Большев Л.Н., Смирнов Н.В, Таблицы математической статистики (1983) (1186204), страница 11
Текст из файла (страница 11)
При этом, если последняя квантиль определяется приближенно по формуле (31), полезно иметь в виду, что х = х ИОО (1 — [2Р— 1 [ )%; 1[ = Ч"' (Р). Применяя излоягенные соображения к предыдущему примеру, с помощью формулы (31) найдем Х (0,99; 0,5; 5) — 0,50119 (точное значение атой квантили по таблицам 3.4 равно 0,50И1). Полученное приближенное значение с помощью формулы (37) позволяет указать более точные приближенные значения для искомых квантилей~ Х (0,005", 5; 5) = 0,14603,. Х (0,995; 5; 5) — 0,85397, абсолютные ошибки которых равны 3 10 ь. Подробнее о В-распределении и его свойствах (в частности, об интерполяции квантилей по аргументу Р) см. И7, 108, 116[.
Таблицы 3.5. Процентные точки Р'-распределения Функция Р-распределения с параметрами т; и т, (т, > О, тт ) 0) определяется формулой 6 (х; мы та) = х Г ((т1 + уО/2) вп т МГ и /2-г (~ытп/2 -галятоп" " [»" '~"~:"е о ( >0>. Если т; и ч — целые числа, то 6 (х; тп тД есть функция распределения для отношения Рть т, = (т2Хм)/(чгХ~з)в где Х„и Х,„— неэависимые случайные величи- 2 2 ны Х' с т; и т, степенями свободы соответственно (см. (16)).
В общем случае величину Р„,„, подчиняющуюся Р-распределению, можно рассматРпвать как отношение теу~/т,ум где уг и 7, — независимые случайные величины, подчиняющиеся Г-распределениям с параметрами т;й и т~2 соответственно (см. раадел 11). Если т,-+ оо, то предел 6 (х; мы оо) = Пш 6 (х; т„ч,) представляет собой функцию распределения случайной величины Х~м/то Если же т, -~- оо, то предел 6 (х; со, т,) есть функция распределения случайной величины т,/Х,„ В частности, 6 (х; 1, оо) = 2Ф ( 1/ х) — 1, 6 (х; со, 1) = 2 И вЂ” Ф (1/[/ х) [. Эти равенства устанавливают свяаь между Р-распределением и нормальным распределени- ем (см. раздел 1). Так как Рь„— квадрат случайной величи- ны, подчиняющейся распределению Стьюдента с и степенями свободы (см.
таблицы 3.1 и 3.2, а также формулы (1), (5) и (18)), то $„Я= — [1+(шдп1)6(Р;1,п)). (38) В математической статистике (в частности, в дисперсионном аналиае; см. И34, 137, 147)) иногда вместо случайной величины Р,ь„применяется либо половина ее логарифма Я = 0,5 1п Р„,„(распределение величины Х наэывают У-распределением; см. [68, 134!), либо отношение я = тгР„,„/тв = Хви/Х~,, (см. [28, 68)). Таи как функции распределения величин Я и к представляют собой довольно простые суперпоэиции функции Р-распределения~ Р(Я(з) =6(еы; емче), Р(к~у)=6(" — 'у;тыч,), (39) то специальные таблицы Я- и и-распределений в настоящее время почти не испольэуются и в сборниках таблиц не публикуются.
Отметим, наконец, связь между функцией Р-распределения и функцией распределения Пирсона У1 типа (см. [52, 68[), которая эадается формулой Н(х; а, дп дв) = С ~ (у — а)"у "йу (х) а), а где д», д, и а — параметры ([а [ ( оо, д,) ) — 1, дг — де) 1), постоянная С определяет ся условием Н (оо; а, дп д ) = 1. Функции и 6 связаны соотношением Н(х,а,д„д.)=6 ~'-'-,'И вЂ” 1); 2(д, + 1), 2(д~ — Д~ — 1)~.
