Большев Л.Н., Смирнов Н.В, Таблицы математической статистики (1983) (1186204), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Статистика критерия Еокрена 6 выраи<ается форму- лой Если с основной гипотезой Не конкурирует гипотеза Ы„согласно иоторой одна из дисперсий больше всех остальных, равных друг другу1 1П 2,' 1,13 4,05 6,38 2,67 0,5000 0,1429 0,0476 0,0345 0,244 9,791 38,917 26,481 2 7 21 29 0,1222 1,3987 1,8532 0,9821 2,26 28, 35 133,98 77,43 Сумма 1У=59 0,7250 — 47— — 2 а, О1 = О2=...= О.. н, (НОМЕР 1 ЗаРаНЕЕ НЕИЗВЕСТЕН), тО ПРИ т — э оо мощности ЛХ-критерия Бартлетта и критерия Кокрена будут асимптотически эквивалентными. При конечных значениях э критерий Бартлетта несколько мощнее критерия Кокрена.
Таблица 4.3а. Критерий Вартлетта Так как распределение статистики ЛХ не всегда достаточно хорошо аппроксимируется )(2-распределением (например, такое приближение будет неудовлетворительным, если некоторые из т1 равны 1, 2 или 3), то для отыскания критических значений М были предложены таблицы (см. сборник (Т27)), основанные на уточнении указанной аппроксимации (см. (139)). Эти таблицы позволяют оценивать (»-процентные точки т (ч) статистики М для (» = 1 н 5ейе в зависимости от /с, а также от %~ 1 1 чч 1 1 с1 = у — — — сз= у — — —;„. (5) 21 11 11 (функция т (у) определяется как решение уравнения Р (ЛХ ) га) = 0,01С1). Имеет место приближенная формула 1 тф) = бС ((ст сз) тс(12»,/с, ст) + + (сз — С) тиь (Х», /с, с,)], (6) гДе лэ, и лте — некотоРые фУнкЦии, зависЯЩие только от 1», й и с„' величины С и 12С задаются формуламп С = с(//сз, /1С = сд — сэ //сэ. (7) Так как в практически интересных случаях С ( с, ( С + ЛС, то искомое значение т ((») заключено между ть ((», /с, с,) и т, (с», /с, с,).
В таблице 4.3а даны значения функций т, и шс с двумя десятичными знаками для /с = =3(1)15,с,=О(0,5) 5 (1) 10 (2)14и(»= =- 1 и 5% (строки, в которых указаны т, и ты обозначены (а) и (Ь) соответственно). При с, = О значения функций т, и ть представляют собой (»-процентные точки тэ-распределения с /с — 1 степенямл свободы (см.
таблицы 2.2), т. е. т, = ть = х (ч, й — 1). Так как при фиксированном /с справедливо неравенство с, ( й — 1//с (с, = /с — 1//с, если все т1 = = 1), то табличные значения даны лишь для с, ( /с. Если т1 не очень сильно отличаются друг от друга, то искомое значение т близко к лча. Применяя М-критерий Бартлетта, рекомендуется пользоваться следующими правилами: а) вычислить М по формуле (3)1 б) СраВНИтЬ М СО ЗНаЧЕНИяМИ фуНКцИй Пэе и т„в строке й таблицы 4.3а (значенне (» выбирается заранее); если при всех с, в таблице 4.3а 2п, ( ЛХ, то гипотезу равенства дисперсий Не слеДУет отвеРгнУть; если нсе пРи всех с, будет ЛХ ( шь, то Нс не отвергается; в) лишь в случае шах 2п, ) М э ппп п12 с и следует вычислить с, (см.
(5)) и по таблицам 4.3а найти т, (1»; /с, с,) и ть (/»; /с, с,); если т, (1»; /с, с,) ( М, то Нс отвергается; если же М ( все (В й, с,), то Н, не отвергается; г) при т, (1»; /с, ст) ) М ) ть (1»; /с, с1) следует вычислить пт (1») по интерполяционпой формуле (6); если т (1») ( М, то Н, отвергается; если же М( т (1»), то Н, не отвергается. Для облегчения интерполяции по формуле (6) к таблице 4.3а прилагается трехзначная таблица функций С и стС (см. (7)) для й = =3(1) 15 и с, = 0,5 (0,5) 5 (1) 8 (2) 14; еслис,=- = О, то С = /тС = О. Н р и м е р.
Для сравнения точности результатов хииического анализа в четырех лабораториях были вычислены значения несмещепных оценок ч2 для неизвестных дисперсий оэ. Эти значения указаны в таблице Свидетельствует ли различие выборочных дисперсий 22 о различии истинных дисперсий оэ? Для ответа на этот вопрос воспользуемся критерием Вартлотта.
Имеем 1п ( — 7 т.ас/' = 1п — '= Рп4,102 = 1,4115 поатому по формуле (3) М = 59 1,4115 — 77,433 = = 5,85. Согласно таблице 4.3а полученное значение М меньше ть (5%; 4, с1) при любых с1. Следовательно, с уровнем значимости 5% различие выборочных дисперсий следует признать везначимым. Колк бы оказалось, что М = 8,60, то для проверки гипотеаы 7»е нужно было бы вычислить си В данном случае с1 = 0,725 — 1/59 = 0,708, поэтому по таблице 4.3а линейной интерполяциеи находим та (5%' 41 0 708) = 8 24+ 0 42'0 39 = 8~40 < 8 60ю ть (5%; 4; 0,708) = 8,00+ 0,42.0,17 = 8,07.
