Основы теории цифровой обработки радиолокационной информации (1974) (1186213), страница 72
Текст из файла (страница 72)
В соответствии с этими формулами алгоритмработы фильтра «скользящего» сглаживания параметров квадратичнойтраектории записывается в виде:б)в)г)(9.6.26)Д)fc)391Структурная схема фильтра изображена на рис. '9.14.На вход сглаживающего фильтра в данном случае, кроме последовательности отсчетов текущей координаты U n , должны быть поданыначальные значения параметров и 0 , и 0 и и 0 .Выходными сигналами фильтра являются: сглаженное значениекоординаты On. сглаженное значение скорости 0 „ , сглаженное значение ускорения U n , а также экстраполированные значения координаты и скорости на момент tn последнего измерения.2β/7°- *;.,0ί+ Г 5±+I/.+',-f1a.Рис.
9.14.Структурная схема фильтра скользящего сглаживания параметровквадратичной траектории.Основными элементами структурной схемы фильтра являются:. — сумматор Σ 1 ( который служит для вычисления сигнала ошибкимежду измеренным значением координаты в момент ίη и экстраполированным на этот момент значением координаты по формуле (26е);— сумматор 2 S , на котором вычисляется оценка сглаженного значения координаты Vn по формуле (26в);— сумматор 2 3 , на котором вычисляется оценка сглаженного значения скорости изменения координаты О„ по формуле (26г);— сумматор Σ 4 , на котором вычисляется оценка сглаженного значения ускорения по координате [формула (26д)];— сумматор Σ 5 , на котором вычисляется оценка экстраполированного значения координаты по формуле (26а); .— сумматор Σ β , на котором вычисляется оценка экстраполированного значения скорости по формуле (266).392Необходимые задержки параметров на время между двумя измерениями обозначены умножением на оператор Ζ~ι.
Назначение другихэлементов структурной схемы легко понять из рис. 9.14.Из рассмотрения структурной схемы следует, что фильтр «скользящего» сглаживания параметров квадратичной функции не содержитнелинейных элементов и может быть исследован методами анализа динамики линейных дискретных систем автоматического управления.9.6.4. Анализ качественных характеристик фильтра«скользящего» сглаживания параметров траектории,заданной полиномом 2-й степениИспользуя метод Ζ-преобразования, получаем передаточные^харзктеристики рассматриваемого фильтра. Запишем выражения (26) в развернутом виде (приu 0 , u0 и ϋ 0 равных нулю):ΰ ύ ι 7 \)+ Urt_i_rt(9.6.27)Применяя Ζ-преобразование правых частей системы уравнений (27), получаемΐ•nU-d-ajZ'^^n [(l-a)(un+Unr*/2)lz-i+aUft,(9.6.28)Δ Un8 -Un Го + ϋη ~-Полагая Г о = 1 и решая систему уравнений (28) относительно U n - U n , Vn,д, U n 3 .Δΰ η 3 , получаем выражения для передаточных характеристик фильтра:na—(2α-β—0,δγ)Ζ-4-(α —β+0,5γ)Ζ-UnKfZ- i ) e J»1— BZ-'2— DZ'$2(9.6.29)(9.6.30)393:•I-BZ5 д э(9'6-32)ίβ+Υ)^ ι -ΐ2β+γ)^-»+ρζ-»г д е й = 3 — α — β — 0.5γ; С = 3 — 2α — β + 0,δγ; D => 1 — α.Полученные выражения для передаточных функций фильтра позволяютпроанализировать все основные показатели его качества.а) С л у ч а й н ы е о ш и б к и а у с т а н о в и в ш е м с я р е ж и м е .Измеренные значения координаты сопровождаются ошибками случайного характера.
Пусть последовательность случайных ошибок в равноотстоящих точкахна оси времени представляет собой дискретный стационарный случайный процесс и полностью характеризуется дисперсией.Так как фильтр «скользящего» сглаживания параметров квадратичной траектории (рис.
9.14) является линейным, то дисперсГгя случайной ошибки на интересующих нас выходах этого фильтра определяется так же, как для фильтраскользящего сглаживания линейной траектории по формуле (9). Подставляяв эту формулу1 —v1+v 'I +v~ 1—vИ2dv~ ( 1 — V)1 'получаем!<хfJл;,K(v)K(-v)1+v1—v,dv.Подсчитаем теперь дисперсию случайной ошибки сглаживания координаты.Производя в выражении (29) замену переменной Zna v, получаем1+vdo + ^iv + iiav'+dav 8 'I —vгдеcd0dc0 = <*o = V: i = i = 2β: c 3 = d 2 ^ 4α — γ;с э = 4α — 2β; d 3 = 8 — 4α — 2β.(9.6.35)Для рассматриваемой системы ло таблицам [13] находим интегральнуюоценкуI+v1—vdQds(did2~dcd3)где %•% — интегральная оценка дискретной системы; ^ з — интегральная оценкасоответствующей ей непрерывной системы.394'.Дисперсия случайной ошибки сглаживания координаты будет равна2а2=а%*или после подстановки значений^коэффициентов разложения с/, dj в соответствии с обозначениями (35) окончательно получимβ'(2α 3 —3αβ + 2β) + 0, 5αγ-(2α -f β — 4)(9.6.36)_2—ν) (4 — 2α — β) •С'Графики относительной дисперсии этой ошибки в зависимости от коэффициентов сглаживания а, β (при некоторых значениях γ) приведены на рис.
