Кузьмин С.З. Основы теории цифровой обработки радиолокационной информации (1974) (1186213), страница 19
Текст из файла (страница 19)
соответствует выявлениюустановленной алгоритмом обнаружения совокупности элементарныхсигналов (отметок). При появлении такой совокупности обнаружительдостигает определенного состояния, причем вероятность ее обнаружения нарастает от такта к такту, т. е. с получением каждого новогоэлементарного сигнала.Для вычисления нарастающей вероятности обнаружения исходная цепь Маркова и соответствующий ей граф со случайными переходами, должны быть преобразованы в цепь (граф) с поглощающим экраном. Поглощающий экран совмещается с состоянием, переход в которое приводит к выполнению установленного критерия обнаружения.Установление поглощающего экрана приводит фактически к отбрасыванию части состояний, достижение которых в исходной цепи возможно только после достижения состояния, в котором установленпоглощающий экран. Этот факт надо учитывать при задании векторавероятностей исходного состояния обнаружителя.
. В частности,с целью • сохранения условия ^Pt~\,предельные верятностиIотброшенных (закороченных) состояний добавляются к предельной вероятности состояния, в котором установлен поглощающий экран.• В дальнейшем методику расчета нарастающей вероятности обнаружения нестационарного сигнала проиллюстрируем на 'Примере..Возьмем в качестве исходного алгоритм, граф которого изображен нарис. 3.1, и будем считать, что нестационарный полезный сигнал появляется после того, как наступило стационарное состояние обнаружителя в области помехи. Поглощающий экран совместим с состояниема4, переход в которое приводит к выполнению критерия обнаружения.Состояние а3 в этом случае будет отброшено. Следовательно, предельную вероятность достижения этого состояния в области помехи надоприбавить к предельной вероятности достижения состояния а 4 в тойже области.
Вектор-строка вероятностей исходного состояния обнаружителя перед поступлением полезното сигнала в этом, случае будетравнаР (0) = | Ро (0)Л (0)Рг (0)Р'4 (0) я,где Р[ = Я э + РА.Матрица переходных вероятностей цепи с поглощающим экраномзаписывается для каждой позиции, где присутствует нестационарный87сигнал. &™λ-ϋ позиции нестационарного сигнала эта матрица имеетвид (для рассматриваемого обнаружителя)qKq}0;000<7λ0q% 0 ;0р00l 1лВектор-строку состояний цепи на λ-й позиции полезного сигналаможно записать в видеР(л) = Р ( Я — 1) П (λ).Вычисления даютРо (λ) = ГРо (>- (λ Рг (λ) =- Λ ( λ - Ι)Ι<?λι Λ ( λ ) - Р 8 ( л - l)? AfЯ4 (λ) = (Л (λ - I) + Я 3 (λ ~ 1 ) ] ρ λ +-ЬЯ4 (λ— 1).(3.2.17)Последнее уравнение системы (17) определяет нарастающую вероятность достижения состояния а 4 на λ-м шаге. Оно состоит из двухслагаемых: первое из них характеризует вероятность достижения состояния а 4 точно на λ-й позиции, а второе — вероятность того, что этосостояние уже достигнуто на предыдущих позициях.Рассмотренные элементарные приемы использования математического аппарата цепей Маркова для расчета вероятности обнаружениястационарных и нестационарных сигналов пригодны в инженернойпрактике.
Напомним еще раз, что эта методика не, изменится, есливходной сигнал представляет собой стационарную или нестационарную простую цепь Маркова.3.3. Методы анализа динамических и точностных характеристикалгоритмов цифровой обработки радиолокационной информацииНаряду с обнаружением сигналов (траекторий) в процессе обработки радиолокационной информации решается большая группа задач,связанных с воспроизведением и сглаживанием параметров траекторий, а также с преобразованием этих параметров.
При этом последовательность входных сигналов преобразуется в соответствии с алгоритмами обработки в выходные сигналы, несущие информацию об искомых параметрах или функциях этих параметров.Алгоритм преобразования входных сигналов в выходные называется также дискретным оператором, а соответствующее устройство, реализующее дискретный оператор — дискретным фильтром. Если алгоритм реализуется на ЦВМ, то в этом случае последняя выступает в ролицифрового фильтра."Цифровой фильтр является системой дискретного действия, причем дискретность проявляется в двух отношениях: во-первых, входные сигналы являются дискретизованными по времени в соответствиис принятыми в РЛС принципами получения сигналов и организацииобзора пространства; во-вторых, сигналы (как входные, так и выходные) представляются в виде «-разрядных двоичных кодов, что соответствует их многоуровневому квантованию.
