Кузьмин С.З. Основы теории цифровой обработки радиолокационной информации (1974) (1186213), страница 66
Текст из файла (страница 66)
Последовательное сглаживание параметров линейнойтраекторииЗакон изменения координат линейной траектории записываетсяв видеr(t)= ro + r e (i-/ e ) fί-/ό>.(9.3.12)Сглаживание параметров линейной траектории можно производитьраздельно по каждой координате, так как последние не связаны между собой.
Для примера рассмотрим последовательное сглаживание параметров по координате дальности г (/) при равнодискретном ее наблюдении с периодом Г о .1. Пусть по данным предыдущих п — 1 обзоров получены векторсглаженных параметрови корреляционная матрица ошибок оценки этих параметров [см. выражение (6.3.29)1gfl-11Т»-.= Кп-11^-.. .ГоЛ •Т(9.3.13)22. В соответствии с принятой моделью траектории, экстраполяциякоординаты на следующий обзор производится по линейному законупри условии постоянства скорости ее изменения. Следовательно, в рассматриваемом случае вектор экстраполированных параметров имеетвид'"па —(9.3.14)I 'паа оператор экстраполяции F 8 (так же как и оператор пересчета ошибок Ф), как легко проверить, записывается в виде матрицы-О 1 IКорреляционная матрица ошибок экстраполяции вычисляется поформулеΨ.,-|ФТ-ОI' 1-1gn-lSn-1/»-1КхчГоКп-хПт1 л349В результате выполнения операций перемножения матриц получимокончательно' ОпΨ='(Sn - 1 + In -11'13(9.3.15)7,n -1 + fn -13.
Вычислим теперь корреляционную матрицу ошибок сглаживания параметров с учетом последнего (/ι-го) измерения координаты.Для этого воспользуемся общей формулой (9). В этой формуле (длярассматриваемого случая); Ξ η = σ) — дисперсия ошибки измерениядальности в п обзоре, Н — ц 1 О Ц.— вектор-строка.П=ψ Ι Ι (Л9)>Запишем- матрицу Ψη в общем виде:Производя вычисления в соответствии с формулой (9) для элементов матрицы Ψ π , получаем следующие выражения:σί.Ψ22 (η) —Дальнейшие преобразования этих выражений позволяют записатьматрицу Ψ η в следующем компактном виде:/СпgnU(9,3.16)тЬгдеhК = n~l(9.3.17)Полученные формулы позволяют непосредственно формироватьэлементы матрицы Ψ η из элементов матрицы Ψ η _! и веса w rri последнегоизмерения координаты.350Если экстраполяция производится на произвольный интервал времени Δΐ», формулы для hn и gn приобретают вид4.
Получим теперь формулы для вычисления сглаженных параметров в соответствии с общим выражением (10). В этом выражении (длярассматриваемого случая)С учетом последних соотношений окончательные формулы для вычисления сглаженных параметров линейной траектории имеют вид(9.3.18)'ft — г пэ "г &п V и(9.3.19)Входящие в эти формулы коэффициенты А^ и В д называются коэффициентами сглаживания координаты и скорости соответственно.С учетом выражения (!б) эти коэффициенты можно записать в виде(9.3.20)An = hnwrjKn,В я ? «I.
IK ./Q Ъ 911Если в очередном (л-м) обзоре имеет место пропуск отметки, тоwrfj =» 0 (σ?η <= оо ) и A n = s B n = 0. В качестве сглаженного значения координаты и скорости в этом случае принимаются их экстраполированные значения.5. При равнодискретных и равноточных (без пропусков) измерениях координаты имеем_ n(n—1)*Подставляя эти значения в выражения (20) и (21), получаем. А л = 2 ( 2 п - \)!п (п + 1),В п = 6/л (л + 1).• '•(9.3.22)(9.3.23)351На рис. 9.2 приведеныграфики • зависимости коэффициентов А„ и В п от числанаблюдений п. Из графиковвидно, что с увеличением п¥коэффициенты сглаживания,координаты и скорости асимптотически приближаются кнулю. Следовательно, с уве1 2 3 Ч 5 6 79 Ю лличением п результаты поРис.
