Кузьмин С.З. Основы теории цифровой обработки радиолокационной информации (1974) (1186213), страница 44
Текст из файла (страница 44)
Пренебрегая членами второго и более высоких порядков относительно вектораошибок Δθ* = fr — θ-, получимг (#, /) « г (•, t) +dr (*' ° Δ».'(6.3.10)aft*Обозначим, по аналогии с выражением (5), dr (ft, O^fr = А — матрица порядка п X (s -f 1)*Тогдаr ( < K f ) « r ( * . 0 + АД$>.(6.3.11)Подставим выражения (9) и (II) в уравнение правдоподобия (6).В результате получим линейную систему уравнений относительно Д&A T N ~ ' [АДФ—Дг]=0>(6.3.12)Решение этой системы получается в видеΔθ^β"1 ΑΤΝ"1ΔΓ,T(6.3.13)1где, как и прежде, В = A N" A—матрица порядка (s + 1) X (s + 1).Корреляционная матрица ошибок оценки параметров по п измеренным значениям координаты г определяется по правилу",(6.3.14)где в квадратных скобках стоит прямое произведение векторов, М —оператор математического ожидания;11Так как N" и В" квадратные симметричные матрицы, то( В - ' У - В - 1 , (N-')T = N-1.Следовательно,1.(6.3.15)Подставляя выражения (13) и (15) в (14), получимΨ = В " 1 А т Ν" 1 М [ΔΓΔΓ Τ ] Ν " 1 АВ- 1 .(6.3.16)где М [ΔΓΔ/* ] = N — матрица ошибок измерения.Учитывая далее, что произведение прямой и обратной матриц даетединичную матрицу, после преобразования в соответствии с этим правилом выражения (16) получим окончательноΤΨ = Β-1«(ΑΤΝ-!ΑΓΪ.(6.3.17)Дальнейшая детализация выражения (17) производится для конкретных траекторий.2146.3.3.
Оптимальный алгоритм оценки параметров линейнойтраекторииРассмотрим решение уравнений правдоподобия (6) для случая оценки параметров линейной траектории. Этот случай имеет важное дляпрактики значение, так как любая траектория (в том числе и баллистическая) на ограниченном интервале наблюдения может быть представлена в виде линейного полинома (полинома первой степени).В качестве оцениваемых параметров примем координату дальностиг0 и скорость ее изменения г0 в начальный момент времени t0.
Законизменения координаты представляется в видеа оценка этой координаты в момент времени tt Ф tQ равнагде т, = (/,—10).Таким образом, в рассматриваемом случае вектор оцениваемыхпараметров имеет вида транспонированная матрица дифференциальных операторовравнаdf0df0drndr0dr0111L*>(5)... 1• ••ЬтdrQДля простоты примем также, что корреляционная матрица ошибокизмерения N является диагональной.Тогда можно записать:где <s}t — дисперсия измерения координаты в ί-Й момент времени;W( — «вес» /-го измерения;иг-1 при ί = /,О при ίφ\.215С учетом сделанных обозначений, подлежащее решению уравнениеправдоподобия для линейной траектории записывается в виде11...1τ £2...1 |щ0...0wa00- ...0...
0—'о—= 0,ГГпОгде rt — составляющие вектора измеренных значений координаты г,В результате выполнения операции перемножения матриц получимсистему из двух линейных уравнений с двумя неизвестными г0 и г0:22„2η(6.3.18)Решение этой системы относительно, искомых оценок г0 и г0 параметров г0 и rQ дается в видеппппΐ-Ι— ,n2nw(6.3.19)nwr2 * ~~ 2 ' * 2л/iw T(6.3.20)/ /ι2-wi 2 ( * ~ 2{»1/—I\/-lПроизведем теперь дальнейшее упрощение задачи и предположим,что измеренные значения координаты rt поступают через равные интервалы времени 7V Это соответствует случаю оценки параметровтраектории по данным РЛС с равномерным периодическим обзоромпространства (в этом случае Тй — период обзора).
Кроме того, отнесемискомые оценки к моменту времени tn последнего измерения и примемэтот момент за начало шкалы отсчета времени.В результате для входящих в выражения (18) интервалов времениτι можно записать (рис. 6.4)τ, „ „ ( f t — j)^,.(6.3.21)Введем далее следующие обозначения:2216/-1ί-12'/-1(6.3.22)С учетом выражения (21) и обозначений (22) система уравненийправдоподобия для оценки параметров линейной траектории при равнодискретных измерениях имеет видРис.
6.4. К оценке параметров траекторииприравнодискретныхизмерениях.Решение этой системы уравнений получается в видепп(6.3.23)2f - 1(6.3.24)гдеКп = fnhn—glДопустим теперь, что на ограниченном интервале наблюденияизмерения значений координаты можно принять равноточными.