Этот далеко не полный перечень полеэных свойств Р-распределения объясняет то важное значение, которое придается Р-распределению в современной математической статистике. Тем не менее до сих пор сколько-нибудь подробных таблиц функции распределения 6 (х; тп че) не существует. Это, по-видимому, объясняется тем, что функция 6 связана простым соотношением (17) с функцией В-распределения, для которой созданы семизначные таблицы [Т25] (см. также таблицы 3.3). Непосредственно для Р-рас пределения существуют лишь таблицы квантилей и процентных точек, используемых в приложениях значительно чаще, чем значения функции распределения. ~)-процентная точка Р-распределения (иногда ее называют ~-процентным критическим значением) определяется как значение функции Р' ((7; чг, тв), обратной 100 [1 — 6 (х; чн мв)) % по аргументу х~ С [Р (ф т;, чв); тп чв) = =1 — (ИОО (0% ( (7 < 100%). Иными словами, при фиксированных ч,, тв и () значение (~-процентной точки Р (ф ть, ч,) определяется как корень х уравнения 6 (х; ты тв) = 1 — 0,01 (7.
В силу равенств (17) и (29) ()-процентные точки Р-распределения Р(С); ты тв) и Р-квантили В-распределения Х (Р; а, 5) связаны соотношениями вьРЮвотв) г О в, вь+чьд(О; вь,вь) ( 100' 2 ' 2/ Таким образом, (40) Р ((7; чб чв) Р (100 — ф т„ъ,) = 1. (41) Из формулы (41) следует, что для вычисления ()-процентных точек Р-распределения во всем диапазоне изменения () (т. е. от 0 до 100%) достаточно иметь таблицы функции Р ((); ч„т,) лишь для 4) ~( 50%. Важное значение для приложений имеют процентные точки Р-распределения при ч, = 1, ив = — р (р — целое полоягительное число).
В силу равенства (38) Р ((7; 1, т) = (в Щ/2; ч), (42) где г'(ф2; р) есть (()/2)-процентная точка случайной величины Г, подчиняющейся распределению Стьюдента с т степенями свободы или, что то же самое, ~)-процентная точка случайной величины [ ц ~ (см. (12) и таблицы 3.2). Согласно формулам (37) и (40) при чг = чв = ч имеет место равенство Р (ф ч, ч) = 1 + — (1 ~ )/ 1 + —,), (431 где в силу формулы (42) ьв = гв ((), т) = Р (24); 1, р) (знак перед радикалом должен совпадать со знаком разности (50 — ())%). Приближенные формулы для квантилей В-распределения (30) — (35) (см. также Н7)) позволяют получить аналогичные формулы для 2 Л. Н. Ввльшвв, Н.
В, Смирнов процентных точек Р-распределения. Например, если тв = сопз6 и ть — ~- со, то в силу (30), (31) и (40) РФ; тм тв)- ~~ — 4 + (~в — 2) — 2*'-' 2ть+т, 2 х тв В (2ть+ т, — 2) (44) где х = х (100 — (7, тв) есть (100 — Д)-процентная точка )(в-распределения с тв степенями свободы (см. раздел 11). Если же ч, = сопзФ и тв — оо, то в силу (41) и (44) Р(ф тм тв) вь 2и т~ — 4+ (вь — 2) у — 2рв 2 у Уь Уь+ ив 6 (2вь + ть — 2) (45) где у = х 0;)ь вь). СОСТАВ ТАБЛИЦ. ИНТЕРПОЛЯЦИЯ И ЭКСТРАПОЛЯЦИЯ В таблицах 3.5 даны значения Р ф; чи мв) для ~ = 50; 25; 10; 5; 2,5; 1; 0,5; 0,1; 0,05%; ч, =- 1 (1) 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60, 120, оо; тв = 1 (1) 30, 40, 60, 120, со.
Таблицы, соответствующие значениям ) 0,5%, содержат пять значащих цифр (эти таблицы заимствованы из работы [Т18)). Таблица процентных точек для () = 0,1% перепечатана из сборника таблиц [Т27); последняя таблица, з которой с) = 0,05%, взята из книги [45[. Вычисление (7-процентных точек при ~) = 75 90 95 97 5.
99 99 5 99 9 99 95% следует производить по формуле (41). Если значения аргументов (ч„ т,) не совпадают с табличными, то для вычисления Р ф; тм мв) при гп зв ( 120 рекомендуется применять гармоническую интерполяцию (линейную или квадратичную), которая представляет собой обычную параболическую интерполяцию, но не по аргументам т, и ч„ а по 1/тр и 1/тв. Для облегчения гармонической интерполяции в таблицах 3.5 шаг по аргументам ч, и тв выбран с таким расчетом, чтобы обратные величины 1/чы соответствующие табличным значениям т, ) 10, а также 1!ч„соответствующие табличным значениям чв ) 30, были равноотстоящими.