9.2. Графики изменения коэффициен- следнихнаблюдений притов А„ и В».сглаживании координаты искорости учитываются все с.меньшим весом и алгоритм перестает реагировать на изменение входного сигнала. В этом существенный недостаток рассматриваемого метода, если иметь в виду, что для реальных целей траектория движения подвержена случайным флюктуациям.A-я1,09.3.3.
Последовательное сглаживание параметров траектории,представленной полиномом второй степенит.Пусть координата дальности г (/) представляется полиномом второй степени,(9.3.24)и предположим, чтээта координата сглаживается независимо от других. Известны — вектор оценок параметров на предыдущем шагеи корреляционная матрица ошибок оценки этих параметров(л— 1)(п-!>(л—I)¥12 (л—I) Ψ!3(η-1)¥22 (я— 1) ¥23 (я—J)¥32 (л— I) ¥33 (п— 1)Производя операции в соответствий с общей формульной схемой алгоритма,получаем:1. Экстраполированные значения параметров на время Д/аГп-1352Окончательные формулы имеют видГп1~2'(9.3.25)2.
Матрица ошибок экстраполяции получается из выраженияНе раскрывая (из-за громоздкости) это выражение, записываем матрицуошибок экстраполяции в общем видеΨΐΙ (л»)Ψΐ2 (ft»)^21 (пэ)Ψ22 (л9)Ψί3(η9)Ψ31 (п»)Ψ32(/ι»)^33 (пэ)Ψ[3(π»)(9.3.26)3. Результат нового измерения координаты обозначим череэ гп. Это измерение характеризуется дисперсией σ? η . Оператор соответствия измеряемых и оцениваемых параметров имеет в данном случае видН Н ] 1 О О 1J 4.
Корреляционная матрица ошибок оценки параметров с учетом последнего измерения координат записывается в общем виде:(9.3.27)(π)(л)гдеησ? '*(л)(Л9)"32 (л) "=^23 (л) β Υ 3 2 ( Л 9 ) " "У 3 3 ( л ) - У 3 3 (Л9)—^(лэ),ffB6. Вектор*столбец коэффициентов сглаживания имеет в данном случае видЬ\ (Я)W- .^31 {п)1 2 Зак. 6143536. Формулы сглаживания параметров в окончательном виде записываютсятак:гпаВ„гдеГR9.5,4. Последовательное сглаживание параметров линейнойтраектории при наличии независимых измеренийположения и скоростиПусть закон изменения координаты линейныйи производятся независимые одновременные и равнодискретные измерения положения Г( и скорости rt. Требуется получить формульную схему алгоритма последовательного сглаживания параметров гп и гп.Начальные значения параметров будем считать полученными по двум предыдущим измерениям:г*ft, *n-1— v2 —В соответствии с общей процедурой получения последовательных оценокимеем:1.
Экстраполированные значения параметров на момент п последнего измерениягГп-\ + п-х'п*2. Матрица ошибок экстраполяции21 (пэ)гдезт»20354^ 2 2 (пэ)rп-х'n-iп-13. Корреляционная матрица ошибок оценки параметров получается в видбгдеТаким образом, элементы матрицы Ψ η можно непосредственно формироватьиз элементовматрнцы Ψ η _ ! с учетом «весов» измерений (w r n , w- ) в новом л-м обзоре.4. Оператор соответствия измеряемых координат и оцениваемых параметровимеет в данном случае вид .1 ОО 1Поэтому оператор сглаживания имеет вид5. Оценки параметров траектории по результатам п измерений получаютсяв виде(9.3.29)n(rn —>„»)»гдеP.3.5.
Последовательное сглаживание параметровбаллистической траекторииБудем предполагать, что сглаживание параметров баллистическойтраектории производится по данным равнодискретных измерений координат. Параметрами траектории являются сферические координатыГп> βη» 8η и скорости их изменения гп, $П1 е„, приведенные к моментуtn последнего измерения.Пусть на первом этапе, который является предварительным и включает небольшой начальный интервал наблюдения, баллистическая-тра12*•355ёкто|эйя оглаЖйвалась как линейная, раздельно по каждой из независимых координат. Полученный на этом этапе вектор сглаженныхпараметров (после транспонирования) представим в виде dj_i =II ^η-ν К-1> βη-ΐ.
