Большев Л.Н., Смирнов Н.В, Таблицы математической статистики (1983) (1186204), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Интерполяциоиная формула имеет вид В «, п)— = (Л «од и,) — пА»В «о, ио))+ и(А«Л(1». ~)— — и [А«Л «, п ) — А«Л «,по)[)д (11) где символами А, и А„ обозначены разности функции В по аргументам 1 и и соответственно: А«Л «„п) = Л (1„п) — Л «о, п), А»Л «' ио) Л «д ддд) Л «д ио) (в таблице 3.1б разности А»Л «о, и,) и А„ «о, по) указаны рядом с соответствующим значением функции В «о, по)). Пусть, например, требуется вычислить 81 (3~ 3), 81(318, 305), 822 (19/9).
В первом случае 2 = )/3 = = 1,732051..., поэтому д, = 1,6, 2„= 1,7, 21 = 1,8. Так как сосзднио табличные значения (см. таблицу 3.1а) 81(2 ) = 0,82219, бд (2,) = 0,83075, 8 (20 = = 0,83859 отличаются друг от друга нв более чом четырьмя последними цифрами, то фазу ивторполяции и вычисляем с чотырьмя десятичными знаками: и = = 0,3205, (1 — и) = 0,6795. Значение квадратичного коэффициснта и (1 — и) достаточно вычислить с тремя знаками: и (1 — и) = 0,218, и (1 — и) /2 =' 0,109.
Согласно интерполяционной формуле (9) имеем бд (У 3) = — 0,109 0,82219 + (0,6795+ 0,218). .0,83075 + (0,3205 †,109).0,83859 = 0,83334. Точное значсние бд ()/3) = (агс18 т'3+я/2)/я = 5/6 = 0,83333..., и, значит, погрешность получонного приближенного значония но нровышаот 8 10 '. Для определения 82 (318, 305) воспользуемся формулой (10). Так как 1 — 81 (8) = 0,03958, то 3 64+2 1 — Юд (318, 309) 0,03958 [/ 3 (318 309)2 8 1 = 0,03958 . 318 309 1 + 96 —— 0,00100. Осталось опродвлить 822 (19/9).
Так как в данном случаэ а ) 20, то согласно формуле (3) в качестве начального приближения для 82 (д) можно васпольвоваться величиной Ф (2) (2 = 19/9 = 2,111...); по таблице 13 находим Ф (19/9) = 0,98262. Для уточнения этого приближения следует вычислить поправку Л по таблице 3.1б и применить формулу (8). Полагая и, = 20, и, = 24, го 2,1 м г,= 2,2, находки 2,11 ... — 2,1 и = О 1 = 0,111 ..., 24 — 22 е = .120.
22 24 = 0,4545 ..., Н ("о пг) = — 0 00535 Ьи Н ('о ио) = 0 00110 Ьг Н (го иг) = 0,00041, Ьг Н (го ио) = 0 00048. Таким образом, первое и второе выражения в фигур- ных скобках формулы (11) равны соответственно — 0,00535 †,4545 0,00110 = — 0,00585, 0,0004о1 + 0,4545 0,00007 = 0,00044, в. зпачгит, согласно (1) Б (19!9, 22) — 0,00585 + 0,111.0,00044 = =- — 0,00580. По формуле (8) окончательно получаем ды (19/9) = 0 98262 — 0 00580 = 0 97682 С помощью шестизначных таблиц [Т40] можно убедиться, что все выписанные цифры верны. Таблица 3.2. Процентные точки распределения Стьюдента Таблица предназначена для вычисления (7- процентных точек распределения Стьюдента (иногда их называют Сг-процентными критическими значениями), которые определяются как значения функции 1((),и), обратной 100Н— — В„(1)] о~,' по аргументу 1 (о'„(1) — функция распределения Стьюдента; см.
