Кузьмин С.З. Основы теории цифровой обработки радиолокационной информации (1974) (1186213), страница 45
Текст из файла (страница 45)
е.0/1 ='I при / = //,JOпри ΙφΙ.•Воспользуемся для нахождения вектора оценок & выражением (8), определяющим непосредственную связь оценок и результатов измерения. Матрица Вв нашем случае имеет вид111 ••Wi00wa-f12О О2ηΣ(«1w τ' ?ί-1ΣОпределитель этой матрицы равен1 'η4ηVητΣ *ί ί2I»!а алгебраические дополнения Ktj определяются по формулам*„-•-!-'?/ I'ίβ.1? - 2 wiτ? Σ1'Г «f*ПΣ2Таким образом, обращенная матрица В" 1 имеет видл 2аЛи(6.3.31)Лаа Лее IЗаметим, что в соответствие с формулой (17) матрица В" 1 представляет собойкорреляционную матрицу ^ошибок оценки параметров. Следовательно, матрица(31) является корреляционной матрицей ошибок оценки параметров траектории,задаваемой полиномом второй степени.
Более подробный анализ этой матрицыбудет проведен в дальнейшем. Входящее в выражение (8) матрично-векторноепроизведение F = А т г ' в нашем случае записывается в виде111(6.3.32)ж?Тτ212222W n r,тΣПодставляя теперь (31) и (32) в уравнение (8), получим формулу для оценкивектора параметров в видеIB1к1КмКцIИз зтой формулы получаемВ |,+ /С88(6.3.33)ВI.Формулы (33) определяют оценки параметров в общем виде.Допустим теперь, что измерения производятся равноднскретно, т.
е.Дополнительно к обозначениям (22) для / п , ^ П .обозначениявведем также следующиеί-=1Тогда получим|В|-Г$/я/4,где / n =Тогда— ~~~TQ an, Ku^Ksi^ —~тТ% Yn.44— Kn^-T-Tl Ьп,Кгг~~Т* In,=/Cs2=— ~T T% *\п, К%% — Т\ κ,гдеα η = (hn en —dn),yn = {gn en — hn άη),бп = (8п dn—hn),η * = (fn dn — gn hn),ζη — (In en—hn),xn = (/„ hn —g*).Подставив эти значения в (33), получим для случая равнодискретных измерений:JПП2П/-'1л~*\п^JWi(n —• (6-3.34)223Корреляционная матрица ошибок оценки параметров имеет в'этом случаеследующий видα— ТГηУпζη(6.3.35)пЦ •Предположим теперь, что измерения координаты еще и равноточны, т. е.w. Тогда, наряду с выражениями (25), получим<.-, i (я-0.V\4П(П~ *) (2Я—OU(6.3.36)Искомые оценки параметров в этом случае можно представить в видегде я г (0, η - (/).
Л-(0 —дискретные весовые функции оценки координаты, скорости и ускорения соответственно.Формулы для расчета весовых функций имеют вид:-2/(4пл(л+1)(л+2)V (0г6,' 60287"о п ( л — 1) (л —4)Полученные формулы показывают, что в случае равнодискретных и равно**точных измерений, оптимальная оценка параметров траектории, представляемойполиномом второй степени, сводится к взвешенному суммированию измеренныхзначений координаты. Весовые коэффициенты являются функциями числа измерений л и порядкового номера измерения ( в обрабатываемой серии. Естественно,минимальное число измерений в серии в этом случае равно трем.При минимальном числе измерений (объеме выборки) параметры траекториивычисляются, по формулам-(V2-2/ 3 +3/ч/2)/Г 0 ,На рис.
6.8 представлены значения весовых, коэффициентов г\г (0.4. Из рисунка следует, что огибающие этих коэффициентов неη.. \i)T\ при л224являются линейными функциями. Однако, как и в случае линейной траектории,выполняются условия;ппп-Корреляционная матрица ошибок оценки параметров для рассматриваемого .случая равноточных н равно дискретных измерений получается из матрицы (35).при подстановке в формулы для / h . « n , γ η , 6nt ζη, цп и κ η соответствующих(i)19/20Хз/201/20ча\ 51/60!039/60\\\\1127/60-л]1-63/60бл мп;8'ВРис. 6.8. Весовые функции оценкикоординаты, скорости и ускоренияпри л = 4 .'tO nРис.
6.9. Элементы корреляционнойматрицы ошибок оценки параметровквадратичной траектории.этому случаю значений / n , gn-, ήη. <*п> «п. определяемых формулами (25) и (36).Результаты расчетов элементов корреляционной матрицы Ψ. получаются в анде3(3п»—Зп+2)л(л+1)(ЯV2,18 (2п— 1) 'Го(л+1)(п+2)п6012(2п-1)(6п-П)•8З а к .
614Г?(л«—4)(ft»—1) лг'225360720Например, при п = 3, корреляционная матрица ошибок оценки параметровимеет вид—3σ«/27*0Ψ(3) =На рис. 6.9 приведены графики изменения нормированных элементов корреляционной матрицы ошибок оценки параметров квадратичной траектории приувеличении п. Сравнение диагональных элементов этой матрицы, характеризующих точность оценки координаты и скорости с аналогичными элементами корреляционной матрицы ошибок оценки линейной траектории (см. рис.
