Большев Л.Н., Смирнов Н.В, Таблицы математической статистики (1983) (1186204), страница 5
Текст из файла (страница 5)
( /21 г , г хи/2 г,-х/2 2п'Г ( + /2) " ( 2 / 2"/'Г ( /2) дтв.1 Р (х, п + 2т) = т Г(иг.+1)Г(и/2) г„/„г(' г ) д Такнгг образом, в силу (2) х 1 д 1,/и/21 ( — ) — Р(х, п) = /т+ и 2 — 1г у/и/2) ( )=( х 1 гт+ и'2 — 1 г Ч™Р(х, п — 2) 2 ) ~ иг ) вУР (хв п — 2) ( )= ги + п/2 — 1 1 Г (т + 1) Г (и/2) Г ( + и/2) Интегрированием по частям можно убедиться в том, что система мпогочлснов Лагврра (/гп "г (х/2)) ортегояалька ла полупрямсй х ь О с весом — дР [х, я)/дх: «со/2) ( ) /Ш/2) ( ) в/2-1 -х/2 « 2о/«Г ( ) о (5 -[- л/2 — т) О при г+ «.
О разложении функций в рял по мпогочлелам Лагерра см., например, [«7, 88, 70]. Прн составлении таблиц распределения )[в были учтены два основных требования: 1. Таблицы должны обеспечивать одинаковую точность вычисления значений функций Р (х, п) и х (/',), п) во всей области изменения переменных х, и и /,'/: 0(х(оо, г=1, 2, 3,..., (3 = 0,05; 0,1; 0,5; 1; 2,5; 5; 10 (10) 90; 95; 97 5. 99. 99 5. 99 9. 99 95о/о 2. Интерполяция должна быть возможно простой и по своей трудности не превосходить квадратичной интерполяции, В качестве источников были использованы таблицы [Т27, ТЗЗ, Т51) и работа [9].
В силу того, что таблицы [Т27]' не удовлетворяют первому из укааанных требований, а таблицы [Т331 — второму, потребовалась их переработка, результаты которой представлены таблицами 2.1а и 2Лб. Таблицы [Т51] воспроизводятся без изменений в разделе 2.2а, где табулированы процентные точки распределения )[о в интервале п = 1 (1) 100.
При вычислении процентных точек х ((/, и) для п ) 100 обычно рекомендуется польаоваться теми или иными аснмптотическими формулами (см., например, [Т271 нли [Т56]). Однако все эти формулы, как правило, не обеспечивают той же точности, которую дают основные таблицы типа [Т51], и, следовательно, не удовлетворяют первому нз указанных требований. По атой причине составители сочли целесообразным дополнить таблицу 2.2а таблицей 2.2б, где даны поправки к одной из простейших асимптотнческих формул (см. [9)). таблицу 1.1).
Следует отметить, что Р (уо, 2) как функция аргумента у представляет собой интеграл вероятностей расрределения Релея, а Р (ув, 1) — интеграл вероятностей модуля нормально распределенной случайной величины с параметрами (О, 1). Т а б л и ц а 2Лб. Поправки для вычисления интеграла вероятностей )[в В таблице даны аначения функции В (1, и) = Р (х, п) — [1 — Ф (2)~, (4) где г='р/2х — у'2п, о= =, У 2в Ф (1) = ~ е ««/2 ь/3 1 г' 2л Аргументы 1 и п изменяются в пределах т = — 4,5 (0,1) 4,8, о = 0,01 (0,01) 0,11 (0,005) 0,125.
