Большев Л.Н., Смирнов Н.В, Таблицы математической статистики (1983) (1186204), страница 10
Текст из файла (страница 10)
ПРИМЕРЫ Пусть требуется найти 1,, (28; 73) и 1... (16; 85). В первом случае точна с яоордйватами (а, Ь) прииадлежит области (З.За), поэтому для вычислеиия функции В-распределеиия воспользуемся таблицей 3.3а. Согласио (22) и (23) имеем 1 1 юэ = — + — = 0,049413, ю = 0,222290; 28 73 1 / 1 1 0,222290 ( 28 73 ) 1а 219 — 1в 196 5,38907 .. 5,278М 0,22229 0,22229 По таблице 1А Ф (в) = 0,69117 и по таблице З.За (уг (и, и) = 0,01304, срэ (и, э) = — 0,01140. Согласво формуле (21) окончательно получаем 1э,э (28; 73) = 0,69117 + 0,01304 — 0,0494 0,0114 = = 0,70365.
Точное эвачеяие с пятью десятичными злаками равно 0,70364. Ва втором случае тачка (а, Ь) принадлежит области (3.36), поэтому для отыскания 1, э (16; 85) следует воспользоваться таблицей З.Зб. Согласно (27) имеем у = 0,3.185/1,7 = 32,647. По таблице 2Д Р (2у, 2а) = 0,00046, и по таблице 3.36 у (у, а) = 11. Согласно формуле (26) окоичательиа получаем 1э э (16; 85) = 1 — 0,00046 + 11/(6 (185)э) = 0,99959.
Точное значение с пятью десятичиыми знаками равна 0,99959. Формулой (26) и таблицей 3.36 можно воспользоваться лля вычисления 1„(а, Ъ) при а ~ Ь ~ 50. Если Ь) 15, то в формуле (26) ! г [ ~ 10-э; с ростом Ь погрешность г убывает. Ниже указаны приближенные (вычислеииые по формуле (26)) и точные эяачевия функции 1 (10; Н) для х = 0,1 (0,1) 0,9: Даже в таком невыгодном случае, когда а близко к Ь, приближеииое виачеиие 1„(10; 11) ие отличается от точного более чем яа 10 э. В терминах бивомиальиого распределения (см. (19)) это оэиачает, что есле т~(п/2 и и)~30, то т ~ т~~, С" р" (1 р)" "— Р(2у,2т+2)+ т(у, т+ 1) ., „,, ~~;10-э, где у = р (2в — т)/(2 — Р) Можно показать, что когда и — аа, то — ( — '1 эвр гя[т, р) =0( э<т<а/э ~ 1' в ) э<э<э Таким образом, указанная аппроксимация бииомиаль.
ного распределения может с успехом заменить менее точные аппроксимации, которые в теории вероятностей формулируются в виде теорем Муавра — Лапласа и Пуассона (см. [38, 128[). Т а'б л и ц ы 3.4. Кввнтили В-распределения Таблицы предназначены для вычисления Р-квантилей В-распределения, которые определяются как значения функции Х (Р; а, Ь), обратной Х„(а, Ь) по аргументу х (1 (а, Ь)— функция' В-распределения; см. (14)): 1х[Р;а, ь[ (а, Ь) = — Р (О ( Р ( 1; а, Ь ) 0). Иными словами, при фиксированных а, Ь и Р значение Р-квантили Х (Р; а, Ь) определяется как корень уравнения 1, (а, Ь) = Р. Из формулы (15) следует, что Х(Р;а,Ь)+Х(1 — Р;Ь,а)ив ж 1, (29) поэтому для вычисления Р-квантилей В-распределения во всем диапазоне изменения Р (т.
е. от 0 до 1) достаточно иметь таблицы функции Х (Р; а, Ь) лишь для Р ~( 0,5. Пусть 1 = 1/(2Ь + а — 1). Если а = сопз1 и 1 — > 0 (т. е. если Ь -э оа), то, как показано в работах [11, 17), Х вЂ” 2х/( — -,[- х), (зо) Х вЂ” Х*— 2/1+ х — [2 [аэ — 1) + (а — 1) х — хе[~/6 (31) где х = х ((), 2а) — так называемая ~)-процентная точка )(э-распределения с 2а степенями свободы н () = 100 (1 — Р)а/о (см.
раздел П и таблицы 2.2); при этом Х вЂ” 2х//(2 + х/) = = О (Р) и Х вЂ” Х* = О (1)э. Указанные оценки равномерны относительно вероятности Р, меняющейся в произвольном фиксированном интервале Р, ( Р ( Р„ целиком содержащем- 29— где <' 8 — 8м + иа /-— Со(Ш) = (34) 16 (2 — м)с При ис = сопяь и Ь -а сю погрешность приближенной формулы (33) есть величина порядка (а + Ь) '/' равномерно относительно вероятности Р, меняющейся в произвольном фиксированном интервале Р, ( Р ( Р, (О ( Р, ( ( Р, " 1).