В частности, если т=10,12,15,20,30,60, оо, то о<1%; <,ум> 6,8510 7,0771 7,3141 7,5625 120 60 40 30 2261 2370 2484 где — 34— 1 6 5 4 3 2 —, —,О. 60 ' 60 ' 60 ' 60 ' 60 ' 60 ' Точно так же, если т = 20, 24, 30, 40, 60, 120, оо, то 1 6 5 4 3 2 1 т 120'120'120'120'120'120' 1. Пусть, н>пример, т< '> ) э<о> ' то> ) о<о> — последовательные табличные значения аргумента т такие, что — — й.
, <2), <1>, и>, <о> <о> <-и И пусть требуется с помощью квадратичной гармонической интерполяции вычислить зна- чение некоторой функции 7' (т) по заданным зна- чениям ( . <(,<-») у — < (т<о>) У = У (т<"), У = У (т<") (предполагается, что т<о> ) т ) тп>). Соответствующая ннтерполяционная формула имеет вид (формула Бесселя) и (1 — и) Ай — А> < 7 (т) = <о + и<>)о — ..„, (46) 1< о — 1!о<о> тн> <о<о> — т) ь ( <о> <ы) Л(<=У,„— 7> ( = — 1, О, 1).
(47) Если в правой части формулы (46) пренебречь последним слагаемым, то получится формула линейной гармонической интерполяции. Интерполяцию функции г" ф; ты мо) по обоим аргументам т, и то можно осуществлять последовательным применением формулы (46). Пусть, например, требуется вычислить Р (0,5%; 48; 48). В этом случае т'," = то" = 60, т>" = = то<" = — 40, поэтому согласно (47) для обоих аргументов фазы интерполяции одинаковы:. 40 (60 — 48) 1 (48(60 — 40)) 2 ' По таблицам 3.5 г'(0,5%; 60; 60) = 1,9622, Е (О 5%; 40; 60) = 2,0789, г" (О 5о4, '60; 40) = 2,1838, Р (0,5%; 40; 40) = 2,2958. Линейной интерполяцией находим Р(0 5%; 48; 60) = 1,9622 + 0,5 0,1167 =- = 2,0206, Е(0,5%; 48; 40) = 2,1838 + 0,5 0,1120 = = 2,2398, поэтому окончательно Г(0,5%; 48; 48) = 2,0206 + 0,5.0,2192 = = 2,1302.
Более точное приближение для искомой процентной точки можно получить по формуле (43). По таблице 3.5 находим Поэтому согласно формуле (46) Р(1о%;1;48) = — 7,0771+ — ', .0,2370— 1 0,2484 — 0,2261 7 1942 8 2 В силу (43) окончательно получаем г" (0,5%; 48; 48) = =1+ — ', (1+ ~/ 1+ )= 2,1300. Таким образом, в данном примере относительная ошибка линейной интерполяции менее 0,01%.
Вообще, линейная (квадратичная) гармоническая интерполяция таблиц 3.5 ааведомо обеспечивает правильность трех (четырех) значащих цифр. 2. Если оба аргумента т< и то превосходят 120, то интерполяция таблиц 3.5 становится затруднительной. В этих условиях для вычисления процентных точек г'-распределения можно воспользоваться приближенными формулами (44) и (45). Результат получится точнее, если предварительно вычислить соответствующу<о квантиль В-распределения по формулам (31) и (ЗЗ), а затем воспользоваться' равенством (40). Например, по этим формулам Х(0,005: 60; 60) = 0,38379 (в таблицах 3.4 указано точное значение 0,38380), поэтому согласно равенству (40) Р (5 о%; 120; 120) ', = 1,60555 (по таблицам 3.5 г'(5%; 120; 120) = 1,6055).
Относительно интерполяции таблиц 3.5 по аргументу <, см. [108!. НАЗНАЧЕНИЕ ТАБЛИЦ И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ Наиболее часто таблицами процентных точек )г-распределения пользуются в том случае, когда имеются две выборки: $ь $ь ° ° о $и> Чы Чо~ > Чои ности /(6) для названного критерия арв одно- сторонней конкурирующей гипотезе Н» (о~/о» > ) й) определяется как вероятность события з1/а» йР (В тт т») вычисленная в предположении а,/а» = /с (1 + + 6) (6,,» 0). Таким образом, У(6)=1 — С ~]-] — 6РЖ,чмч»)[ммч»~, (49) и поэтому согласно формуле (17) для вычисле- ния / (6) можно воспользоваться таблицами функции В-распределения [Т25] (см. табли- цы 3.3).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