Используя таблицы 1Л и 2Лб, можно вычислять значения интеграла вероятностей Р (х, и) с пятью верными десятичными знаками для всех п ) 32 (не обязательно целых) по формуле Р (х, п) = 1 — Ф (/) + 77 («, п), (5) где 1 и и свяааны с х и п соотношениями (4). Следует подчеркнуть, что при 32 ( п ~( 70 применимы как таблица 2Ла, так и таблица 2.1б. Однако, если п — четное число, то, конечно, таблица 2.1а для вычисления Р (х, п) предпочтительнее, так как здесь п = 32 (2) 70. При нечетном п рекомендуется пользоваться таблицей 2Лб. Таблица 2.2а. Процентные точки распределения )(а В этой таблице даны значения функции х ((), п) для п = 1 (1) 100 и указанных выше значений с). Погрешность значений не превос~~д~т 5 10 '.
СОСТАВ ТАБЛИЦ Таблица 2.1а. Интеграл вероятностей ][а В этой таблице даны (с пятью верными десятичными знаками) значения функции Р (х, п) (см. (1)) для п = 1 (1) 32 (2) 70. Так как прн п = 1 интерполяция в области малых значений х затруднительна, то для вычисления Р (х, 1) при х ( 1 (в точках, не совпадающих с табличными) рекомендуется пользоваться формулой Р (х, 1) = 2 [1 — Ф ф х)1 (см. Таблица 2.2б. Поправки для вычислении процентных точек распределения )[о Дополнение таблицы 2.2а, в котором табулирована функция г ([,)«и) = х © и) — " — Ч (1 ~оо) 3 где и = 1/]/2п, и Ч' (1 — 0,01()) представляет собой ««-процентную точку нормального распределения с параметрами (О, 1) (см.
таблицу 1.3). Значения г даны с тремядесятичнымизна16в ками для и = 0 (0,01) 0,08 и указанных выше значений (). В последней строке таблицы 2.2б даны значения Ч' (1 — 0,01 ()) с восемью десятичными знаками. Используя таблицу 2.2б, можно вычислять процентные точки х (/,), и) с тремя верными десятичными знаками при и э 100 по формуле х ((), п) = п+ Ч' [1 ОО) О' 2п+ г (а,)' =) ' Таблица 2.2б составлена по асимптотической формуле, аналогичной (1.7) (см. [9, 891). Таблица 2.3.
Необходимый объем выборки для оценки квадратичного отклонения с заданной относительной погрешностью В таблице даны значения д = )/х (а), т)/х (100 — ас, ) — 1 для ~ = 0,5; 2,5; 5; 25а/а и т = 1 (1) 30 (10) 100 ....10000. Таблица заимствована из сборника: О тг е и П.
В. НанбЬоо)г о1 я1аИяз)са11аЫея. Ра1о А1зо.— 1,эндов: АдеВяон-%ея1еу, 1962. ИПТКРНОЛЯЦИЯ Таблица 2Ла. Если 1 ( п ( 32, то в зависимости от величины разностей функции Р(х, п) интерполяция по аргументу х может быть либо линейной, либо квадратичной по формуле Бесселя: Р(х, п) = Р(хо, и) + иКР(хо, и)— и (1 — и) и Р (хо и) — /аР (х и и) 2 з (8) где х м хо, х„... — равноотстоящие табличные значения аргумента, ха ( х < хы и = = (х — хо)/(хг — ха) — фаза интерполяции и АР (х„п) = Р (хооы и) — Р(х;, и) (значения первых разностей АР (х;, п) указаны в таблице 2Ла рядом с соответствующими значениями функции Р (х;, п)). Погрешность интерполяции по формуле (8) нигде не превышает 10 о, за исключением случая и = 1, когда при х < 1 целесообразнее пользоваться формулой Р(х, 1) = 2 [1 — Ф () х)) (см.
таблицу 1Л). Если 32 < и ( 72, то интерполяция в таблице 2.1а по аргументу х усложняется. Поэтому для вычисления промежуточных значений интеграла Р (х, п) здесь удобнее формула Тейлора, которая в силу (2) и (3) имеет вид Р(х, п)=Р(хо, и) — 2 'ЧР(хю и — 2)+ + *2)2а' Ч'Р(хо~ и — 2 2) — ..
