Кузьмин С.З. Основы теории цифровой обработки радиолокационной информации (1974) (1186213), страница 65
Текст из файла (страница 65)
Θ(-ι).(9.2.12)Нас в конечном счете интересует апостериорная плотность вероятности дляпоследнего значения Qn+i ненаблюдаемой компоненты, которая обозначаетсяи> (Θπ+ι | Уп+ι). В общем случае для получения этой плотности вероятности необходимо проинтегрировать совместную плотность (12) по всем значениям остальных (BjЬп) переменных. В нашем случае переменные принимают толькодва возможных значения. Поэтому интегрирование заменяется суммированием.342На основе формулы (11) для w (Θη ] уп) можно записать1/I.'11\V>ϊ'ι-0η'Х^/ А \...7W (tfi Θι) XΘη-ι = 0П tt-(i/i, 0 ( | у | _ 1 ( 0/-ι);X(9.2.13)ί- 2Аналогично на основе формулы (12) записывается апостериорная плотностьдля Θ η + ι по данным п + 1 измерения yn+i:••• 2 " k i . Oi)Xπ+1X П w{yt, ti\yi~u Θ/-ι).(9.2.14)ί-2Или с учетом (13) получим1\ У.
w{bn\yn)w(yn-i-i, ЬΘ ^ 0Длярасчетаw (yn)Iw (Уп+ι) воспользуемсяследующимсоотношениемIОткуда получаем.11^ 2 Σw(yn+l)С учетом последнего выражения получаем окончательно12 «(Onli'nJwiyn+i. Ьп+1\Уп. Ьп)ί2έη+ι™Σ0;*(^1»|Уп)*(Уп+1. ®η+ι\ Уп, Θη)βη-0• (9.2.15)Полученное соотношение позволяет оценить апостериорную плотность вероятности для ненаблюдаемой компоненты двумерного условного марковскогопроцесса.
В случае, "когда ненаблюдаемая компонента имеет не два, а большеечисло состояний, соотношение (15) остается в силе, но сумма будет не по двум,а по всем возможным состояниям. Значение w ($п\Уп) можно использовать приуправленни процессоы обработки наблюдаемой компоненты на основе принятия343решения о наличии скачка параметра. Для этого на каждом шаге апостериорнаяплотность вероятности w ($п = 1/уп) сравнивается с порогом % (О < X < 1).При w (&п = 1/уп) < X можно принять гипотезу об отсутствии скачка параметраи сглаживать результаты измерений в соответствии с этой гипотезой.
При w (Θη ==• УУп) > % гипотеза об отсутствии скачка отвергается и сглаживание осуществляется иначе.Порог X можно подобрать при моделировании на ЦВМ, если задатьсядопустимой вероятностью ложного обнаружения скачка.9.3. Оптимальное последовательное сглаживаниепараметров невозмущенной детерминированной траекторииПустьнаблюдаемаяслучайнаяпоследовательностьимеет видгде Uf — /-мерный вектор наблюдаемых координат; Ф( - (s X ^-мерный вектор оцениваемых параметров траектории; Н — матрица размерности (/ х s), устанавливающая однозначное соответствие междуоцениваемыми параметрами и измеряемыми координатами; Ди г —/-мерный вектор ошибок измерения координат; последовательностьэтих векторов предполагается некоррелированной случайной последовательностью с математическим ожиданием, равным нулю, и известной корреляционной матрицей.Предполагается также, что между предыдущими и последующимизначениями параметров имеется однозначная связь, так что значениепараметров в двух соседних обзорах связаны соотношениемгде F — матрица, размерности $ х s.Задача состоит в получении рекуррентных выражений для сглаженных значений параметров.
В данном параграфе эта задача решается сначала в общем виде, а затем для конкретных моделей траекторий.9.3.1. Формульная схема оптимального алгоритма .последовательного сглаживания векторного параметраВ соответствии с общей теорией фильтрации, наилучший путь решения задачи последовательного сглаживания состоит в определенииапостериорной вероятности фильтруемых параметров, так как онасодержит всю информацию, полученную из априорных источников ирезультатов измерений.
Зная апостериорную плотность вероятности,можно получить различные оценки интересующих нас параметров,в том числе оценки, соответствующие максимуму функции апостериорной плотности. Последние, как известно, называются оценками, оптимальными по критерию максимума апостериорной вероятности. Именно в этом смысле и понимается оптимальная фильтрация в дальней344шем. Рассмотрим в общем виде задачу последовательного сглаживаниявектора параметров траектории движения цели. При полиномиальном представлении траектории составляющими этого вектора являются: координаты, скорости изменения координат, ускорения по координатам и т. д.Вектор сглаженных параметров будем обозначать через $п с индексом п, указывающим время его привязки tn.
Порядок расположения составляющих вектора не оговаривается. Одновременно .с последовательным уточнением вектора оцениваемых параметров будемформировать также последовательно корреляционную матрицу ошибок оценки этих параметров. Матрица ψη определяет точностныехарактеристики сглаженных параметров на момент времени /„ иимеет размерность s X s.Итак, пусть получено (имеется) сглаженное, значение $n_x вектора параметров &n_L траектории цели по результатам п — 1 предыдущих измерений ее координат. Распределение вектора d n _ r принимается нормальным с математическим ожиданием д п _ х и корреляционной матрицей Ψ η -!.Вектор параметров £„_! экстраполируется на момент следующего(/1-го) измерения. Экстраполированное значение вектора параметровполучается в соответствии с соотношением(9,3.1)" п э — **э -"л-1>где F 8 — известный оператор экстраполяции параметров.