9.1а.0,5υ0,51,0OLРис. 9.I5. Графики относительных ошибок сглаживания.координаты.Аналогичным образом подсчитываете я дисперсия случайной ошибки сглаживания скорости. Для этого применяется ν-преобразование передаточной характеристики системы по сглаженной скорости (30) и сведение полученного выражения к табличному интегралу.395Окончательная формула для дисперсии случайной ошибки сглаживания скорости имеет вид22(β—γ)β3 + γ2(2—α)rσ~ =——.(9.6.37)На рис. 9.16 приведены графики относительной дисперсии ошибки сглаживания скорости ч зависимости от величины коэффициентов α, β, у.β-ά0,31,60,82,0 а.Рис. 9Л6.Трафики относительных ошибок сглаживания скорости.Полученная по описанной выше методике окончательная формула для дисперсии случайной ошибки сглаживания ускорения имеет вид,5αγ—ν){4—2α—β)'(9.6.38)Из-за громоздкости формулы для корреляционных моментов здесь не приводятся .б) Д и н а м и ч е с к и е о ш и б к и в у с т а н о в и в ш е м с я режиме м а н е в р а .
Динамические ошибки сглаживания параметров траекториивозникают при маневре цели вследствие несоответствия используемой в алгоритме гипотезы движения и реальной траектории маневрирующей цели. Рассмотримзависимость динамической ошибки сглаживания координаты от коэффициентовα, β, у для режима установившегося маневра цели. Сначала будем полагать, чтоманевр происходит по кривой второго порядка, т. е. по дуге окружности.Как и прежде, квадрат динамической ошибки находится из выраженияа входящие в это выражение коэффициенты Ct no формуле.-1.396-где К д у(Ζ"1) •—передаточная характеристика по соответствующему выходуфильтра.Передаточная характеристика фильтра по ошибке сглаживания координатыимеет видКПроизведяΔυ'π— 1)Ζ1)Ζ" 3ι _ ( 3 - α — β—0,5γ)Ζпреобразования,получаем'(9.6.39)Дифференцируя(Z fl )К.£С ΙΛΙΜΙ —Ζ~~ ==п оΖ~\ получаем=o.Сгсгл == 0,Таким образом, при маневре цели по кривой второго порядка квадрат динамической ошибки сглаживания координаты равен нулю.
Следоиательно, рассматриваемый фильтр является фильтром с астатизмом третьего порядка.Получим теперь выражение для динамической ошибки сглаживания координаты в случае, когда входной сигнал содержит производную третьего порядка,т. е.о1Дифференцируя выражение (39) по 2" , получаем.T = С2сгл = 0.Сзсгл = (1 — α) /γ.Таким образом, квадрат динамической ошибки сглаживания координаты определяется в данном случае по формуле(9.6.40)где Δ ( 3 ) ϋ η — третья конечная разность для координаты, соответствующаятретьей производной входного сигнала фильтра.Из выражения (40) следует, что величина динамической ошибки при кубическом воздействии не зависит от β, уменьшается с ростом у и а и равна нулю приа = 1в) П е р е х о д н ы й п.р о ц е с с. Получим переходную характеристикуфильтра при воздействии на ее входе перепада ускоренияL'BI(0=0! _ ! „ ( / ) = — ггпри ΐ < 0,при/>0.В этом случае Ζ-преобразование входного сигнала имеет вид [11]ТUU(B22(17-117-1I )X L ( « J 2 J >) Δ ,2 ( 1 — Ζ-ψ9.6.4|){Подставляя это выражение в (34) и принимая Г о = 1, получаем3971Величина Δ1) η 8 (Ζ" ) в выражении (42) представляет себой переходную характеристику фильтра (см.
рис. 9.14), которая вычислена по формулеДеля числитель на знаменатель в выражении (42), получаем функцию переходного процесса в видегде αχ = 3 — a — β — 0,5γ; о а =- 3 — 2α — β + 0,5γ; a s = a — 1.nКоэффициенты при Z~ и являются Ординатами • переходного процесса для моментов времени пТ0.Выбирая различные значения а, £}'иV из области устойчивости фильтра,можно построить графики переходного процесса, ординаты котор.ыхбудут пропорциональны ширине необходимого строба при экстраполяции сглаженной координаты.Исследования переходного процесса показывают, что выбор значений a > 1, β > 0,5, у > 0,5 является нежелательным, вследствие большого времени установления переходного процесса фильтра и возрастанияслучайной составляющей суммарнойошибки сглаживания.г) У с т о й ч и в о с т ь ф и л ь т р а .
Для того чтобы фильтр «скользящего» сглаживания . параметровквадратичной траектории был устойчивым, необходимо и достаточно,чтобы знаменатель передаточной характеристики (34) по ошибке экстраполяциисглаженной координатыКд£ (Ζ*1) имел нули внутри единичного круга на комплексной плоРис. 9.17. Область устойчивости фильтра скости Ζ.Для определения устойчивостискользящего сглаживания параметроввоспользуемся методом [11]. котоквадратичной траектории.рый исходит из того факта, что величина интегральной оценки в области неустойчивой работы фильтра равна бесконечности, т.
е. £Г% = 0. Из формул (36) — (38) следует, что это условие выполняется в случае4 —.2а — β = 0,(9.6.43)2αβ -г ау — 2γ = 0,(9.6.44)а > 0, β > 0, V > 0.(9.6.45)Условие (45) следует из принципа физической реализуемости фильтра.Уравнение (43) описывает треугольник устойчивости фильтра «скользящего» сглаживания параметров линейной траектории и совместно с условиямифизической реализуемости фильтра определяет область возможных значений длякоэффициентов сглаживания а и β:0 < α < 2 ,3980 < β < 4 .(9.6.46).Уравнение (44) описывает поверхность второго порядка.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
