Кузьмин С.З. Основы теории цифровой обработки радиолокационной информации (1974) (1186213), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Достаточно, например, заметить, что при неизменной энергетике РЛС дляповышения вероятности обнаружения и улучшения точности оценкипараметров движения цели требуется использование более сложныхалгоритмов обработки, что приводит к увеличению объема вычисленийи объема хранимой в процессе1 вычислений информации в оперативномзапоминающем устройстве (ОЗУ) ЦВМ. А это, в свою очередь, приводит к повышению требований к ЦВМ по быстродействию и объему ОЗУ,или к уменьшению пропускной способности при заданных параметрах ЦВМ.3.2. Методы анализа вероятностных характеристикалгоритмов обработки радиолокационной информацииВ дальнейшем под вероятностными понимаются характеристики,относящиеся к оценке полноты и достоверности отображения обстановки в зоне обзора* РЛС.
Сюда относятся, главным образом, вероятностьправильного обнаружения полезных (истинных) сигналов и траекторий, вероятность ложного решения о наличии сигнала (траектории)79из-за влияния помех или соответствующее число ложных решенийв пределах фиксированного временного интервала.Рассматриваемые в данном параграфе методы анализа вероятностных характеристик алгоритмов обработки радиолокационной инфор*мации основываются на следующих исходных предпосылках;1. Входные сигналы представляют собой бинарную последовательность случайных чисел (нулей и единиц). Вероятности появления элементов этой последовательности, в общем случае, изменяются от тактак такту.
Корреляционная связь между элементами последовательностираспространяется только на соседние такты, т. е. последовательностьвходных сигналов представляет собой простую цепь Маркова. Вырожденным случаем этой цепи является последовательность некоррелированных входных сигналов (последовательность Бернулли или, чтото же, цепь Маркова нулевого порядка).Использование для описания входных сигналов дискретного случайного процесса без последствия не ограничизает сколько-нибудьобщности получаемых результатов, так как цепь Маркова болеевысокого, чем первый, порядка с двумя состояниями может быть преобразована в цепь Маркова первого порядка за счет расширения множества состояний 114].2. Цифровые устройства и алгоритмы, реализуемые на ЦВМ, представляются в виде конечных автоматов (алгоритмов) с фиксированнойструктурой и случайными переходами. Как известно, функционирование таких устройств описывается стохастическими матрицами переходных вероятностей, что позволяет существенным образом использовать при их анализе математический аппарат простых цепей Маркова.Вопросам применения математического аппарата цепей Марковадля анализа процессов обнаружения следов траекторий посвящены опубликованные в литературе работы (12—14].
Систематическое изложение метода анализа вероятностных характеристик обнаружителей с использованием аппарата цепей Маркова имеется в книге [4].3.2.1. Основные сведения из теории простых цепей МарковаОпубликованная литература по теории цепей Маркова насчитываетдесятки томов. В нашу задачу не входит сколько-нибудь подробноерассмотрение этой теории. Ограничимся здесь только некоторым справочным набором определений и соотношений, которые будут использоваться непосредственно при анализе вероятностных характеристиксхем и алгоритмов обработки радиолокационной информации.Пусть некоторая физическая система в момент времени t0 находится в одном из состояний а0, П!аи •••• В фиксированные моментывремени flt t2, .... th система под воздействием случайных факторов(сигналов) может переходить из одного состояния в другое, причемв любой момент времени ik вероятность оказаться в наперед заданномсостоянии dj определяется только тем состоянием а\, в котором онанаходилась непосредственно перед скачком, т.