Таблица коэффициентов с, (ю) и с, (50) (в единицах шестого десятичного знака) указана ниже: 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 23 80 100 с2(м) 100 сс(м) ся внутри интервала (О, 1), т. е. 0 ( Ро ( (Р1 (1 Если отношение а/Ь близко к единице, то точность формул (30) и (31) снижается (особенно для верхних квантилей, соответствующих значениям Р ) 0,5). С помощью некоторого видоизменения формулы (31) можно добиться, чтобы приближенные значения верхних квантилей В-распределения были асимптотически правильными при любых 0 ( а/Ь ( 1 и Ь -а оо. Положим ис = а/ (а + Ь) (ю — математическое ожидание случайной величины, подчиняющейся В-распределению с параметрами а и Ь). Как известно (см., например, [9, 11, 17, 47)), нормальное приближение для Х (Р; а, Ь) или и2 = сопя1 и Ь а оо имеет зид Х = и1+ 'Р (Р) )/2я (1 — ю) )/а+ Ь + Г~"2(Р) — 1~' 3 +ь+0[(а+ Ь) ! (32) где Ч" (Р) есть Р-квантиль нормального распределения (см.
раздел 1 и таблицу 1.3). Аналогичяое приближение для Р-квантилей )(0-распределения с 2а степенями свободы задается формулой (см. Н9, 29[) х=2(а+ Ь)~в+ Ч" (Р) [/10 + + —,['Ро(Р) — 1) —, + О [(а+ Ь)"'')1. Таким образом, если в правой части формулы (31) заменить х его асимптотическим выраокением и результат вычесть нз нормального приближения (32), то получим Х(Р;а, Ь) — Ха(Е', а, Ь) — б= = — с1 (и01 — са (ю), (33) Ч' (Р) Ч"2 (Р) !/,+ь а+ь ' о,зо оло 0,45 0,50 126 344 255 625 482 867 1067 1736 100 сс(ю) 100 сс(м) 57 175 Формулу (33) можно упростить, положив О, если Р (0,5, б=- Ч, („) (35) — 201 (20) „если Р) 0,5.
'$' а+ Ь Точность такой аппроксимации окааывается вполне удовлетворительной. СОСТАВ ТАБЛИЦ. ИНТЕРПОЛЯЦИЯ И ЭКСТРАПОЛЯЦИЯ В таблицах 3.4 даны значения Х (Р; а, Ъ) с пятью значащими цифрами для Р = 0,5; 0,25; 0,1; 0,05; 0,025; 0,01; 0,005; 0,0025; 0,001; т1 = 2Ь = 1 (1) 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60, 120; то = 2а = 1 (1) 30, 40, 60, 120, со (таблицы заимствованы из работы [Т44! и воспроизводятся с исправлениями и дополнениями, указанными в статье: А ш о я В.
Е. АИ[ь!она! регсепьаяе ро!пья 1ог ЬЬе шсошр[еье ЬеЬа Жяьг!Ьа11оп.— Вюшеьг[[га, 1963, 50, р. 449— 457). Для вычисления Р-квантилей при Р = 0,75; 0,9; 0,95; 0,975; 0,99; 0,995; 0,9975; 0,999 следует воспользоваться формулой (29). Несколько необычный выбор шага по аргументам т, и то объясняется желанием автора таблиц [Т44[ применить интерполяционную формулу Лагранжа. Для больших значений тг и то рекомендуется гармоническая интерполяция (т. е. обычная параболическая интерполяция, но по аргументам 1/т1 и 1/т;, нетрудно заметить, что обратные величины для о = 20, 24, 30, 40, 60, 120, оо образуют последовательность с постоянным шагом 1/120). Описание метода интерполяции функции Х (Р; а, Ь) и таблица интерполяционных коэффициентов Лагранжа для гармонической интерполяции даны Комри и Хартли [63!.
