Кузьмин С.З. Основы теории цифровой обработки радиолокационной информации (1974) (1186213), страница 22
Текст из файла (страница 22)
д.Таким образом, в процессе обработки выходящий поток предыдущего этапа является входящим потоком последующего. Поэтому важное значение приобретают статистические характеристики выходящих потоков в процессе обработки.Непосредственное определение статистических характеристик выходящих потоков по статистическим характеристикам входящих потокови законам распределения времени обслуживания вызывает существенные затруднения, так как в теории массового обслуживания, вообщеговоря, отсутствуют регулярные приемы решения этой задачи.
Поэтомув каждом конкретном случае законы распределения выходящих потоков определяются экспериментально, или на основе соображений,не относящихся к теории массового обслуживания.В нашем случае обычно удается представить выходящий поток каждого из элементов системы обработки в виде простейшего с известнойинтенсивностью.
В качестве соображений в пользу такого заключенияможно привести следующие. Поток сигналов на выходе первичнойобработки является потоком отметок от целей. Если верно условиео равномерном распределении целей в зоне обзора, то поток истинныхотметок будет простейшим. Аналогично простейшим будет и поток ложных отметок. Выходящий поток системы вторичной обработки представляет собой сумму потоков сообщений об истинных и ложных траекториях, относительно каждого из которых также можно высказать аналогичные соображения.
Если потоки сообщений на выходе каждойРЛС являются простейшими, то и поток на входе системы объединения информации будет простейшим.Численные значения параметров соответствующих потоков могутбыть определены с учетом временных соотношений между параметрами входящих потоков и интенсивностью обслуживания.3.4.4. Методы анализа систем массового обслуживанияс ожиданием в установившемся режиме работыВ данном пункте в ознакомительном порядке излагаются основные положения теории массового обслуживания, применительно к однолинейном системамс ожиданием, т. е. к системам с одним обслуживающим аппаратом и «бункером»для хранения очереди. В качестве метода анализа выбран так называемы» диф103ференцнальный метод, в основу которого положено представление процесса обслуживания в виде дискретного марковского процесса (цепи) с конечным или счетным множеством состояний.При аналитическом исследовании процессов массового обслуживания классическим является случай простейшего входящего потока требований и показательного (экспоненциального) распределения времени обслуживания.
В этомслучае состояние системы массового обслуживания полностью определяется числом ν находящихся в ней требований. Действительно, в связи со специфическимиособенностями показательного закона, вероятность того, что следующее требование поступит в момент (/ + Δί^) и что обслуживание требования, находящегося в системе, закончится в момент (t -j- Δί 3 ), не зависит от течения процессамассового обслуживания в прошлом. Следовательно, случайный процесс ν (ί)является дискретным марковским процессом с непрерывным временем.Иначе обстоит дело, когда закон распределения времени обслуживанияявляется произвольной функцией, Тогда вероятность выхода требования изсистемы в течение промежутка времени (/ + Δ/) может зависеть от момента начала обслуживания этого требования, а процесс изменения состояний ν (ί) ужене является марковским.В теории массового обслуживания разработан специальный метод сведениянемарковских процессов к цепям Маркова.
Этот метод называется методом вложенной цепи Маркова [8] и позволяет описывать простой цепью Маркова функционирование системы массового обслуживания при простейшем входящем потокеи произвольном законе распределения времени "обслуживания.При введении понятия вложенной цепи Маркова существенно используетсято обстоятельство, что в случае простейшего входящего потока моменты временикогда требования покидают систему, являются такими моментами, что информация о поведении системы до этого момента не влияет на прогноз дальнейшегоповедения процесса.Если f(,ii tbi, ••• означает последовательность моментов выхода требований,то стохастическая последовательность v (^ ( + 0) числа требований в системев моменты, непосредственно •следующие за моментами ГЦ, образует простуюцепь Маркова. Основным соображением для введения вложенной цепи Марковаявляется последующее применение аппарата цепей и процессов Маркова для анализа широкого класса систем массового обслуживания.
Последнее обстоятельство имеет большое методологическое значение, так как позволяет, по крайней мере,с принципиальной точки зрения, подходить к исследованию различных сторонфункционирования системы обработки информации на основе единого математического аппарата.Нас в дальнейшем будет интересовать стационарный режим работы системымассового обслуживания. Поэтому одной из важных задач является нахождениеусловий, при которых стационарный режим существует. Доказательство его существования связывают с доказательством существования стационарного случайного процесса, описывающего функционирование системы.
