Кузьмин С.З. Основы теории цифровой обработки радиолокационной информации (1974) (1186213), страница 61
Текст из файла (страница 61)
2 w 0 p = | 5 в виде» ( ξ ι , Si. I», h. Ы =X exp —б12ι К I(Б^1.3.16)^где Kpq — алгебраическое дополнение элемента, стоящего на пересечении р-йстроки и <?-го столбца корреляционной матрицы системы случайных величинlit •••. Is; I К I — определитель этой матрицы; | р , | ? —средние значения случайных величин.Корреляционная матрица в нашем случае имеет вид0К=*130ft»0000*330000*м0(8.3.17)0ft»Значения компонент-корреляционной матрицы (17) находятся по формулам13]:•e=S = 02δft.4.1=|г*.О4б х"'(8.3.18)5)JL R (0, s)as2ГТЯ(О,s »Оs-0Зс-о%.315Определитель матрицы К равенНеобходимые в дальнейшем алгебраические дополнения элементов матрицьК равныс8с'с*С учетом (16), (19 ) и (20) двойной интеграл в выражении для w (z) запнсы.вается в видео о= (7SFW ί JПроизведем замену переменныхТогдаЛ"где о » К\%1гдеПосле подстановки новых переменных получимК|) а ехр(~^)° СГдал J J— DO316— 00Вычисление двойного интеграла даетг2 Гехр{—Уп Jгде Ф(г)=-т=гОПосле вычисления и подстановки коэффициентов а, Ь, | К | , Кц получим окончательноtfexp(—xl)_φί-1—(8.3.21)Найдем теперь среднее число максимумов на единицу площади строба.
Дляэтого вместо интегрирования выражения (21) по г, выполнить которое затруднительно, воспользуемся только что изложенной методикой.Очевидно, если не фиксировать амплитуду максимумов, то исходной системойслучайных вели-чин для определения числа максимумов будет 2 W r Σ ^ , Σ^βи Sjypg. Обозначая закон распределения этой системы через w ( Σ ^ τ , S W T t , Σ^β,'Σ^ρρ) и произведя интегрирование по 2Νττ Η Σ ^ , получаем выражение длясреднего числа максимумов, приходящихся на единицу площади строба, в видеN=(8-3.22), 0,— 00—00Оставляя неизменными ранее-аведенные обозначения для переменных и имеяв виду, что все они подчинены нормальному распределению с математическимиожиданиями, равными нулю, запишем совместную плотность распределенияв виде(о.ь. о; Ь ) - :(8.3.23)где I К* I — определитель корреляционной матрицыК'0Θ0ftsa00*«0000ь*0Окончательная формула для вычисленияЪпределителя | К ' 1 имеет видК'с*4К) -(8.3.24)317Необходимые для расчетов алгебраические дополнения равны/(«•—'Зс*К8»J6S*6J"'Зс*(8.3.25)Интеграл (22) записывается теперь в видеtf-оГ!(2п)*УТГГ JоГJс' у Р Г _ *»•L>;2|К'|53;(8.3.2б)21 K'l21K'l *• *• I *•2|K'|ιυ(χψ)0,5-3-2Рис.
8.3. Плотность распределения^ амплитуд максимумовполя отношения правдоподобия.Произведем замену переменных2|К'|6 | β"'2|К'|/Тогдагдеβ з Кь ьПодставляя эти выражения в (26) и интегрируя ( получаемI _ J _ f arctg6 IС учетом численных значений j К' \, K'ss, Kie и b окончательное выражениедля среднего числа максимумов, приходящихся на единицу площади строба,записывается в видеN =»2с/(2л)а Ь% б- •318(8.3.27)Теперь можно записать-выражение для плотности распределения амплитудмаксимумов. Для этого, разделив (21) на (27), получим& *ι=J—exp(— χ\)χτ=Путем непосредственного построения можно показать (рис'. 8.3), что выражение (28) хорошо апрроксимируется гауссовой кривой (пунктирная кривая нарис. 8.3), записываемой в виде1»(*) = — =fехр -Г ( л , + .«)Г1 .—.(8.2.29)Обозначим в последнем выражениииоы}2=аг.Тогда аппроксимированная плотность распределения амплитуд максимумовокончательно записывается в виде2σ?(8.3.30)Так как г1 > 0, то при расчетах необходимо использовать усеченный нормальный закон.8,4.
Статистические характеристики положения максимумовполя отношения правдоподобияКроме сигнального признака при обнаружении и селекции отметок в стробемогут быть также использованы признаки, характеризующие отклонения максимумов отношения правдоподобия или, что то же, максимумов взвешенной суммы квантованных сигналов от центра строба или от другой его выбранной точки(например, левого нижнего угла строба). Как уже отмечалось в гл.
