Кузьмин С.З. Основы теории цифровой обработки радиолокационной информации (1974) (1186213), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Применение математического аппарата цепей Мирковадля анализа вероятностных характеристик алгоритмовобнаруженияВ гл. 2 было показано, что алгоритму цифровой обработки двоично .квантованных сигналов можно поставить в однозначное . соответствие граф со случайными переходами. Функционирование такогографа при поступлении на еговход последовательности случайных сигналов, принимающихтолько два возможных значения(О или 1), описывается стохастической матрицей переходных вероятностей..
Преобразование детерминированного графа в граф со случайными переходами получаетсяособенно просто, если входные Рис. 3.1. Граф со случайными переходасигналы представляют собой не- ми для случая некоррелированной последовательности входных сигналов.коррелированнуюпоследовательность нулей и единиц (последовательность Бернулли). В этом случае преобразование состоит в формальной замене физических сигналов, которыми отмеченыпереходы детерминированного графа, соответствующими вероятностями появления этих сигналов, (вместо единицы — р, вместо нуля — q).В качестве примера, на рис.
3.1 приведен граф со случайнымипереходами для обнаружителя комбинаций 11 и 101, синтезированногов п. 2.1.4 в результате параллельной композиции двух автоматов(рис. 2.8). Соответствующая матрица переходных вероятностей имеетвид01 20!!?j! Ч 0- Р1 q 0 0П=2 0 q 03 q 0 04| 0 0 0340 00 р0 р0 рq p(3.2.11)83Строки этой матрицы, соответствующие состояниям I и 3, являютсяодинаковыми и, казалось бы, указанные состояния можно объединить. Однако в -исходном графе (рис. 2.8) переходы в состояния 1 и 3отмечены различными выходными сигналами. Следовательно, они неподлежат объединению.Во многих случаях, которые здесь не конкретизируются, поступающие для обработки сигналы коррелированы в двух соседнихтактах и образуют простую цепь Маркова.
Матрица переходных вероятностей этой цепи имеет вид(3.2.12)Переходные вероятности ки представляют собой условные вероятности появления сигнала / после сигнала ί (i, / — 0,1).Для переходных вероятностей π ^ выполняются соотношенияКроме того; в соответствии с уравнением (6), абсолютные вероятностир и q являются финальными вероятностями рассматриваемой системыи связаны с переходными вероятностями соотношениями£?π00 -f pn0l = q, qnw + / m n = p.(3.2.14)Для определения вероятности переходов π1} через абсолютные вероятности р и q необходимо знать коэффициент корреляции между соседними сигналами. В общем случае этот коэффициент записываетсяв видегде х ; — входной сигнал, принимающий значения 0 и 1.
Если последовательность входных сигналов стационарна, получимРешая теперь совместно уравнения (13) и (14) с учетом выражения дляр, получимπДоо — Я + 9Р>πι ό = Я — РЯ'πόι = Р —РРУη = Р -г РЯ-Таким образом, матрица переходных вероятностей цепи Маркова,описывающей стационарную последовательность попарно коррелированных сигналов, имеет вид(3.2.15)Элементы матрицы (15) представляют собой условные вероятности получения /-го сигнала после ί-го сигнала в последовательности сигналов,поступающих на вход устройства, реализующего заданный алгоритмобработки.
Следовательно, вероятности переходов соответствующегографа определяются теперь не абсолютными вероятностями отсутствия84(q) и наличия (р) сигналов, а условными вероятностями, определяемыми из матрицы (15).Для примера на рис. 3.2 изображен граф со случайными переходами для рассматриваемого в данном пункте обнаружителя, при воздействии на его входе попарно коррелированных стационарных сигналов. По этому графу обычным образом составляется матрица переходных вероятностей для анализа работы схемы.Поскольку получение графа функционирования алгоритма обработки при наличии попарно коррелированных входных сигналов и известном коэффициенте корреляции,не представляет принципиальныхтрудностей, в дальнейшем при анализе будем предполагать, что входные сигналы некоррелированымежду собой, а последовательностьсигналов представляет последовательность Бернулли.Перейдем теперь непосредственно к анализу алгоритма обработки,заданного графом и матрицей переРис. 3.2.