βη-ι» *η-ν ε η-ι II» а матрицу ошибок оценки параметров по данным п — 1 измерений координат запишем так:Ψ,(«-υОО00 .4W-i>О0Ψε<π-η(9.3.30)Матрица (30) является блочно-диагональной. Диагональные блокиявляются матрицами порядка 2 х 2 и записываются в видеfill /„ΨU(n-l)t.' J?t t //г.U(n-I)2Ti-I)где U = {r, β, ε).При экстраполяции параметры баллистической траектории представляются обычно полиномами не выше 3—4-й степени. Для случаяпредставления координат полиномами 3-й степени и экстраполяциина один период обзора То имеем\jn9== \jn_l _f_ΰη— ι Г 0 + 1)л_1.
L± _j_ jj-—°,(9.3.31)(9.3.32)где|ΛεЦТη\\,Необходимые для решения уравнений (32) и (33) вторые производные координат по времени вычисляются из уравнений движения[см. формулы (6.4.5)], а производные третьего порядка находятся путем дифференцирования уравнений движения [см. формулы (6.4.7)].Корреляционная матрица ошибок оценки параметров экстраполируется в данном случае по линейному закону. Линеаризованный оператор экстраполяции корреляционной матрицы ошибок ^представляетсобой блочную матрицу видаФггде0ФЕооФи»35601 -Го0 1(9.3.33)Экстраполированная' корреляционная матрица ошибок оценки параметров определяется, как и прежде, из соотношенияПодставляя в это соотношение выражения (30) и (33) и производясоответствующие операции транспонирования и перемножения матриц, получаем окончательно(ЛЭ)ss00ϋϋ0(9.•f4 г{пэ)0гдеЧмп-η(n-I)(1-1)Го(и-!)8 U {л-!>1)"*" 'U ( л — ) )+ /u (π-Ι)—1)Рассчитаем теперь матрицу ошибок сглаживания параметров с учетом очередного (п-го) цикла измерения координат.
Ошибки одиночного отсчета независимых координат гп, β η и гп являются некоррелированными между собой. Поэтому корреляционная матрица ошибокизмерения в п-м обзоре имеет вид0(9.3.35)0Матрица Н операторов, связывающих значения оцениваемых параметров и измеряемых координат, в данном случае представляетсяв виде1 о! о о о оо о j"i_F| о оо о о о i'i о(9.3.36)Каждая из выделенных пунктирными прямоугольниками пара элементов этой матрицы представляет собой оператор перехода от независимой измеряемой координаты к связанной с этой координатой пареоцениваемых параметров.
Поэтому матрицу (36) можно представитьв виде блочно-диагональной матрицы порядка 3 X 30Н — 0г0 ' 0н00Не(9.3.37)357Каждый диагональный элемент этой матрицы имеет порядок 1 х 2.Подставляя теперь полученные выражения для Ψ η 3 , Ξ и Н в общую формулу (9), после соответствующих преобразований получимблочнодиагональную матрицу:ψ =1пгде диагональные блокимл>ООО0Ψρ{ηΪI.(9.3.38)Ψυ(η> определяются по формуламlII А,V(n)in) —КV[n)O^U (в)h(n)(rt)в которых Аисп>» Яисп).
/u(n)i ^ufn) — коэффициенты, вычисляемыепо формулам (17) для каждой координаты в отдельности.Вектор сглаженных параметров по данным п замеров координатопределяется по общей формуле (10). Входящий в эту формулу матричный коэффициент сглаживания имеет вид0Ψ00ОО•.(9.3.39)ОВектор ошибок экстраполяции равен(9.3.40)К-и*э) =С учетом выражений (36) и (40), а также имея в виду, чтоψ ΐ Ι (n) Wu(n)'UnΨ2Ι («) Wu(n) Iполучим окончательно:' пэ f -Ь- 6 +А ΔΒР« — Р п э - г Р'В -ьРпэ-Г^Δ?B0rtΛ^θел *""7*0358(9.3.41)Система уравнений (41) определяет оптимальный алгоритм сглаживания параметров баллистической траектории в сферической системе координат с началом в точке расположения РЛС.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