6, статистические характеристики этих отклонений различны для максимумов в областисигнала и помехи, что и позволяет использовать этот признак при обнаружениии селекции полезных сигналов.В данном параграфе рассматриваются статистические характеристики положения максимумов взвешенных сумм относительно центра строба в области сигнала и помехи. При этом эффекты искажения поля отношения правдоподобияна краях строба не учитываются.8,4.1.
Распределение отклонений максимумов в области сигналаот центра стробаЦентр строба сопровоження совпадает с экстраполированной точкой. Поэтому отклонение сигнальной отметки от центра строба определяется суммарными(случайными и динамическими) ошибками экстраполяции и ошибками оценкикоординат цели по максимуму взвешенной суммы квантованных сигналов.Рассмотрим статистические характеристики отклонений максимумов взвешенных сумм от центра строба. Выберем начало координат в центре строба и направим ось у по направлению «РЛС — цель», а ось х — по направлению вращения319антенны. Составляющие отклонения максимума от центра строба будем обозначать Ajtj. и Δί/Σ.
При выбранном направлении осей координат отклонения Д с *и Д с у, обусловленные случайными ошибками оценки координат, являются независимыми и равны соответственноДс(/ = Дг,ДСД;=где г — дальность до цели; Дг, Δβ — случайные ошибки оценки дальности и азимута соответственно.Будем считать, что динамические ошибки измерения имеют независимыесоставляющие по осям е н f, первая из которых совпадает с горизонтальнойпроекцией вектора скорости цели, а вторая — перпендикулярнаэтому направлению. Направление вектора скорости цели образует с направлением «РЛС —цель» угол q (курсовой угол).Проекции динамических ошибок на оси х к у равны (рис.
8.4)Ad* = Де cos q + Δ^ sin qt= — Δί" sin q -\-&l cos q.fСуммарные отклоненияосям X и Y равныпо7Рис. 8.4. Распределение отклонений истинных отметок от центра строба.а дисперсииэтих отклоненийпредставляются выражениями- cos3«7 + о ] s i n 2 ? ,2cos q.Если, кроме того, учесть, что положение экстраполированной точки вычисляется с ошибками, дисперсии которых равны ох9 и ауз, то общее отклонениемаксимума от экстраполированной точки характеризуется дисперсиями2σΐ=σ χΣ(8.4.1),2>уъЗаконы распределения случайных и динамических ошибок будем считатьнормальными.
Тогда отклонения максимумов от центра строба на' плоскости (X,У) образуют систему случайных величин с плотностью вероятностиw(x, у) =12пахау уX \2i-—2кХугдеkxy -^320М {ху)схр—X(8.4.2)Для перехода к независимым случайным величинам ς и η необходимо произвести линейное преобразование случайных величин хну (см. также §6-5):£ = * c o s a-j-i/ sin a,η = — χ sin α + ί/ cos a,Ox +Oy= ' γ [σί + ol + У {al ~olyf + 4/слг/ σί aj],В этом случае плотность вероятности системы случайных величин (ξ, η) записывается в виде:2г. 2Пользуясь обычным приемом нахождения законов распределения функцийслучайных величин, можно получить плотность вероятности модуля случайногорадиуса-вектораЭта плотность вероятности имеет видехр(8.4,3)—Если перейти к нормированным случайным величинам | ' = ξ/σ*, η ' =то получимчто соответствует круговому распределению системы величин (|'η') на плоскости.Плотность распределения нормированного радиусг!-векторав этом случае будет равнаРб-2 1ГЛегко показать, что для квадрата нормированного отклонения максимумавзвешенной суммы в области сигнала от центра строба справедлив экспоненциальный закон(8.4.5)И Зак.
t J 4'3218.4.2. Распределение отклонений ближайшего к центрустроба максимума в области помехиДля однородного случайного поля положение случайной точки А (|, η),соответствующей максимуму взвешенной суммы, равновероятно в любом местестроба. Если строб эллиптический с параметром Я, то плотность распределениясистемы случайных величин I, η имеет видпХапри 1г/о\ + у\2/а^<к^,Для системы нормированных случайных величин ξ' = ξ/σ* и η' = η/σ ηплотность вероятности будет равномерной внутри круга радиуса Я, т.
е.1/яЯ3Опри ρί,2 = ξ ' Ϊ + η ' Ϊ < Я 2 ,при р^ 2 > Я 2 .(8,4.6)Модуль нормированного случайного расстояния максимума от центра строба распределен в этом случае по линейному закону видаО,В стробе возможно появление нескольких ложных максимумов. Будем считать, что число ложных максимумов в стробе подчинено закону Пуассона;Рп (ΝSCTp)=~—у£— ехр( — NScTp).(8.4.8)где N определяется формулой (3.27).