Конкретный вид оператора F e определяется моделью траектории цели.Пусть, например, вектор оцениваемых параметров траекториив момент времени ίη_! имеет видifчто соответствует представлению отдельно взятой координаты дальности в виде полинома второй .степени.Б этом случае оператор экстраполяции параметров на времят э = (*а — 1η-ι) имеет видр1э—О 1О01а Выражение (1) записывается в виде1τЛ»О010тэ!''n-l345Корреляционная матрица Ψη-ι ошибок оценки параметров п<?результатам (п — 1) измерений также пересчитывается (экстраполируется) на момент следующего измерения, т. е. на время тэ.Матричный оператор пересчета корреляционной матрицы ошибокоценки параметров к моменту времени очередного измерения координат обычно совпадает с оператором Р э . Однако в некоторых, практически важных случаях этот оператор может отличаться от Fa(см.
п. 9.3.5), поэтому для него вводится обозначение Ф.Матрица-ошибок оценки экстраполированных параметров вычисляется следующим образом. В соответствии с формулой (1) для вектора ошибок экстраполяции параметров в η-м обзоре можно записатьПо определению,где М — знак математического ожидания.Имея в виду, чтополучаемЗаменяяполучаем окончательноφτ.(9.3.2)С учетом допущения о линейности оператора экстраполяции, законраспределения вектора экстраполированных параметров будет нормальным.
В векторно-матричной форме соответствующая плотностьвероятности записывается так:w(9.3.3)где fr,, — вектор истинных значений параметров в момент tn- Плотность вероятности (3) является априорной плотностью вероятностидля вектора оцениваемых параметров перед очередным (п-м) измерением.В момент времени tn производится очередное измерение координатцели. Вектор измеренных значений координат обозначается через.U n . В общем случае трехкоординатной РЛС Un = II r n , р д , ε η II т .Предполагается, что ошибки измерения координат подчинены нормальному закону распределения и некоррелированы в смежных обзорах.
Поэтому условная плотность вероятности выборки измеренныхзначений координат имеет вид(U, | К) = Сгехр [--1- ( U a - тпу Ξ-ι (U, - Н#п)]],346(9.3.4)где Ξ" 1 — обратная корреляционная матрица ошибок измерения,которая вследствие независимости измеряемых координат имеет видОООО0О1/σ!Н — линейный оператор соответствия оцениваемых параметров иизмеряемых координат.'Например, если измеряются координаты гп, β η и еп, а оцени&аютсяпараметры rn, rnt β η , β η , еп, еП1 то оператор Н имеет вид прямоугольной матрицы порядка 3 x 6 :ггп п Рп Рп ε ηепгп | 1 О О О О ОН = β η 10 0 1 О О Ое„ Ι θ0001 -ОПроизведение Н # п в формуле (4) представляет собой вектор истинных значений измеряемых координат в момент времени /„.Вследствие отсутствия (в соответствии с допущением 2 § 9.1) междуобзорной корреляции ошибок измерения апостериорное распределение для вектора оценок параметров после п-то измерения координатопределяется по формуле Байесаw(*α I u n) = C 3 ш (Ьпэ) w (Un | d n ),(9.3.5)где. С 3 — нормирующий множитель, определяющий масштаб кривой^(^nl^n) таким образом, чтобы площадь под этой.кривой была равнаединице.Вследствие нормальности составляющих распределений апостериорное распределение (5) является нормальным.
Соответствующая плотность вероятности записывается в видеttJi(9.3.6)где θ-π — вектор сглаженных параметров по результатам п измеренийкоординат; Ψη — матрица ошибок оценки сглаженных параметров.Для нормального распределения max w (b\Vn) совпадает с математическим ожиданием вектора оцениваемых параметров. Следовательно, задача оценки параметров по максимуму апостернорной вероятности сводится в нашем случае к нахождению параметров У>п и Ψη в выражении (6).347Используя выражения (3), (4) и (б) для плотностей вероятности,входящих в формулу (5), после логарифмирования получаем(9.3.7)Последнее уравнение является исходным для нахождения вектора # п и матрицы Ψ η .Так, выделение членов, представляющих собой квадратичные формы для вектора Ьп, дает^ Ψ π ~ Ч п = $* Ψ7 9 ' θ η + д * Н т Ξ " ' Н д п .Из этого уравнения получаем^^^Ή(9.3.8)Громоздкие операции по обращению матриц в выражении (8) приводят к следующему окончательному результату [б]:Ψ^Ψ^-Ψ^ΗΜΗΨ^Η^ΗΓ^Ψ^.(9-3-9)Сравнивая в уравнении (7) квадратичные формы, содержащиед т слева, получаемИз этого уравнения находимПосле элементарных преобразований с учетом выражений (1) и (8)получаем окончательно•„«ftna + V n ^ S - ' i U n - H * , , ] .
•(9.3.10).В соответствии с выражением (10) вектор сглаженных значенийпараметров по результатам п измерений координат получается каксумма вектора экстраполированных на момент п-го измерения параметров и взвешенного с некоторым коэффициентом сглаживания рассогласования между измеренными и экстраполированными значениямикоординат. Ниже основные соотношения оптимального алгоритма последовательного сглаживания параметров траектории записаны в порядке выполнения операций:2)ΨΜ3)ΨηT4)dn « 0ПЭ+ T n H H - ' ( U n - U J ,• (9.3.11)где U n 8 — вектор экстраполированных значений координат.В зарубежной литературе система уравнений (11) часто называетсяуравнениями фильтра Калмана [8, 91.3489,3.2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