Эти методы довольно сложны, поэтому мы ограничимся лишь некоторыми сравнительно простыми выводами, которые почти непосредственно следуют из асимптотических формул (30) и (31). 1. Если а < Ь, а = сопяь н требуется интерполировать Х (Р; а, Ь) по аргументу Ь, то — 30— в силу (30) естественно ожидать удовлетворительный результат от обычной параболической интерполяции функции 1/Х (Р; а, Ь) по аргументу 1/1 =- тл + 0,5тл — 1, а значит, и по ть Например, если Р =- 0,005, то при тл =- 10 по таблице 3.4 находим (Л и Лл — перььле и вторые разности) 10 15 20 1/Х 0,14606 0,086595 0,061684 0,047930 — 378 — 116 47 015 46 637 46 521 10 20 зо 40 6,8465 11,5480 16,2117 20,8638 Для того чтобы вычислить Х при тл = 12 и 24 (Ь = 6 и 12), применим к функции 1/Х квадратичную интерполяцию (во втором случае — по формуле Бесселя). Фазы интерполяции в обоих случаях одинаковы: и = 0,2 (12— — 10) = 0,1 (24 — 20) .== 0,4, поэтому для тл = = 12 л =10 л(68465+ 0,4 23599— — 0,4 0,6 0,5( — 183)) = 7,7936, т.
е. Х (0,005; 5; 6) = 0,12831 (все знаки совпадают с табличными). Для тл = — 24 по интерполяционной формуле Бесселя получаем Х.= 10 '(115480+ 0,4 46637— 0,4 0,6 — 378 — 116) 13 4165 т. е. Х (0,005; 5; 12) = 0,074535. Это значение больше соответствующего табличного на 4 10 '. 2. Если а) Ь, Ь = сопзь и требуется интерполировать Х (Р; а, Ь) по аргументу а, то в силу формул (29) и (30) естественно воспользоваться интерполяцией функции 1/(1 — Х) по аргументу т, = 2а. 3.
Если тл = 26 ) 40 или тл = 2а ) 60, то интерполяция и экстраполяция таблиц 3.4 становятся невозможными. В этих условиях практически удовлетворительные результаты может дать непосредственное определение Х по асимптотической формуле (31). Пусть, например, требуется вычислить значение Х (0,01; 60; 20), Так как в данном случае Ь( а, то вычислим сначала Х (0,99; 20, 60), полагая тл = = 2Ь = 120 и т, = 2а = 40. По таблице 2.2а находим х (1%; 40) = 63,691 и, кроме того, 2/1 = 2 (26 + а — 1) = 278, 1/6 = 0,001199. Согласно формуле (31) Хь= 2 63,691 278+ 6З,6И вЂ” (798+19 6З,6И вЂ” (63,691) )О,ОО1199 = 0,370136.
Так как в данном случае ли = а/(а + Ь) = — 0,25 и по таблице 1.3 Ч' (0,99) = 2,33, то согласно формуле (33) У8О = — 11,4 10 '. Поэтому Х (0,99; 20; 60) = Хэ + б = 0,37012 и, значит, в силу тождества (29) Х (0,01; 60; 20) = 1 — 0,37012 = 0,62988.
Полученное значение совпадает с табличным. Если бы мы вместо (33) воспользовались формулой (35), то результат остался бы тем же самым, так как в данном случае 2с, (ли) Ч' (Р)/ 1/а + Ь = 12 10 '. 4. Так как интерполяция и экстраполяция таблиц 3.4 по обоим аргументам довольно сложны, то формулами (31) и (35) можно воспользоваться для приближенного вычисления Х (Р; а, Ь) при всех (а, Ь), не совпадающих с табличными точками и лежащими вне квадрата 0 (а(5, 0(Ь ( 5. Например, по формулам (31) и (35) Х (0,005; 5; 5) = 0,14598, Х (0,995; 5; 5) = 0,85371 (каждая квантиль вычислялась непосредственно, соотношение (29) не использовалось).
По таблицам 3.4 точные значения этих квантилей равны 0,14606 и 0,85394, поэтому относительные ошибки первого и второго приблияленных чисел не превышают 0,06% и 0,03% соответственно. Нормальное приближение (32) при а = Ь = 5 действует еще неудовлетворительно и дает для искомых квантилей грубые оценки 0,09272 и 0,90728, хотя погрешности формул (32) и (35) имеют одинаковый порядок малости О ((а + + 6)-~6) 5. Только что разобранный пример носит иллюстративный характер, так как, если а = = 6, имеет место тождество по я1 1„(Ьл 6) ьм — ~1 + з1дп (я — — ) 111х-ц ( — ~ 6) ~ ~ (36) где з(дп у =1, если у) О, и з1дп у = — 1, если у ( О. Следствием равенства (36) является тождество относительно Р Х(Р;Ь,Ь)= = — ) 1+ зляп (Р— — ) )/Х(~ 2Р— 1); 1/2,6)~ . (37) Так как приближенная формула (31) при малых а действует точнее, чем при больших, то для определения Х (Р; Ь, Ь) рекомендуется сначала вычислить Х ([2Р— 1 [; 1/2; Ь), а затем применить формулу (37).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