Наличие квантования поуровню наряду с округлениями вычислений в ЦВМ делает соответствующий цифровой фильтр сугубо нелинейным, что в значительной степени затрудняет его анализ.Для выяснения принципиальных вопросов, связанных с анализомцифровых фильтров, в дальнейшем будем предполагать, что на входпоступает неквантованный дискретный сигнал, а вычисления производятся абсолютно точно. В этом случае при анализе можно отвлечьсяот физических принципов, положенных в основу работы ЦВМ и считать основной характеристикой цифрового фильтра только реализуемый алгоритм преобразования входных сигналов в выходные.Обычно алгоритмы обработки радиолокационной информации, связанные с восстановлением параметров траекторий, являются линейными или линеаризованным^.
Поэтому и соответствующие цифровыефильтры являются линейными. Дополнительно к этому необходимопредположить, что в процессе реализации алгоритма не проверяются""логические условия и отсутствуют условные переходы, так как приналичии последних возникают дополнительные трудности в анализе.Таким образом, при анализе динамических и точностных характеристик алгоритмов обработки радиолокационной информации, реализованных на ЦВМ, в дальнейшем принимаются следующие допущения:— входные и выходные сигналы дискретизованы, но не квантованы,— алгоритмы обработки информации, и, следовательно, соответствующие фильтры являются линейными.При сделанных допущениях для анализа может быть использованматематический аппарат теории линейных импульсных систем.В данном параграфе рассматриваются некоторые основные вопросы теории импульсных систем, используемые в дальнейшем для анализа динамических характеристик алгоритмов цифровой обработкирадиолокационной информации.3,3,1.
Решетчатые функции и их Ζ-преобразованиеПусть / (/) — непрерывная функция времени. Соответствующая ей решетчатая функция, имеющая отличные от нуля значения в моменты / = πΔ(, где п —= 0, 1, 2, ..,; Δ( — период дискретизации, определяется выражениемо приДля анализа решетчатых функций используется математический аппаратконечных разностей и сумм, являющихся дискретным аналогом дифференциалаи интеграла.Конечные разности первого порядка для решетчатой функции / (п) можновычислить с помощью следующих соотношений:Д/(л) = / ( л + 1) — / in).(3.3.I)89где &f (n) — прямая разность первого порядка:. v / И = / ( " ) _ / ( * - ]),з.3.1а)(где vf (л) —обратная разность первого порядка.
В дальнейшем будут и-споль*зоваться только прямые конечные разности решетчатых функций.Конечная разность ft-ro порядка определяется рекуррентно как разность'первого порядка от разности (k — 1)-го порядка, т. е.Aw f ( η ) = Δ [Δ<*~ ! J / (η)] = Δ ( * - ! ) / (η + I) —Δ<*~ l) f (n).(3.3.2)Для вычисления разности fc-ro порядка в некоторой точке п требуется знать значения решетчатой функции в & + 1 точках.Соотношение между решетчатой функцией / (л) и ее разностями различныхпорядков Ак f (n) называется уравнением в конечных разностях.
Уравнениямив конечных разностях (разностными уравнениями) описывается поведение дискретных (цифровых) систем. Линейные дискретные системы описываются линейными разностными уравнениями.Решение линейных разностных уравнений значительно упрощается применением так называемых операционных методов. Эти методы основаны на переходе от решетчатых функций к их изображениям.' В качестве изображения решетчатой -функции в дискретной технике используют дискретное преобразованиеЛапласа или 2-преобразование.Разностное уравнение в области изображений сводится к алгебраическому;последнее решается достаточно просто.Дискретное преобразование Лапласа для решетчатой функции записываетсяв видеотсюда Ζ-преобразование решетчатой функции получается подстановкой е«= Z, т. е.'=Обычно для записи Ζ-преобразования используется обозначение Z [/ (п)] == F* (Z).
Для нахождения 2-преобразования решетчатых функций следует пользоваться специальными таблицами, помещенными в книгах по теории импульсных систем управления (например, [3, 7]). Здесь приведем только некоторые-важные свойства Ζ-преобразования, которые потребуются в дальнейшем.1. Свойство линейности. Если Z [fx (л)] = F\ (Z), Z [/а (п)] = FJ (Z), тоZlab (п) + bU (п)} - aFt (Z) + bF\ (Z).(3.3.4)2. Свойство запаздывания (теорема запаздывания).