или Р(х, п) = Р(х„п) +*— '2*ЧР(хм и — 2)+ Следствием этих разложений является интерполяционная формула, которой и рекомендуется пользоваться в таблице 2Ла при п) 32: Р(х, и) =Р(хо, п) + ПАР(хо,п)+ + "~ " /оАЧР (ха, и — 2). (9) Символом Ч здесь обозначена разность по аргументу и/2: Ч Р (ха, и — 2) = Р (ха, и) — Р (х„п — 2), АЧР (хо, и — 2) = ЧР(хы и — 2) — АР(хо, и — 2) = Р (хм и) — Р (хы п — 2)— — Р (хо, п) + Р (хо, и — 2) = ЧАР (хо, п — 2), Ь = хг — ха, и = (х — хо)//о ° Погрешность, возникающая в результате применения формулы (9), не превышает 10 '. Так как в таблице 2Ла второй аргумент, начиная с п = 32, принимает лишь четные значения, то для вычисления Р (х, п) при нечетном п потребуется, как правило, интерполяция по обоим аргументам х и и, которую, вообще говоря, можно осуществить многократным применением ннтерполяционной формулы Бесселя.
Однако такой путь весьма громоздок, поэтому при нечетном и ) 32 для вычисления Р (х, п) предпочтительнев таблица 2.1б, в которой интерполяция по двум аргументам осуществляется значительно проще, чем в таблице 2.1а. Таблица 2Лб. Во всей области изменения аргументов 1 и и интерполяция по и линейна, а по 1 линвйна или квадратнчна (погрешность интерполяции не превышает 10 о). Интерполяционная формула по обоим аргументам 1 и и имеет вид (предполагается, что 1а ( 1 < 1 эо ( и < и1) Л(1 и) = Л(го~ го) + иоАЛ(1о ио) + + иа [Л (го, о1) Л (го ио))— пк (1 — пс) [АЛ(11 ио) — АЛ(1-ы оа)) + + и,и,[АЛ(/о,эг) — АЛ(га,иоН, (10) где ио= (1 — 1о)/ (1г — /о) и иа = (э — ио)/(и,— — го) — фазы интерполяции по аргументам 1 и щ символом А обозначена разность по аргументу 1 при фиксированном ш АЛ (1;, и) = Л (1;ы, и) — Л (г„и) (в таблице 2.1б значения разностей АЛ указаны рядом с соответствующими значениями функции Л).
Погрешность, возникающая в результате применения формулы (10), не более 10 '. 17— Таблица 2.2б. Для всех 0(п(0,08 погрешность линейной интерполяции функции г ((), и) по аргументу с не превышает 5 10 е при любых укаэанных выше значениях С1. НАЗНАЧЕНИЕ ТАБЛИЦ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Хе И ПРИМЕРЫ ИХ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ Таблицы 2.1 (а, б) и 2.2 (а, б) предназначены в первую очередь для тех статистических расчетов, которые непосредственно связаны с распределением )(л. Многочисленные примеры задач, решение которых (точное или прибли>кенное) достигается применением интеграла Р (х, и) и процентных точек х ((), п), подробно изложены в книгах: [68Ь гл. 29 — 36; [47), гл.
4 — 6; [28), гл. 9 и 11. Существует также' большой круг задач, непосредственно не связанных с распределением уе, для респения которых полезны таблицы 2Л и 2.2. Вычисление значений функции распределения Пуассона. Еслп п — четное число, то интеграл Р (х, п) (см. (1)) удовлетворяет соотношению а!е 1 Р(х,п)= з —,е л, где А=х1'2. чсч ос=о С другой стороны, если случайная величина $ подчиняется распределению Пуассона с параметром )с (сл ) 0), то ее функция распределения Р(сс; 2,) при целых положительных й выражается формулой Р (сс; сл) = Р (й ()с) = у — е-л. 1(и, р) =Р(й(и) = О, если и (О, и — зл хс 'е е(х, если и е О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