Для этого в своюочередь используется понятие регенерирующего процесса. Регенерирующим называется процесс v ((), у которого имеется особое состояние v 0 , обладающее темсвойством, что после попадания в это состояние дальнейший ход процесса не зависит от того, каким образом он протекал до этого момента. Моменты, соответствующие состоянию v 0 , называются моментами (точками) регенерации. Обозначимчерез т./ = ΐ / + ι — h интервал времени между соседними точками регенерации.Этот интервал ярляется случайной величиной.Доказано [1], что процесс обслуживания обладает стационарным распределением, если выполняется какое-либо из двух условий:1. Математическое ожидание Tj конечно.2.
С вероятностью, равной единицеlim N (0, Т)1Т > О,где N (0, Т) — число точек регенерации в интервале (0, Г).Как показано в [8], для выполнения этих условий должно выполняться соотношение λ/μ < 1.В качестве иллюстрации применения математической теории цепей Маркова дляанализа систем массового обслуживания в установившемся режиме работы,104возьмем сначала простейший случай, когда интервалы между требованиямивходящего потока распределены по показательному закону с параметром λ ивремя обслуживания распределено по тому же закону с параметром μ.Пусть Xdt — вероятность поступления требования в интервале at, а μάί —вероятность окончания обслуживания требования в этом интервале.
Условимсядалее считать, что в интервале (t, t -f* at) возможно появление не более одноготребования входящего потока. Аналогично в этом интервале возможно окончание обслуживания не более одного требования и невозможно одновременноенаступление двух событий: появление требования входящего потока и оконча*ние обслуживания очередного требования.Как и ранее, обозначим vj состояние, при котором в системе находится ίтребований, i = О, М -г I, где М — емкость устройства хранения очереди.1-xdtjidtjidtРис. З.5.
Граф со случайными переходами для системы массового обслуживания(входящий поток простейший, закон распределения времени обслуживания показательный).При сделанных обозначениях и допущениях матрица вероятностей переходаП рассматриваемого процесса, элементы которой π ^ характеризуют вероятностиперехода из состояния i в момент времени t в состояние у в момент времени (t •+•-f di), имеет видо\-XdtП=\idtОО2XdtОXdtudt(3.4.4)оСоответствующий граф со случайными переходами изображен на рис. 3.5.Рассматриваемая цепь Маркова с конечным числом состояний является не*приводимой и апериодической. Следовательно, существует стационарное распределение вероятностей состояний Pt (ί ** 0, 1, 2, ..,, М + 1), являющеесярешением матричного уравненияР = РПМ4-1с присоединенным к нему условием нормировки 2 Р( = 1.гРешение этого матричного уравнения получается в видегде р = λ/μ называется коэффициентом загрузки системы.Пусть теперь в систему поступает простейший поток требований с параметром λ, а закон распределения времени обслуживания w (τ) произвольный (ноизвестный).
Как уже отмечалось, процесс изменения состояний системы в этомслучае может быть представлен вложенной цепью Маркова, переходы в которойпроисходят в моменты времени ί^ι окончания обслуживания очередного (i-ro)105требования. Элементами матрицы переходных вероятностей для вложенной цепиМаркова являются величиныкоторые непосредственно зависят от распределения числа требований, поступивших в интервале τ/ = (/{,i+i — ' ь ()• При v (/(, f) > 0 интервал; fj равенпродолжительности обслуживания (ΐ + 1)-го требования.Вероятность поступления k требований за время обслуживания одного требования(3.4.5)PkРис. 3.6. Граф со случайными переходами для системы массового обслуживания(входящий поток простейший, закон распределения времени обслуживания произвольный).Если v (1ы) => 0, то первое требование/которое поступает после момента1ы> немедленно начинает обслуживаться, а число требований, которые поступят за время обслуживания этого требования имеет распределение (5).Учитывая, что в рассматриваемой системе один обслуживающий прибор,а емкость устройства для хранения очереди равна М, имеемτяА = 0, М,'А»И.я'>0,/ = о, м,Σ /1 =матрица переходных вероятностей вложенва имеет видП012...012РоPiРг•••Ро0PiРг •••РоPiМ•о00ооМ+10МРмРм••• Рм-\......PiРоΛί + 1Р'Рм+ιРмPiPiСоответствующий этой матрице граф со случайными переходами изображенна рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