Иными словами, величина М = 8,60 свидетельствовала бы о значимости различия между дисперсиями. Наконец, если бы найденное значение М удовлетворяло неравенствам 8,07 < М < 8,40, то для проверки гипотеаы Не потребовалось бы вычислить са. В дан- ном случае сэ = 0,128, поэтому согласно формуле (б) (см.
также вспомогательную таблицу, приложенную к таблице 4.3а) т(5%) = 8,40 (0,708 — 0,128) + 8,07 (0,123 — 0,022) О,ббб 8,35, В таблице 4.3а критические аначения т, и тл даны лишь для Й ) 3, так как при /с = = 2 сравнение дисперсий производится при помощи критерия дисперсионного отношения Р = э~/с, '(см. таблицы 3.5). Разумеется, критерий Бартлетта применим и при й = 2; нетрудно убедиться, что статистики Р и М в этом специальном случае связаны соотношением 'л «л -1- «дР / При любом М ) 0 это уравнение имеет два действительных корня Р,) 1 и Р, ( 1 (если М = О, то Р, = Р, = 1).
Таким образом, событие (М)~ т (~)) эквивалентно сумме событий (Р э Р = Р (ч)К «л «)) + (Р ( Р = Р (100 — (),; «м мл)) причем (), + Ч~ = С) и, вообще говоря, (/л Ф Ф с)л (сс)л = с,) лишь в специальном случае «л = «л). Однако можно показать, что при «, ~ «л распределение статистики М удовлетворительно аппроксимируется Р-распределением с одинаковыми степенями свободы Эта аппроксимация основана на предположении, что распределение случайной величины М при й = 2 зависит лишь от с, и поэтому 2 1 1 1 1 — — — = сл = — + —— «э «л + «г Подробнее о критерии Бартлетта см.
(5, 47, 115, 139). Табл м ца 4.3б. Критерий Кокрепа В таблице даны значения д ((); Й, «) процентных точек случайной величины 6 (см. (4)) такие, что ( /(1 2 )("(6 -8(«) /с,«))(— Иными словами, относительная ошибка з уровне значилсости для приближенного критического значения б (ь); Й, «) отрицательна и по абсолютной величине не превышает (сс/2)%: с) 1оор(п(а(В х, И вЂ” 0 200 ( Аргументы сс, й и «принимают аначения: () = =1 и 5 «4 /с= 2 (1) 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60, 120, оо; « = 1 (1) 10, 16, 36, 144, со. Таблица 4.36 перепечатана из сборника (148) с исправлением ошибок. Для вычисления д (С); Й, «) в промежуточных точках (Й, «), не совпадающих с табличными, можно воспольаоваться обычной параболической интерполяцией по аргументам 1/Й и 1/)/«. Табличные значения аргументов й и « выбраны таким образом, чтобы последовательности 1/й = О, 1/120, 1/60, 1/40, 1/30, 1/24, 1/20; О, 1/60, 1/30, 1/20, 1П5, 1/12, 1/10: представляли собой арифметические прогрессии с шагами 1/120, 1/60 и 1/12 соответственно.
Если «( 2 или Й ( 4, то интерполяция таблицы 4,36 с точностью до 10 ' становится весьма трудоемкой (а в некоторых случаях и просто невозможной). В этой обстановке полезно иметь в виду, что приближенные критические значения д, данные в таблице 4.3б, представляют собой квантили В-распределения с параметрами а = «/2 и Ь = «(Й вЂ” 1)/2 (см. таблицы 3.3 и 3.4): б(сл)й «)=71( 1ооь ' 2 2 )' Поэтому для оценки д можно воспользоваться формулами (3.30), (3.31), (3.32) и (3.37).
В частности, если й ~ )20, то с погрешностью не более чем 10 ' е(сс)й ) 2х 4 — «л+ (2 — «) х+ 2х" 2+'+ ь( (24 — 1) — 2) (8) где ( 1 20оь ) ~ 100а 2)ив 0 если «=2 (Ч' (р) есть р-квантнль нормального распределения; см. таблицу 1.3). Если Й = 2, то статистика 6 критерия Кокрена связана со статистикой двустороннего Р- критерия соотношением 6 = Р/(Р + 1).
При й ) 2 и «) 10 для вычисления критических значений д можно воспользоваться формулой (8), в которой в качестве х следует ваять 0',с/Й)-процентную точку гх-распределения с « степенями свободы, т. е. х = х (()/Й, «) (см. 48— то по критерию Попрека с уровнем аначимости 5% гипотезу равенства дисперсий следует отвергнуть. Попутно заметим, что если бы для вычисления г мы воспользовались приближенной формулой (3), то получили бы х = х (1%, 5) = 15,036 (по таблице 2.2а) к г = 0,5063. Подробнее о критерии Коирена см.
ИЗ, 65, 115, 1481. Мощности критериев для проверки гипотезы о равенстве дисперсий посвящена работа [461, где подробно рассмотрен частный случай т = 2. Таблица 4.4. Критерий сравнения средних значений в двух нормальных совокупностях Пусть $1 лг ст 2 $1 з И ..., 52, „, — взаимно независимые случайные величины, подчиняющиеся нормальным распределениям с параметрами (а„о,) и (а„о,) соетветственно (величины а,, а„о, и о, предполагаются неизвестными). Для сравнения средних значений а, и а, и, в частности, для проверки гипотезы а, = а, обычно пользуются критерием, основанным на статистике и = (т) — г[)/[/Л14 + Лзг! (9) где 0=а, — а„Л, =1/ит, Л, =1/и„ зг пг ~~,,(221, — хь )' г=1 ~(~., — ь.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
