Кузьмин С.З. Основы теории цифровой обработки радиолокационной информации (1974) (1186213), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Обычно во всехсистемах учитывают случайные (шумовую и флюктуационную) и систематическую составляющие. При этом суммарная корреляционная матрица ошибок измерения координаты находится по правилу: .;Ν-= Ν π + Ν φ + Ν β .Напомним еще раз, что суммарная корреляционная матрица ошибокимеет порядок (пхп).2085, Условная плотность вероятности η-мерной выоорки коррелированных нормально распределенных случайных величин записывается'в виде(6.2.10)где [Ν | — определитель корреляционной матрицы N ошибок измерения координаты; \Кц\ — алгебраическое дополнение элемента Ni}в определителе j N |, представляющее собой определитель матрицы, полученной из матрицы N вычеркиванием ί-й строки и /-го столбца, умноженный на (—1)'+Л.Двойная сумма под знаком экспоненты в выражении (10) называетсяквадратичной формой. Для квадратичной формы можно получить более удобное при преобразованиях и экономичное в записи векторноматричное представление.
Условимся последовательность ошибок измерения До (ί «о 1, 2, ..., п) представлять в виде η-мерного векторстолбцагде Т — знак транспонирования.Элементы |K ( ;]/|N.| в выражении (10) образуют квадратную матрицу порядка пХп, которая является обратной к корреляционной матрице ошибок измерения, т. е. •\KuV\U\ = NT,1,f,/=l,2л,1где NJ} — элемент обратно^ корреляционной матрицы ошибок измерения, стоящий на пересечении ί-й строки и /-го столбца (значок (—1)служителя обозначения обратной матрицы).Используя введенные обозначения, квадратичную форму в выражении (10) можно представить в виде следующего векторно-матричногопроизведенияВ справедливости выражения (П) легко убедиться непосредственнымподсчетом.При вектор но-матричном представлении квадратичнойусловная плотность вероятности (10) записывается в видеВыражение (12) является основным при синтезе оптимальных алгоритмов оценки параметров траектории.Б.
Л о ж Н'Ы е о т м е т к и . Если помеха является стационарной,то ложные отметки возникают случайно и независимо друг от друга.Обычно в этом случае считают, что во времени поток ложных отметок209является ординарным и имеет постоянную плотность'Л; в процессеобзора ложные отметки попадают в неперекрываемые области зоныобзора независимым образом.При соблюдении перечисленных условий число ложных отметок т,попадающих в любую область D (двухмерную или трехмерную), распределяется по закону Пуассона.Рм = (e«/m!) exp (—а),(6.2.13)где а —среднее число ложных отметок, попадающих в область D.Для двухмерного случаягде So — площадь области D; v 5 —число ложных отметок на единицуплощади....Для трехмерного случаяа =где VD — объем области D\ vy — число ложных отметок на единицуобъема.При круговом (секторном) обзоре плотность ложных .отметок наединицу площади (объема) зоны не является постоянной, а зависитот дальности.
Рассмотрим эту зависимость для случая двухмерной области D.Разделим зону обзора РЛС на кольца, ширина Д г , каждого из которых равна разрешающей способности по дальности. Число колецг м а К 0 /Д г . Зная общее число ложных отметок, возникающих в зоне обзора за период обзора 7O, равное ЛГ 0 , и учитывая тот факт, что среднее число ложных отметок в каждом кольце Δ, одинаково (обзор равномерный), можно определить число ложных отметок, приходящеесяна одно кольцоПлощадь кольца на дальности г будет равна $г = 2ягДг.
Следовательно, на единицу площади обзора на дальности г приходитсяv 5 r = v$/Sr — АТ0/2пгМйКС г [отм/км*\*Средняя плотность ложных отметок в области, ограниченной значениями дальности гх 4- г2, определяется из выраженияЛ7<2it (га — r=о2nrl"(Vi)trr(6.2.14)Выражение (14) позволяет рассчитывать среднюю плотность ложных отметок в областях (стробах), протяженных по координате дальности. Расчет числа ложных отметок в стробе и в этом случае производится по формуле (13), так как для наличия пуассоновского распределения условие постоянной плотности v несущественно Ш.
В процессевыполнения основных операций вторичной обработки влияние ложных210отметок, в основном, сказывается на качестве селекции отметок в стробах. При этом неправильная селекция приводит к ухудшению точностных характеристик оценки параметров и в конечном счете можетпривести к сбою сопровождения.6.3.