е. в момент времени th_ltи не зависит от всех остальных состояний, в которых эта система нахо80дилась до момента tk_v Тогда говорят, что поведение этой системыописывается простой цепью Маркова (цепью первого порядка).Условная вероятность перехода из состояния at в момент времениtk-i в состояние aj в момент времени tkпи (k — 1, k) = р {aJt thlau th-i)называется переходной вероятностью этой цепи.Цепь Маркова задается:— вектор-строкой Р (0) = |] Р о (0)Р х {0)...Р, (0)... || вероятностейначального состояния системы в момент времени t0,— матрицей переходных вероятностей П (k—1, k), элементамикоторой являются переходные вероятности ni} (k<— 1, к).Если переходные вероятности π ^ (k—1, k) не зависят от времени,т. е.
ntj (k — I, k) = щ}у k = 1,2, ..., то цепь Маркова называетсяоднородной. Для однородной цепи Маркова справедливы следующиесоотношения:1. Безусловная вероятность перехода системы в состоянии а} заодин шаг по определению равнаPj(l) = 2 ^ ( 0 ) " i J .<3-2Л)iгде Pi (0) — вероятность состояния а* при t — 0.2. Безусловная вероятность того» что система за п шагов перейдетв состояние а}, равнаPJ(n)=2'Pt(0)n(i1\i^I.2,3(3.2.2)ιгде n\f — условная вероятность перехода из состояния at в состоянией] за п шагов.Вероятность π^* удовлетворяет следующему рекуррентному уравнению (уравнению Маркова):π^Σπ^πΪ}-'*. s = T7T,(3.2.3)Vгде суммирование проводится по всем состояниям.3.
Если представить вероятности переходов n\f в виде матрицы, тополучим п-ю степень матрицы вероятностей переходов П, т. е. П л .С учетом этого, вектор-строка вероятностей состояний системы послел шагов определяется из соотношения:Р (п) = Р (0) П" = Р (л— 1) П.(3.2.4)5. Цепь Маркова называется эргодической, если вероятности состоянийPj (n) при увеличении п сходятся к предельным вероятностямpj, которые не зависят от начальных вероятностей Р; (0), т.
е. когдаlim Pj(n) = PJt / = 0, 1, 2, 3, ....Вероятности Р} называются финальными вероятностями состоянийсистемы.81Финальные вероятности являются решением следующей системылинейных уравненийP, = 2 P V J I V .ν= °. 1.2(3-2.5)Из соотношения (4) после предельного перехода при п -*- оо получим следующее матричное уравнение, связывающее вектор-строку финальных вероятностей состояний системы с матрицей ее переходныхвероятностейР=||ЛЯ1-^-.||.Причем, сумма компонентов этого вектора равна единице2^=1,/ = 0, 1, 2(3-2.6)(3.2.7)Для произвольной '{неоднородной) цепи Маркова вероятностьперехода из состояния at в момент времени tk в состояние а} в моментвремени tt определяется из соотношенияпи{к, s ) - S ^ v ( ^ r),Ji v /(r ( s),k<r<s,(3.2.8)vкоторое называется уравнением Колмогорова — Чэпмена,Матрица переходных вероятностей за s шагов (начиная с моментавремени tk) будет в этом случае равна произведению s матриц,- т.
е.П(£, s) = U(k, ft + 1) П(£ + 1, έ + 2)... Il(k + s— 1, ft 4-s).Если известна .вектор-строка вероятностей начального состояния системы Р (ft) в момент времени tkt то вектор-строка вероятностей состояний после s шагов (переходов) определяется выражениемP(s) = P(ft) II(ft, s).(3.2,9)Вектор-строку вероятностей состояний можно также определятьпоследовательно, по рекуррентной формулеP( S ) = P ( S — l ) n ( s — 1, s).(3.2.10)Если цепь Маркова является однородной, то переходные вероятности п1} ($, t) зависят лишь от разности t — s:пи (s, t) = ли (ί — s).Для однородной цепи Маркова имеет место следующая классификация состояний:а) состояние at называется невозвратным, если спустя некоторыйконечный промежуток времени t система с вероятностью 1 никогдабольше не возвратится в это состояние.
Состояние alt которое не является невозвратным, называется возвратным;б) говорят, что состояние а} достижимо из состояния аи если ъ1} XX(s, s -г I) Ф 0 для какого-нибудь /; состояния at и а} называются сообщающимися, если они достижимы друг из друга. Если каждое сос82тояние цепи достижимо из любого другого состояния, то цепь Маркованазывается неприводимой;в) состояние а( называется периодическим, если возвращение в неговозможно лишь через число шагов п, кратное некоторому целому числу k;г) состояние at называется поглощающим, если из этого состоянияневозможен переход ни в какое другое состояние.3,2.2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
