Кузьмин С.З. Основы теории цифровой обработки радиолокационной информации (1974) (1186213), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Достоинством метода генерации псевдослучайных чисел является то, что на получение каждого числа затрачиваетсявсего несколько простейших операций, так что скорость генерирования случайных чисел имеет тот же порядок, что и скорость работы ЦВМ; любая последовательность псевдослучайных чисел может быть при необходимости многократноповторена; нужно только один раз проверить качество последовательности, затемее можно многократно использовать при решении сходных задач.Псевдослучайные числа с равномерным законом распределения в интервале(0,1) непосредственно используются при моделировании случайных событийи дискретных случайных величин.Пусть необходимо реализовать случайное событие А, наступающее с заданной вероятностью р.
Определим А как событие, состоящее в том, что случайноечисло ξ|, выбранное из совокупности чисел | , равномерно распределеленныхв интервале (0,1), удовлетворяет неравенству| , < р.(4.1.1)Вероятность события А, очевидно, равнаЯ(Л)= jdx=p.(4,1.2)оНа основе соотношений (1) и (2) получаем следующее правило моделированиярассматриваемых случайных событий:— выбираем значение ξί и сравниваем с р,— если неравейство (1) выполняется, то событие А произошло,— если неравенство (1) не выполняется, то событие А не произошло.Такая процедура используется в дальнейшем при моделировании последовательности двоично квантованных сигналов (нулей и единиц).Пусть теперь Аъ Аг, ..., At ~ полная группа событий, наступающих с веsроятностями рх, р а > ....
р е , 2 Р)=•• Определим А\ как событие, состоящее/= 1в том, что выбранное значение ξ/ случайной величины Ξ удовлетворяет неравенствуPt-i<lt<Pl(l~\. .... *),(4.1.3)гдеΣАналогично (2) можно записать1JP(At)=dx=pt.pl-tПроцедура моделирования в этом случае состоит в последовательном сравнении чисел ti с величинами Pi. Исходом испытания является событие Л/, есливыполняется условие (3);Такая процедура применяется при моделировании последовательности сигналов на выходе схемы многоуровневого квантования. Остановимся, наконец, на принципах моделирования событий, образующих простую однородную цепь Маркова с матрицей переходных вероятностейП = W^ijW, U /— 0, k.
Возможными результатами испытаний являются'в этом'•случае состояния цепи d pi alt a2, .... α^. Вектор-строка вероятностей начальногосостояния цепи Р (0).= \\Р0 (0), Pz (0), .... Pk (0) j] должна быть задана.Процедура моделирования цепи Маркова состоит в следующем. Сначалавыбирается начальное состояние цепи αι в соответствии с вероятностями началь115ных состояний. Для этого используется процедура (3), (4), где в качестве pj берутся вероятности Pi (0). Затем выбирается следующее случайное число £(, ко.торое также сравнивается с величиной Р[, Однако здесь в качестве pj для определения Pi берутся элементы матрицы переходных вероятностей щ,. Путемсравнения устанавливается номер состояния ilt для которого справедливо условие (3).
Тогда следующим событием данной реализации цепи будет событие at..Аналогично поступают и в дальнейшем. Очевидно, каждый номер t m определяетсобой не только очередное событие at формируемой реализации, но и распределение вероятности для выбора последующего номера im + i.Рассмотрим теперь некоторые алгоритмы преобразования равномерно распределенных случайных чисел, позволяющие получить случайные величиныс заданным законом распределения. Возможность такого преобразования вытекает из следующей теоремы [1]: если случайная величина х имеет плотность распределения w (х), то распределение случайной величиныX1= J w(x)dx—ооявляется равномерным в интервале (0,1).На основе этой теоремы получено следующее правило образования последовательности чисел, распределенных по закону w (x): 1) получаем число «j, измножества чисел, распределенных по закону равномерной плотности в интервале (0,1); 2) находим величину xt из решения уравненияIt-jw{x)dx.(4.1.5)—ооВ качестве первого примера применения этого правила получим выражениедля образования чисел xt, распределенных по показательному закону w (x) == Л ехр (—Ах).На основании (5) записываемxi|i= JЛ ехр (—Ах) dx.—00Откуда, после интегрирования, получимxi = — (1/Л) In (1 —It).Аналогично получается формула для получения случайных чисел χι, распределенных по закону РелеяИзложенная методика является универсальной.
