Кузьмин С.З. Основы теории цифровой обработки радиолокационной информации (1974) (1186213), страница 60
Текст из файла (страница 60)
5). Вероятность получения некоторой фиксированнойкомбинации единиц и нулей в пределах строба за счет помехи равнаР^Л) 1 -*".1(8.2.1)иАналогично, в области сигналаPs = n t P s ( U i l W o ) ] X i ' [ l - P s ( i \ / | i 0 . /о>]'~Хi~\tn,(8.2.2)] = \,т,где ры (i,j) — вероятность получения единицы на выходе схемы квантования по амплитуде за счет помехи в ячейке (t, /);ps 0'» Л*о» /о) — условная вероятность получения единицы на выходесхемы квантования в области сигнала в ячейке (i, j), при условии, чтомаксимум огибающей сигнала находится в ячейке (t 0 , / 0 );10при χι}<χι,хх — порог двоичного квантования; Хц = 1}ц1оц — нормированнаяамплитуда суммарного сигнала на входе схемы квантования; п, т —линейные размеры строба.Запишем выражение для логарифма отношения правдоподобияв видеPsf/ У|t0 /0)' - : Гίлgsгдеl[l9N (ί.
i) = — PN {^ /); <?s ('« /1 o> /o) = * — Ps ('• /1 iof /o)Отбрасывая в (З) второе слагаемое, которое является константойи может быть учтено при выборе порогов, получаемгде308. — набор весовых коэффициентов, с которыми суммируются квантован-,ные сигналы (нули и единицы) в ячейках строба при образовании логарифма отношения правдоподобия.Таким образом, процедура образования логарифма отношения правдоподобия сводится к образованию взвешенной суммы квантованныхсигналов в каждой элементарной ячейке внутри строба.
Рельеф отношения правдоподобия представляет собой случайную функцию двухпеременных, т. е. случайное поле. В области помехи это поле будетоднородным, а в области сигнала — неоднородным.Конкретный вид дискретной' последовательности значений η (ί,' /1iт'о- /о)» — 1» > / =• 1ι я (в Дальнейшем эту последовательность будемназывать весовой функцией) зависитот модели . обрабатываемых сигналов ипомех.Примем, что огибающая отраженногосигнала имеет вид плотности двумерного нормального распределения в системе координат τ, β. Тогда ожидаемоезначение отношения сигнала к помехе вкаждой ячейке строба записывается в 0,8видеXаи = а0 ехрX ехр—4 г/—/о)ао(8.2.5)'Z3.*'Рис. 8.2. Зависимость коэффициента А и с от порога xi.где σ 0 — отношение сигнала к помехе в точке максимума сигнала:δτ. δρ — половина ширины сигнала по координатам τ и β на уровнеехр { — 1/2); Дх, Др — интервалы дискретизации сигнала по τ и β.Для реализации выборок примем модель нефлюктуирующего сигнала в узкополосных помехах, огибающая которого описывается обобщенным законом Релея.
ТогдаМм) =(8.2.6)(8.2.7)Кроме того, аппроксимируем функцию (6) для р$ (I, j) выражением**[I-1,(8.2.8)где k, с — коэффициенты, зависящие от порога амплитудного квантования.•> Аппроксимация предложена В. Е. Ярушеком в неопубликованной работе309Зависимость коэффициентов k и с от порога хг приведена на рис. 8.2.Аппроксимирующая функция (8) отличается от исходной (6) на несколько процентов.С учетом (8) выражение для двумерной весовой функции (4 а) имеетвидсхп[0(8.2.9)ехррLВ дальнейшем постоянный множитель 2, 3 ka% в выражении (9)полагается равным единице.8.3. Статистические характеристики амплитудполя отношения правдоподобияДля анализа характеристик оптимального алгоритма обнаружения двумерной совокупности квантованных сигналов необходимо знать статистические ха*рактеристики поля отношения правдоподобия. Строгий расчет распределениявероятностей значений взвешенной суммы в области сигнала и помехи при линейном накоплении квантованных сигналов сопряжен с непреодолимыми вычислительными трудностями.