6.7) показывает, что при небольших значениях п точность оценки параметров линейнойтраектории значительно больше, чем квадратичной. Этим доказывается тот факт,что на небольших участках наблюдения квадратичную траекторию более вы/одно представлять полиномом первой степени. При этом достигается значительный выигрыш в фильтрации случайных ошибок. Возникающие же из-за несоответствия гипотезы движения динамические ошибки вследствие малости аппроксимируемого участка траектории не имеют существенного значения.6.3.5. Оценка параметров полиномиальной траекториипри фиксированной выборке независимых измеренийкоординаты и скоростиПусть, как и прежде, траектория задается полиномом степени s, а наблюдаемый случайный процесс представляет собой последовательность независимыхизмерений координаты и скорости.
Ошибки измерения не коррелированы междусобой и распределены по нормальному закону с известными корреляционнымифункциями и равными нулю математическими ожиданиями.л-мерные векторы выборочных значений имеют вид (в транспонированномвиде)ТГ^ Ц /*ι Г 2 . . . Tfi |1,Г"Т" "ч= \> Г\ f~2 • " '"и || •Задача состоит в получении оценок для вектора параметров траекторииЪт = |! Θό Θχ ... Θβ || методом максимального правдоподобия.Вследствие независимости векторов выборочных значений, функция правдоподобия вектора оцениваемых параметров записывается в видеL (Ь) = с ехрI 2{Ar Τ NrЫГ A/" -f Дг N.гдеДгИ Г 1 —обратная корреляционная матрица ошибок измерения .координаты;tsj-ι —обратная корреляционная матрица ошибок измерения скорости.226Применяя обычную процедуру нахождения оценок методом максимальногоправдоподобия, получим векторное уравнение правдоподобия в следующем окончательном виде(6.3.37)T NTV-0,где.
АТ—^fr(».Далее, используя процедуру линеаризации системы уравнений правдоподобия, получим' •ΔΓ) = 0.Решение этой системы имеет вид71где(6.3.38)j-N-'A. = B r + B-— матрица, порядка (s -f 1) X (s + 1).Используя теперь обычное правило Ψ — М [Δ$ Δ frT], получим формулу длявычисления корреляционной матрицычошибок оценки параметров в следующемокончательном видеψ = С~* BrC-1 +C-* Br- C~l = C-i.(6.3.39)Для иллюстрации применения полученных формул рассмотрим случай оценки параметров линейной траектории г (t) = rn + гп (t — ίη) при одновременномравнодискретном измерении г; и rt через интервалы времени Г о .В этом случае•|Tr| T110N7' =00w...I27*,,Tli00r,10000l!0 0пТ0 iw..01 .1...0...0...wПодставляя эти матричные выражения в уравнение правдоподобия (37),после преобразования получим систему из двух уравнений./-I- rn —rn τ/) = 0,Л(=1Решая эту систему с применением введенных выше обозначений для / n .
Sn,и, Knt T i •* .—(я — i)Ta и дополнительно обозначая227получаем окончательные выражения для искомых оценок параметров.Σn(Won+ fnI\2 w ' r\fnДля случая равноточных измерений дальности и скорости, когда.fn = nw.,/л = i w r in(n— I) (2/1—1)бgn=wr,п(д—1)Лn = •wr,12"явные выражения для оценок дальности и скорости имеют видΣ 3:-л~де c~olji ft ofп—1rf+3c$1 =При отсутствии измерений скорости (с = О, sj = 0 ) получаем' п= =_7..(01 — Л — 1)Г),то совпадает с выражениями, полученными в п. 6.3.3 настоящей главы.Получим также корреляционную матрицу ошибок ..оценкипараметровв простейшем случае л = 2 и при равноточных измерениях.Используя общее соотношение (38), получаем2wr-В: =0 00 2wг2wrC =г IIc228l2wrОкончательное выражение для корреляционной матрицы ошибок имеет видTin.21Л„г...T!iifΨ(2) =При отсутствии измерений скорости (w; = 0) получимΨ(2) =Toчто совпадает с выражением, полученным для аналогичного случая в п.
6.3.3.Для траектории, представляемой полиномом второй степени, учет независимых измерений скорости производится аналогично, однако формулы получаютсягромоздкими.6.4. Экстраполяция (предсказание) параметров траекторииЗадача экстраполяции заключается в нахождении параметров траектории в'точке, лежащей вне интервала наблюдения, по их значениямвнутри этого интервала. В общем случае задача экстраполяции параметров ставится следующим образом.Пусть производится выборка измеренных значений координатыв моменты времени t1<it2<.....<itn на интервале наблюдения{tlt tn). Выборочные значения координаты, как и прежде, равны'< = г (*, tt) + ΔΓ ( .Полезный сигнал г (Ф, tt) представляется известной полиномиальнойфункцией.
Помеха Дг( — случайная последовательность ошибок измерения с известными статистическими характеристиками. Задача состоитв нахождении функции г (ф, t}) в момент времени tj, находящийся запределами интервала наблюдения входной последовательности. В конечном счете эта задача сводится к нахождению оценок вектора параметров д в точке tj.Решение поставленной задачи может быть выполнено по крайнеймере двумя способами.1. Путем непосредственного расчета параметров траектории в экстраполированной точке по данным выборочных значений координат.При этом полностью могут быть использованы методы оценки, изложенные в предыдущем параграфе.2. Путем использования для экстраполяции сглаженных (интерполированных) значений лараметрор в выбранной точке внутри интерваланаблюдения и гипотезы о законах изменения этих параметров внеинтервала наблюдения.., С точки зрения конечных результатов оба эти способа являютсяравноценными.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