табл. 3,1): В„[г (г",о, п)] ьн 1 — о,7!100 (0% ( сг ( 100%, п = 1, 2,...). Иными словами, при фиксированных (г и п значение (г-процентной точки 1((г,п) определяется как корень уравнения 1 — Ви (1) = = 0,01гг. Из формулы (5) следует, что 1((), и) + 1(100 — (), и) = О, поэтому для вычисления процентных точек распределения Стьюдента во всем диапазоне изменения Ч (от 0 до 100%) достаточно иметь таблицы функции 1 (о,г, и) лишь для () ) 50%, Иэ формулы (2) следует, что 1 (50%, и) = 0 и Р ( ] 1„[ ( Ю ((7, п)) = 2Ю„[1 ((7, п)] — 1 = = 1 — 2~)7100, (12) т. е. с)-процентная точка 1(г',г, п) случайной величины 1„, подчиняющейся распределению Стьюдента, представляет собой одновременно 2о,г-процентную точку случайной величины ] (и[.
Прн составлении таблицы 3.2 за основу была принята аналогичная таблица е), опубли- о) Прп атом были обнаружены и устранены ошмбкв в таблицах процентных точек распределенвя Стью- лепта [Т17] в [Т40]. кованная в [Т40]. Для упрощения интерполяции добавлены 1 (о),и), соответствующие п = 32 (2) 38; 42 (2) 48; 55, 65. Одновременно с этим исключены те 1 (Ч, и), для которых и = 350, 450 и и, 500. В результате получилась таблица, линейная интерполяция которой по аргументу 1!п при и ) 30 дает абсолютную погрешность менее 10 о.
Соответствующая интерполяционная формула имеет вид 1 ф, п) = (1 — и) 1 М, ие) + иг © пг), (13) где и, и и, — последовательные табличные значения аргумента гг и 1/ио — 1!и (и — ио) пг и 1гпо — 1гпг (пг — и ) п Для интерполяции по аргументу (7 могкно воспользоваться тем обстоятельством, что относительное отклонение (1 (г7, п) — г ((7, оо)) 71 (О, оо) представляет собой четную функцию от аргумента г (Ч, оо), которая прн больших и ведет себя приблизительно как А + В [1 (о',г, оо)]' (А и  — постоянные). Таким образом, относительные отклонения, соответствующие табличным значениям можно линейно интерполировать по аргументу [1 ((г, оо)Р (значение 1 ((г, оо) в силу формулы (3) совпадает с Ч"(1 — 0,01 ~) и легко вычисляется по таблице 1.3).
Этот прием позволяет интерполировать процентные точки г ((г, п) по аргументу гг при п о 20 с абсолютной погрешностью менее 10 '. НАЗНАЧЕНИЕ ТАБЛИЦ И ПРИ51ЕРЫ ИХ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ Таблица 3.2 (вместе с таблицами 3.1) предназначена в первую очередь для тех статистических расчетов, которые непосредственно связаны с распределением Стьюдента (построение доверительных интервалов, отыскание критических областей для критерия Стьюдента и т. д.; см., например, [68], гл. 29, 34 и 35; [47], гл. 5 и 16; [28], гл.
6). Кроме того, ати таблицы полезны для решения ряда прикладных задач математической статистики, которые непосредственно с распределением Стьюдента не связаны. Вычисление критических значений для нормированного выборочного отклонения (см., например, [68], гл. 29). Пусть эд, $„ независимые случайные величины, подчиняющиеся нормальному распределению с параметрами (О, 1). Нормированными выборочными отклонениями называют отношения т> 1 ЧЧ з 1Ч.Ч $= — ~ Ь„зз= — Ч Дс — с)з, 1=1,2,...,п.
Все величины тс распределены одинаково н имеют плотность вероятности 1 Г Ип 1]/2) ~ хз 1(з 4)/3 ('1 ' 1"' У'(и 1) >с Г ((и — 2)/2) ~ л — 1 / ((х ) ( )/ и — 1). Соответствующее этой плотности распределение сколько-нибудь подробно не табулировано. Для решения статистических задач, связанных так или иначе с величинами т, можно воспользоваться тем, что случайные величины 1„= т )/и — 2)1/п — 1 — т' подчиняются распределению Стшодента с количеством степеней свободы и — 2.