Однако, учитывая, что при накоплении с двумернойвесовой функцией число суммируемых дискретных выборочных значений приобразовании поля отношения правдоподобия, как правило, велико, можно с достаточной надежностью принять гипотезу о нормальном распределении взвешенных сумм как в области сигнала, так и области помехи.Ниже рассчитываются параметры нормального закона распределения амплитуд взвешенных сумм в области сигнала и помехи при использовании весовойфункции (2.9).8.3.1. Параметры распределения взвешенной суммыв области сигналаСреднее значение взвешенной суммы в области сигнала при условии, чтомаксимум весовой функции совпадает с центром тяжести сигнала, определяетсяво формуле25 = Σ ρ 5 ( ί ί / ) η ( ΐ , / / ί ό , / 1 > ) .(8.3.Ι)Подставляя в (1) выражение (2.8) для ps и выражение (2.9) для η (ί, /7t0, / 0 ),полагая τ 0 = 0, β 0 = 0 и заменяя суммирование по / / интегрированием в беско*нечных пределах («центр тяжести» сигнала предполагается удаленным от краевстроба на расстояние, не меньшее, чем ширина весовой функции по каждой координате), получаем12sS Δ.Δ•• fia— <X> —COcгде / = 2,3ka 0.310i+/exp+^H- bfi" i)]lПереходя к полярной системе координат (ρ, φ) и производя замену переменных по формулам:τδ ρ pdp,получаемV „2exp[—cp a ]ptip4 π 66ττ ^ β ГτΔβ JПроизводя далее замену переменных /.
ехр [—ср2] = ξ и интегрируя, получаем окончательно•^••Sгде,8.3.2,СI•iДисперсия взвешенной суммы при наличии сигнала равна(3.3.3)Переходя к интегрированию в полярных координатах, при т = 0 и β = 0получаем4πδτδβГ ехр ( _ 2 c p s J — ехр [ - / е х р ( ' - с р 2 ) ] pdp4.Д.После замены переменных I = ^ехр (—ср*) выражение примет видf2fПроизводя новую замену переменных х = ехр (- ξ) и интегрируя, получаемокончательноКак уже отмечалось, распределение вероятности взвешенной суммы в областисигнала принимается нормальным. При этом, однако, необходимо учитывать, чтосумма Σs принимает только положительные значения, так что нормальный законявляется усеченным в точке Σs = 0 и соответствующая плотность вероятностиимеет видшΥ2πσ£(8.3.&)О,311где Is и σ ! определяются выражениями (2) и (4) соответственно;- L + Фо(8.3.6)в свою очередьМатематическое ожидание для усеченного нормального закона равно [5]i £ .(8.3.7)гдеа дисперсия(8.3.8)8.3.2.
Параметры закона распределения взвешенной суммыв области помехиСреднее значение взвешенной суммы в области помехи определяется выражением,/) η (/,,,/о).Переходя от суммирования к интегрированию, получаемJ•2π(8.3.9)Корреляционная функция взвешенной суммы в области помехи определяетсявыражениемR (r, s) = 2 Σ xlJlL, η (τ/, β,) η (τ -г, βν—*) —где обозначеноТак какX/jX,312Pbпри l фу, }φν,PNпри i — v . /="V,то последнее выражение можно представить в видеR (г, s) =$PΣηί^ί, βί) η(τί—г, β,—s) — (ΣΝ)цПереходя от суммирования к интегрированию, получаемR(r,s)'NQN00ООГГГС{1—c ( t - TQ) + c(t — 1320— Г) '—.tfO —i»Интегрирование дает^w T p P^Гcf55f J P [ — 5 | J *(8.3.10)Дисперсия взвешенной суммы в области помехи^(8.3.11)Таким образом, плотность распределения взвешенной суммы в области помехи записывается в виде_л σ//exp(8.3.12)0,где ΣΝ и of] — параметры, определяемые из выражений (9) и (И) соответственно.Значения Аг, Х^ и σ^* рассчитываются так же, как A, 2s, osz [см.