Тогдавеса измерений Wi будут одинаковыми (щ = w a = ... = wft = w),а введенные выше коэффициенты fn, gn, hn будут равны соответственно:(6.3.25)217Подставляя эти значения в выражения (23) и (24) и произведя элементарные преобразования, получаем окончательные формулы для оценки параметров линейной траектории при равнодискретных и равноточных измерениях:2)/•„'(6.3.26)1=1(6.3.27)/•=1где),(6.3.26а)-1),(6.3.27а)— весовые функции оценки координаты и скорости соответственно.1.(0га)1S/6г/, зРис.
б.Б. Весовые функции оценки координаты и скорости при л = 3 .Для примера рассмотрим применение полученных формул в простейшем случае, когда оценки параметров линейной траектории находятся по результатам двух измерений (п = 2).Подставляя в формулы (26) и (27) i = 1 ( 2, получаемГГг — 2'Гrг — v%— i)При п — 3 имеем:= -1/2Г0(η,(3)«5/6,η ; (3)«1/2Г 0 :Следовательно,r& = (5JНа рис.
б.Б изображены рассчитанные по формулам (26а) и (27а)весовые функции оценки координаты и скорости ее изменения прип = 3. Заметим, что для весовых коэффициентов всегда выполняютсяусловияЭти условия могут быть использованы для контроля вычислений.218Упрощенная структурная схема дискретного фильтра для реализации алгоритма оценки одного из параметров линейной траектории прификсированной выборке измеренных значений координаты изображенана рис. 6.6.При реализации алгоритмов оценки параметров на ЦВМ выборкаизмеренных значений, координаты хранится в оперативном запоминающем устройстве ЦВМ, значения весовых коэффициентов хранятсяв долговременном запоминающем устройстве, а операции умноженияи суммирования производятся последовательно для каждого-Оцениваемого параметра в операционном устройстве ЦВМ.Рис.
6.6. Структурная схема дискретного фильтра.Наряду с оценкой параметров, на каждом шаге обработки должнавычисляться корреляционная матрица ошибок оценки по формуле (17).Матрица В. в рассматриваемом случае записывается в виде000w2000000W11 • 1lWS.........0001xt114τ3wВ результате выполнения операций умножения над составляющимиматрицами, получим окончательноΣОпределитель этой матрицы равен219Применяя теперь обычное правило обращения матриц, получимΨ=Β-Ι =(6.3.28)IB2,0ГПри равнодискретных измеренияхкоординаты имеемψ==р/^Пi i o ^ i ' O i«n/i^nin*(б_3>29)o l dЕсли, кроме того, положить, что измерения координаты в интервале наблюдения равноточны, что соответствуетWi =.w = l/σ3, то непосредственныерасчеты дают следующее окончательноевыражение для корреляционной матрицы ошибок оценки параметров:Рус.
6.7. Элементы корреляционной матрицы ошибок оценкипараметров линейной траектории.X2(2/1-1),6!п(п+\)Т012/7>(ла~1)Г(6.3.30)Например, при п = 3 корреляционная матрица ошибок оценки параметров линейной траектории имеет вид5/61/2Г01/2Г0I/2TJСледовательно, дисперсия сглаженной координаты по трем равноточным замерам составляет 5/6 дисперсии одиночного измерения, дис»персия приращения координаты за счет неточной оценки скоростиОди>; , где Δ ( 1 ) Γ 3 = ^а^О' составляет половину дисперсии одиночногоизмерения и корреляционный момент связи между оценками координаты и ее приращения тоже равен половине дисперсии одиночногоизмерения координаты.На рис. 6.7 приведены графики нормированных элементов корреляционной матрицы ошибок оценки параметров линейной траектории.Из анализа этих графиков следует, что для получения достаточно точных оценок параметров линейной траектории необходимо производитьсовместную обработку не менее пяти-шести подряд следующих измеренных значений координаты.2206.3.4, Оптимальный алгоритм оценки параметров траектории,задаваемой полиномом второй степени'Рассмотрим теперь применение метода максимального правдоподобия дляоценки параметров траектории, представляемой временным полиномом второйстепени.
В качестве оцениваемых параметров примем координату дальностигп, скорость изменения дальности гп и ускорение по дальности гп в момент времени tn последнего измерения. Закон изменения дальности представляетсяв этом случае полиномомr{blt)=trn+r'n{t-tn)+.{rnl2){t-tn)*t•а ее оценка в моменты времени U ф tn равнагде τ ( = (ί( — tn),Транспонированная матрнца дифференциальных операторов А * в этом слу*чае равнаI1τ,τχАт =••• 1. . . τηχ1222Корреляционную матрицу ошибок измерения, как и прежде, будем считатьдиагональной, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