Граф со случайными пеходных вероятностей при воздейреходами для случая попарно коррелированной последовательностиствии на его входе стационарвходных сигналов.ной последовательности случайныхдвоично квантованных сигналов.В рассматриваемом случае с ростом числа переходов п вероятностисостояний алгоритма становятся независимыми от его начального состояния, т.
е. мы имеем дело с эргодической цепью Маркова. Для эргодических цепей Маркова можно определить вероятности состоянийPi, как вероятности того, что цепь находится в состоянии at послебольшого числа переходов. Вектор-строка Р с компонентами Pi (i == 0, М), будет тогда пределом последовательности векторов Р (п),когда п стремится к бесконечности. Вектор-строка Р называется вектором предельных (финальных) вероятностей цепи.При получении явных выражений для предельных вероятностейсостояний эргодической цепи Маркова используются основное матричное уравнение (6) и дополнительное нормирующее условие (7), Чтобыне усложнять дальнейшее изложение мы проиллюстрируем применение этих соотношений на конкретном примере определения предельных вероятностей состояний обнаружителя, матрица переходных вероятностей которого имеет вид (11).Матричное уравнение (6) запишем в виде:qдОqО00q00р0О00О000qОрρрp85Откуда получаемРо = д (Яо + Л + Рз),Л = >rf, Р 2 = Л>Р,Л « />*?, я4 - Р (Л + Л.
+ я» + Л).Кроме того, из условия нормировки (7) получаемВ результате получена система из 6 линейных уравнений, а неизвестных только пять (Рц-7-РА). Чтобы исключить неоднозначность решения,одно из уравнений системы надо исключить, но так, чтобы не нарушитьсвязи .между переменными. Этому условию удовлетворяет уравнениедля Ро, которое и исключаем.Решение оставшейся системы уравнений получается в видеЛ, = <?2;Л = q>p; Р2 = ?р;гЯ 3 = ^ ( 1 - ? ) ; />4 « р ( I - т <?*).(3.2.16)Выражения (16) и определяют предельные вероятности состояний рассматриваемого алгоритма. Нетрудно видеть, что аналогичным образоммогут быть рассчитаны предельные вероятности для любых другихалгоритмов, если задана матрица переходных вероятностей соответствующей эргодической цепи Маркова.Кроме предельных вероятностей состояний, для рассматриваемыхсхем часто интересуются вероятностью первого достижения заданногосостояния в каждом-такте работы.
Так в рассматриваемой схеме установленному критерию обнаружениями или 101) соответствует первоедостижение состояния 4. Вероятность этого события равна&4 « (Pi + PJp.При анализе воздействия на обнаружители стационарных помехвероятность первого достижения установленного критерия обнаружения соответствует вероятности ложного обнаружения в фиксированном такте работы (на фиксированной позиции).'. •При обработке нестационарной последовательности двоично квантованных сигналов с целью обнаружения (выявления) заданной комбинации, задача о вероятностях состояний обнаружителя в определенный момент ^времени может быть решена только последовательно,путем многократного применения формулы (9).
Для этого надо знатьматрицу переходных вероятностей системы на каждом шаге и векторвероятностей исходного состояния системы.Матрица переходных вероятностей обнаружителя по своему характеру остается прежней, однако значения вероятностей переходов накаждом шаге будут различными. Эти вероятности должны быть известны заранее.При определении вектора вероятностей исходного состояния возможны, по крайней мере, два случая:1.
Полезный сигнал (например, пачка импульсов с произвольнойогибающей) принимается на фоне стационарных помех, а область помех до появления полезного сигнала достаточно протяженная, вслед86ствие чего можно считать, что перед поступлением полезного сигналаимеет место установившийся режим работы обнаружителя. В этом случае вероятности исходного состояния обнаружителя перед поступлением полезного сигнала определяются предельными вероятностями егосостояний в области стационарных помех.2. Сигналы являются нестационарными в течение всего времени работы обнаружителя.
Это имеет место, например, при обнаружении траектории цели по последовательности локационных отметок, полученных от приближающейся (удаляющейся) цели. В этом случае вероятности исходного состояния обнаружителя должны быть заданы особо.В частности, вероятность начального состояния может быть взята равной единице, а вероятности остальных — нулю.В данном случае целью анализа является определение вероятностиобнаружения сигнала или траектории, что.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