(6), (7)и (8)].8.3.3. Плотность распределения амплитуд ложныхмаксимумов в стробеРазмеры строба сопровождения выбираются из условия обеспечения близкой к единице вероятности попадания в него отраженного от сопровождаемойцели сигнала с учетом случайных и динамических ошибок экстраполяции. Этиразмеры получаются достаточно большими, так что в стробе возможно образование нескольких ложных максимумов взвешенных сумм. При решении задач селекции сигналов в стробе необходимо знать закон распределения амплитуд ложных максимумов.
Получим этот закон..Обозначив значение взвешенной суммы в точке с координатами х, β через2JV (τ, β)* 1 , найдем вероятность получения максимума, заключенного в пределахV 2дг (τ, β) в дальнейшем считается непрерывно ^'функцией своих аргументов.313от г — Az до г в данной точке внутри строба. Условия наличия такого максимумаследующие [3]:а 2 „ (χ, Р)δΣΝ (τ, β)(τ, β)=>0;Э»1„ (τ, β)δ*ΣΝ(τ, f»<0;<0>w—ψ—< 0*С учетом того, что при малых приращениях аргумента непрерывной функции ее производная меняется по линейному закону, так что, β) « 2 Ν , ( τ , β Ι + Σ ^ , (τ, β)Δτ.^ ( τ , β ) + % ρ ( τ , β)Δβ,pгдеΣΝτ=δΣΝ (τ, β)/θτ;2Nt = d2N (τ,;Zm= 3*2N (τ.вероятность наличия в элементарном участке (τ + Δτ, β + Δβ) максимума, величина которого заключена в интервале (г — Δζ, г), запишем в виде<г;0 < Σ ^ τ < -Σ^ττΔτ;0 < 2wp< - Σ^Δβ}.Обозначим многомерный закон распределения величин 2д-, 2 W x , 2 W T T , Σ ^ 0 (Σ^ρρ через ui (Σ^, Σ ^ , Σ ^ ^ , Σ^ρ, Σ ^ β ) .
Тогда вероятность АР (г, τ, β), того,что максимум будет находиться в элементарном параллелепипеде <Δζ, Δτ, Δβ),равнаоΔ/>(ζ, τ, β)=\\2— Дго,— •— ооX άΣιι άΣ0άΣ— ооάΣ α &Σ an(8 3 131Первый, второй и четвертый интегралы могут быть взяты сразу, так как интегрирование производится в бесконечно малых интервалах. Произведя интегрирование, получимо *оАР {г, т, β ) = Δ ζ Δ τ Δ β \\w(z, 0, ΣΝχτ> 0, Σ^ρ,) X— оо — ооX 22 о» άΣάΣ(8.3.14)Вероятность АР (г, τ, β) совпадает со средним числом максимумов, заклю*ченных в интервале (г — Δ2, г), приходящихся на элементарную площадку ΔτΔβ.Поэтому, поделив выражение (14) на ΔΐΔβ, получим среднее число максимумовв интервале (г, ζ — Δζ) на единицу площади строба.Я(г, τ, β)!=;ΔζоξоJ и (г,* О, Σ ^ , 0,00 — 00Учитывая, далее, что для стационарного случайного процесса среднее числомаксимумов не зависит от выбора τ и β [т. е.
л (г, τ, β) => п (г)) и, кроме того,314амплитуды максимумов имеют только положительные значения, получаем пол*ное среднее число максимумов, независимо от их величины в виде. 0.Плотность вероятности для максимумов определяется из выраженияα>(ζ)=ί(ζ)/Ν.(8.3.15)Поскольку TN (τ, β) нормальное и однородное случайное поле, то и ΣΝ%>^Ντν ^wp- ^jvpf) также будут подчинены нормальному закону с математическиможиданием, равным нулю.Запишем многомерную нормальную плотность распределения случайных величин Σ^ = 11,ΣΝχ = 1ζ, ΣΝττ=13,Σ Ν β = ξ 4 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