Рассмотрим решетчатуюфункцию ft (n) и ту же самую решетчатую функцию, но сдвинутую на k периодовдискретизации в сторону запаздывания, т. е. ί (п — k). Теорема запаздыванияутверждает, что если Z\f (п)] = F* {Z), тоZ[f (n — k)] = Z~kF* (Z).(3.3.5)Аналогичнымобразом может быть сформулирована теорема упреждения Z Ц (п -гk•+- k)} = Z F* (Z).•3. Свертка решетчатых функций. ЕслитоF*{Z)^F\{Z)F%{Z).90(3.3.6)4. Начальное значение решетчатой функции.
Если Z[f (л)] = F* (Z), то/ < 0 ) = ! i m -—F*(Z).(3.3.7)' 5 . Конечное значение решетчатой функцииZ—1I i m / ( n J = Mm — — F* (Z).п-оог-1+о Z(3.3.8)3.5.2. Передаточные функции дискретных фильтровВ общем случае выходной сигнал дискретного фильтра в моментί = πΔ ( определяется значением входного сигнала в тот же моментвремени, а также значениями входных и выходных сигналов в предшествующие моменты времени, т. е.Уп=-'!(Хп.Xn-V-.Xn-m-Уп-ι,••••Уп-ΐ)-(3.3.9)Если зависимость (?) является линейной, то дискретный фильтр называется линейным. В дальнейшем ограничимся рассмотрением тольколинейных дискретных фильтров, для которых выходной сигнал определяется из уравненияxn~m — Ь1Уп-\~•••—btyn-i.(3.3.10)Линейный дискретный фильтр удобно описывать с помощью передаточной функции, под которой понимается отношение Ζ-преобразованиявыходного сигнала к Ζ-преобразованию входного, т.
е.'К* {Z) = Y* (Z)/X* (Z).(3.3.11)С учетом свойства запаздывания Ζ-преобразование уравнения (10)имеет видУ*-(2)(1 + ЬХ1~1 -г ... + blZ~i) = X* ( Ζ ΐ ί α ό ^ α ^ - 1 + ... -f o m Z - ) .Откуда получаемК*(Z) = .0» + a i 2 " 1 + - + ° т г - ' я .(З.з. 12)По виду передаточной функции дискретные фильтры подразделяются на два типа: рекурсивные и нерекурсивные. Выходной сигналрекурсивного фильтра определяется, помимо текущего и предыдущихзначений входного сигнала, еще и предыдущими значениями выходного сигнала, что эквивалентно введению задержанной обратной связи. Рекурсивному фильтру соответствует передаточная функция (12)."Выходной сигнал нерекурсивного фильтра зависит только от текущего значения и конечного числа предшествующих значений входногосигнала.
Передаточная функция нерекурсивного фильтра являетсячастным случаем (12), а именно: многочленом от Z~l.K*(Z)=m2MZ-I)<\(3.3.13)i=09JПри решении задач цифровой обработки информации применениерекурсивных фильтров позволяет обойтись значительно меньшим объемом памяти и меньшим быстродействием по сравнению с нерекурсивными фильтрами. Однако нерекурсивные фильтры обладают рядомпреимуществ перед рекурсивными и тоже находят применение в системах обработки радиолокационной информации.В качестве примера на получение передаточной функции нерекурсивного фильтра рассмотрим задачу экстраполяции (прогнозирования) линейной функции на один пе*w,iриод дискретизации по двум значениямвходного сигнала, взятым через интервал времени ТоВходной сигнал в этом случае имеетZ'fвидРис. 3.3. Структурная схемаэкстраполирующегофильтра.χ (ί) = χ0 -f XQ t.Дискретные значения сигнала в моменты (п — I) То и пТ0 равныхп = хо -Г ХО пТ0,х п _! = х0 + х0 (п— I) То.(3.3.14)Из решения системы уравнений (14) находимХ0=Хп —П Х(п—xn-l)tХ0 — \Хпxn-l)' * О-Экстраполированное значение координаты равноУп+1, э — хо~г ( я + l)TO^o — *хп—xn-vПрименяя к полученному уравнению операцию 2-преобразования,получим передаточную функцию в видеДля наглядного представления функционирования дискретныхфильтров служат структурные схемы, содержащие элементы задержкина период дискретизации (изображаемые прямоугольниками), множительные устройства (изображаемые треугольниками) и суммирующиеустройства (изображаемые кружками).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