Такое допущение не приводит к грубымошибкам, по крайней мере, при высоких относительных порогах двоичного квантования входных сигналов (х1 > 2).Найдем закон распределения отклонения ближайшего к центру строба ложного максимума при наличии в стробе нескольких таких максимумов. Выделимв приведенном круговом стробе с радиусом λ кольцо Дг на расстоянии rN от егоцентра. Вероятность того, что в это кольцо попадет ложный максимум и он будетближайшим к центру строба, определяется выражениемw (rN)&r= — j ^ - A r { p I ( N S C T P ) + 2 P 2 ( N S C T p ) xВ этом выраженииг!; = hP | (N S C T p ) определяется формулой (8).322(8.4.10)Прдстйвляя в" ф) значений СоставляюЩик, вычисленные по формулам (8)и (10), получаемСумма, в фигурных скобках представляет собой разложение в степенной ряд.экспоненциальной функции, а именно:С учетом этого, после упрощений, получимw (rll])Ar= 2nHrN exp [_NnrJ] Дг .Обозначаяполучаем окончательно выражение для плотности вероятностиыТаким образом, случайное расстояние до ближайшего к центру строба ложного максимума описывается законом Релея, а квадрат этого расстояния —экспоненциальным законом8.5.
Обнаружение и селекция одиночной отметкиот цели в двумерном стробе.Задача обнаружения и селекции одиночной цели в стробе на основании информации, заключенной в максимумах поля отношения правдоподобия, ставится следующим образом. Заведомо известно, чтов стробе сопровождения одна цель. Получено m максимумов поля отношения правдоподобия. Требуется установить, какой именно из них(или вовсе нн одного) принадлежит к сопровождаемой цели. Остальныемаксимумы отбрасываются как ложные. В качестве входных данных,на основе которых принимается решение, используются амплитудымаксимумов (Xt) и их координаты (£i( %) относительно центра строба.Входные данные путем описанных выше преобразований (и с уче*том сделанных допущений) сводятся к системе независимых нормаль*но распределенных случайных величин. Поэтому функция правдоподоII*323бия для амплитуд и координат максимумов при условии, что каждыйиз них принадлежит сопровождаемой цели, записывается в видеXexp—2σ5( = 1,2, ....
m.Ч(8.5.1)В соответствии с методом максимального правдоподобия в процессе принятия решения необходимо, во-первых, отобрать максимум(i = ί*), для которого функция правдоподобия (1) имеет наибольшеезначение, а во-вторых, сравнить это значение с порогом, выбираемымисходя из допустимой вероятности ошибочных решений.Логарифмируя (I), получаемн„( 2)- Таким образом, задача отбора (селекции) состоит в выборе такогомаксимума, для которого квадратичная форма Qt имеет минимум, т. е.— minr ^ l + jL + Ji-l ,2(8.5.3)где i* — номер отобранного максимума.'Алгоритм селекции по минимуму квадратичной формы (3) основанна одновременном учете всех доступных наблюдению параметров поляотношения правдоподобия (амплитуд и координат максимумов) и поэтому является оптимальным для рассматриваемого случая обработкиквантованных сигналов на выходе детектора огибающей. Для его реализации необходимо в каждом обзоре производить оценку среднегозначения и дисперсии взвешенной суммы в области сигнала, а такжедисперсии отклонения максимумов от центра строба.На практике иногда применяются упрощенные алгоритмы селекнии, основанные на использовании одного из указанных выше параметров, К таким алгоритмам относятся:— алгоритм селекции по максимуму амплитуды взвешеннойсуммы,• —алгоритм селекции по минимуму отклонения взвешенной суммы от среднего значения этой суммы в области сигнала,— алгоритм селекции по минимальному расстоянию максимумавзвешенной суммы от центра строба (см.
§ 6.5).Упрощения алгоритма селекции естественно приводят к ухудшениюкачества селекции полезных сигналов по сравнению с оптимальнымалгоритмом. Важной задачей теории является оценка потерь качествапри упрощении алгоритма селекции и выбор на этой основе наиболееподходящего для каждого конкретного случая алгоритма. В данномпараграфе производится анализ оптимального и упрощенных алгоритмов обнаружения и селекции отметок в стробе.3248.5.1. Качественные характеристики оптимального алгоритмаобнаружения и селекцииКачество оптимального алгоритма обнаружения и селекции одиночной цели в стробе характеризуется следующими показателями:1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