Однако во многих случаяхинтеграл типа (5) взять не удается. Тогда применяется другой прием, состоящийв использовании специфических особенностей законов распределения.Например, для получения чисел, распределенных по нормальному закону,используется одно из основных свойств этого закона, состоящее в том, что суммадостаточно большого числа величин, распределенных по любым законам, будетраспределена по нормальному закону. Следовательно, числа xj, распределенныепо нормальному закону, можно получить из условияМатематическое ожидание и среднеквадратичное отклонение полученной случайной величины равныМ{х]=п12;116ах= УЕсли случайные числа yi должны иметь нормальное распределение с М [у] « аи Оу = σ, то полученное выше число χι надо преобразовать следующим образомВ качестве второго примера использования рассматриваемого метода приведем правила формирования случайных величин, распределенных по обобщенному закону Релея, имеющему видЭти правила сводятся к выполнению следующих операций:— получаем случайное число χι, распределенное по нормальному законус дисперсией σί и математическим ожиданием М [х] = О,— получаем случайное число yi, распределенное по нормальному законус дисперсией Оу и математическим ожиданием М [у] ~ s,— находим числоПоследовательность { z j будет распределена по обобщенному закону Релея сдисперсиейВ заключение рассмотрим способ получения случайных чисел, распределенных по закону Пуассонао*^А=—ехр(-а)с математическим ожиданием а.•Для этого используется теорема Пуассона: если pt — вероятность наступ-•ления события А при одном испытании, то вероятность наступления k событийпри л независимых испытаниях н п -*• оо, pi -* 0 асимптотически равна Яд,Выберем достаточно большое п, таким образом чтобыРп = а/пбыла заведомо меньше единицы (не более 0,1 — 0,2).
Если теперь моделироватьсерии по л независимых испытаний, в каждой из которых событие/4 происходитс вероятностью рп, то в качестве случайных чисел χι, имеющих распределениеПуассона, необходимо выбирать количество случаев фактического наступлениясобытия А в 1-й серии испытаний.4.1,3.
Принципы построения и реализации моделирующегоалгоритмаВ состав комплексного моделирующего алгоритма входят:— алгоритм выработки входных сигналов,— исследуемый алгоритм,— алгоритм обработки результатов моделирования.При построении алгоритма выработки входных сигналов используются идеи, изложенные в предыдущем пункте. Необходимо толькодобавить, что наряду со случайными составляющими входных сигналов, во многих случаях приходится также моделировать неслучайные117воздействия, а также комбинации неслучайных и случайных воздействий.ДЛЯ составления моделирующего алгоритма исследуемой системьнеобходимо прежде всего иметь подробное формальное описание изучаемых в ней явлений. Сложность и многообразие этих явлений обычно не позволяют составить моделирующий алгоритм в общем виде, пригодном для исследования любых сторон функционирования системыПоэтому структура моделирующего алгоритма имеет специфику, связанную с типом задач, для решения которых предназначена модель.При моделировании с целью исследования работоспособности и статистических характеристик выдаваемой информации, моделирующийалгоритм практически ничем не отличается от алгоритма функционирования системы.
Если такие отличия и есть, так только в том, что в моделирующем алгоритме с целью исследования фиксируются в процессереализации все интересующие исследователя, параметры. При моделировании же, например, с целью определения загрузки ОЗУ ЦВМв процессе реализации алгоритма необходимо разрабатывать специаль• ную модель системы массового обслуживания. При этом изменитсяи характер входных сигналов, и выдаваемые результаты.Процесс исследования алгоритмов методом статистического моделирования может быть разбит на следующие этапы:1) доработки алгоритма с целью его реализации на универсальнойЦВМ;2) отладка программы модели;3) проверка работоспособности алгоритма путем анализа его реакции на частные ситуации (заданные сигналы), в результате которой определяются слабые места и ошибки при составлении и программировании алгоритма;4) статистическое исследование алгоритма путем задания множествареализаций входных сигналов и регистрации результатов их обработки.Полученные при моделировании статистические характеристикииспользуются для оценки алгоритма.
Естественно, моделированиепозволяет отработать только основные ветви сложного алгоритма и нетарантирует от отказов в непредвиденных ситуациях.Остановимся теперь кратко на способах организации процессанепосредственного статистического исследования алгоритмов.Процесс функционирования системы, представленной моделирующим алгоритмом, можно рассматривать как последовательную сменуее состояний, описываемую некоторыми функциями θχ (/), &i(t)....Если функции •&! (ί), ϋ2 (t) и т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