Отсюда, например, следует, что р ('г ( х) = 5'и з (х '~( и — 2ф'(~п — 1 — т') ()х((1/и — 1). Критическое значение случайной величины т (ч)-процентная точка нормированного выборочного отклонения) выражается через критическое значение распределения Стьюдента сД, и — 2) в виде отношения с((7, и — 2) 1/ и — 1/)I п — 2 + (с (б), и — 2)Р (и — объем выборки). Вычисление критических значений распределения Пирсона Р// типа. В силу формул (6) и (7) /)-процентные точки распределения Пирсона УП типа х (1), и, Р, у) и Ч-процентные точки распределения Стьюдента с (ч), и) связаны линейным соотношением х((); и, р, у) =се+ 1(ь), 27 — 1). )/ 27 — 1 Количество степеней свободы и = 27 — 1— вообще говоря, число дробное. Поэтому для вычисления х (ф, а, р, у) по такой схеме потребуется интерполяция таблицы 3.2 по аргументу и.
П р и и з р 1 (74). При определении величины заряда электрона е,.10 'е (в единицах С68Е) ббилликен получил и = 58 независимых результатов измерепий х; величины е,. Выборочное среднее в выборочная дисперсия оказались равныыи соответственно 1 %-ч х = — ~ х. = 4,7808, л 1 Ъ-ч Ф = —,7 (х. — г)> = 22981.10-в л Если результаты измерений равпотачны, лишены систематической ошибки и если, кроме того, случайные ошибки подчиняются нормальному распределению, та, как известно (см., например, (38, 47, 68)), отношение г' л — 1 (х — ее)/е падчвняется распредзлени>а Стьюдакта с и — 1 степенями свободы.
Позтоиу согласно формуле (12) Р (( в †.„) ", «(О, — 1)~ =1 — 2>7/100. )/ и — 1 Иными словами, приблизительно в 20 случаях из 100 абсолютная ошибка приближенного равенства е, = х окажется не менее н Я, п — 1)/)/ и — 1. Полагая 47 = 5% и и — 1 = 57, па таблицам 3.2 паходим с(5%, 55) = 1,6730 и с(5%, 60) = 1,6706. Иска>юе значение с (5%, 57) определяем интерполяцией по формуле (13) при и = 24/57: 33 24 с(5%, 57) = 1,6730+ †.1,6706 = 1,6720. 57 ' ' 57 Таким образом, в данном примере следует считать, что абсолютная ошибка приближенного равенства е, = — 4,7808 не превышает ес (5%, 57)/У57 = 0,0033.
Правилу, по которому была оценена абсолютная ошибка, соответствует вероятность 24> = 10%, в, значит, приблизительно в одном случае из десяти такое правило будет давать заниженную оценку абсолютной погрешности, П р и и е р 2 (83). Определение концентрации ЯО> в мартеновском п>лаке произвоцилось в пяти пробах весовым и в шести пробах фотоколариметрическим моголами. При этом получены следующие результаты: а) весовой метая (л = 5): 1 ьч 1 ь > Г= —,'> х.
= 20,5, е' = — ~>(х. — Х)з =0,0423; л ( с б) фотоиолоримзтрическпй метод (>У = 6): 1 ьз Х= — лу Х/=21,3 1 'Г> Яз = — 7 (Х вЂ” Х)з = 0,1333. — /9 2.~ Свидетельствует ли рааличие в и Х о систематическом раста>казнив между результатами првмзнзния первого и второго методов? Если результаты измерений в обеих пробах независимы, равнаточиы, а случайные ов>ибки подчиняются нормальному распределению, то при отсутствии систематического расхождения отпав>ение Х-Х У (и+ )(МХ>+лд>) Н+" з ее ' ' У (/Чл (/У+ и — 2)) подчиняется распрелелению Стьювевта с т = /у + л— — 2 степенями свободы (см., например, (47, 68, 72)). Поэтому согласно формула (12) Р Д Х х ( )~ еес (4> >л)) = 247/100 Если в результате эксперимента окажется, что ) Х— — х ) ч.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