Оценка параметров полиномиальной функциипри фиксированном объеме выборкиПусть R (t) — принимаемый случайный процесс, представляющийсобой аддитивную смесь полезного сигнала г (θ-, ί) и помехи Дг (ОПолезный сигнал — процесс изменения во времени независимой координаты цели — представляется в виде полиномиальной функции, степень которой определяется принятой моделью траектории:"7Г(6 ЗЛ)"В выражении (1) коэффициенты полинома имеют смысл координаты,скорости изменения координаты, ускорения и т. д.
Обычно они называются параметрами траектории цели. Совокупность параметров Θ;,записанная в виде столбца, образует s 4- 1-мерный вектор параметровтраектории θ1 ~ || Θ0Θα...ΘΛ || т .Помеха, под которой понимаются ошибки измерения координаты,представляет собой нормальный случайный процесс с известной корреляционной функцией и равным нулю математическим ожиданием.Процесс измерения состоит в получении выборки значений г1( r 2 f ....,гп функции R (t). в моменты времени t1 < t2 < ... < ίη. Совокупностьзначений rt образует /ι-мерный вектор-столбец выборочных значенийг = и/у 2 ...
гп цт.6.3.1. Алгоритм оптимальной оценки параметров траекториипо критерию максимального правдоподобия (общий случай)При синтезе оптимального алгоритма оценки необходимо преждевсего записать функцию правдоподобия для оцениваемого векторногопараметра fr по результатам я-мерной выборки случайной функцииR (t). В нашем случае эта функция записывается аналогично условнойплотности вероятности η-мерной выборки коррелированных нормально распределенных случайных величин и в векторно-матричном представлении имеет вид [см. (2.12)1:L(fl) = сехр Г — - Δ Γ Τ Ν - Ι Δ ΓВ дальнейшем удобнее иметь дело с натуральным логарифмом функцииправдоподобияIn L (0) = In с—-(ArT N-i Дг).(6.3.2)211Теперь, чтобы воспользоваться общим правилом нахождения оценок по методу максимального правдоподобия, необходимо продифференцировать выражение (2) по векторному параметру •&•.
Правило дифференцирования квадратичной формы по векторному параметру записывается в виде:(Ν-»ΔΓ) +Так как обратная корреляционная матрица симметрична, то (N" 1 ) 1 —Следовательно, можно записать(6.3.3)Полученное выражение является вектор-строкой. Нам же, в соответствии с принятыми ранее обозначениями для вектора оцениваемыхпараметров, необходимо представить вектор оценок в виде векторстолбца. Транспонируя (3), получимПодставляя теперь в правую часть этого выражения значениеДг=±г—r(fr, /) и приравнивая нулю, при θ- = θ-, получаемdH»,')]N-i (r—r (£, t)) = 0.(6.3.4)τИмея в виду, что [г (fr, ί)] представляет собой вектор-строку с составляющими r(fr, tt), i — 1, л, запишем производную в видеr(hii)dr(b, t2\dr{l, tn) |или, перейдя к дифференцированию по составляющим Θ; векторного1параметра θ , получим матрицу порядка (s + 1) X л(6.3.5)Обозначив матрицу (5) через А т и подставляя ее в (4), запишем векторное уравнение правдоподобия в окончательном видеA T N - 1 ( r - r ( * .
ί))-0.(6.3.6)Дальнейшие преобразования уравнения (6) позволяют непосредственно выразить вектор оценок & через вектор измерений г.Для полиномиальной траектории вектор г(Ь-, t) представим в видепроизведения г (θ% t) = АЪ. Тогда из (6) получим' * • .Обозначив далее матрицу А Т ^ А через В, получим окончательно•е = В - ' А т Г Г г г .(6.3.7)Окончательное решение, в соответствии с выражением (7), получается при задании конкретных значений п, г и статистики помех.В частности, если ошибки измерения координаты являются некоррелированными, тоwnrrгде wi — \1<з\ .Выражение (7) в этом случае записывается в виде* = В-'Атг'.(6.3.8)Решение (8) в точности соответствует оценкам, получаемым методомнаименьших квадратов [5, 7]..6.3.2.
Ошибки оценки параметровметодом максимального правдоподобия (общий случай)Система уравнений правдоподобия в общем случае является нелинейной. Поэтому для определения ошибок оценки параметров необходимо воспользоваться методом линеаризации этой системы. Линейноеприближение будет достаточно хорошим при малых ошибках единичных измерений, что обычно выполняется в РЛС рассматриваемогокласса.Линеаризация системы уравнений правдоподобия производится следующим образом. Запишем вектор измеренных значений координатыв видег~г(-&, /) + Дг,'.(6.3:9)где Аг — вектор ошибок одиночных измерений координаты; # — вектор истинных значений параметров,313Возьмем далее вектор-функцию r(fr, t) и разложимее в ряд Тейлорав окрестности истинного значения векторного параметра Ь.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
