Большев Л.Н., Смирнов Н.В, Таблицы математической статистики (1983) (1186204), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Таким образом, при всех действительных значениях х функция гр (х) определяется формулой гр (х) — е-х-'/2/)/ 2п График гр (х) изображен на рпс. 2. -2 -1 г> 1 2 3 и Рнс. 2. Легко можно убедиться, что любая производная плотности 42 (х) представима в виде произведения некотоРого многочлена на плотность р (х): грг >(х) = ~„' =( — 1)"Н„(х) гр(х) ггх (Н (х) называют многочленами Чебышева— Эрмита). Например, 4)>гг> (х) = — Хгр (х), гр<4> (х) = (х' — 1) гр(х), срго> (х) = — (хо — зх) 4р (х), гр14> (х) = (х4 бхо + 3) гр (х), гр<о> (х) = — (хо — 10х' + 15х) гр (х) и т. д.
Многочлоны Н„(х) и производные грго>(х) при п ~ 1 удовлетворяют рекуррентным соотношениям Н ог (х) — хН„(х) + пН„г (х) = О, (5) гр'"+г> (х) + х р'"> (х) + с/со г>(х) = О, 0— где при и = 1 следует полол<нть >рщ> (х) = =— гр (х) н Н, (х) — = 1. В таблице 1.2 даны значения плотности гр (х) и ее первых пяти производных с шестью десятичными знаками для х= = 0,000 (0,004) 3,00 (0,02) 4,00 (0,04) 5,0 (0,1) 6,0 (эта таблица заимствована из сборника [Т421).
Так как проиаводные четного порядка 4Рит> (Х) — ЧЕТНЫЕ ФУНКЦИИ, а ПРОИЗВОДНЫЕ НЕ- четного порядка гр4» +'> (х) — нечетные функции аргумента х, то для отыскания значений гр4а> (х) при отрицательных х следует пользоваться формулой гр4а> (х) = ( — 1)" 4р4а> ( — х) (и = О, 1, 2,...). Для интерполяции табличных значения на шесть десятичных знаков рекомендуется применять формулу Тейлора: 1рса> (х) = 4рг" > (х,) + (х — х,) 1р4 "+4> (хо) + + (х хо) а (х ) где х, — ближайшее к х табличное значение аргумента. При и = 4 или 5 результат интерполяции по формуле Тейлора зависит от производных шестого порядка и вьппе, которые не охватываются таблицей 1.2.
Эти производные можно выразить через производные низших порядков с помощью второго рекуррентного соотношения (5). В результате получаются формулы >р41> (х) 4р<4> (хо) + (х — хо) >р<ю (хо)— — [хо>ри> (хо) + 51роп (хо)[, >у<о> (х) = 1Р<ы (хо) — (х — хо) [хогР<ю (хо) + + 5>р<4> (хо)) + ( *' [(х,' — 6) ф4»~ (хо) + + 5х«4р44> (хо)).
Если в интерполяционной формуле пренебречь последним слагаемым, то результат будет иметь пять верных десятичных знаков. Последовательность многочленов Чебышева — Эрмита (Н„(хО представляет собой полную систему функций, ортогональных на всей действительной оси с весом гр (х): Ю ~ Н (х) Н„(х) гр (х) дх = йх= 4( 4»1 '(х] г»1а> (х) > и[ при т = и, ~ 0 при т=фп. Всякоп функции распределения Е (х), для котэр.й су цестпуют моменты всех порядков, причем можно поставить в соответствие ряд „а„ Ф (х) гр (х) ~ ~ ( 1)а — 1 Н вЂ” (х) = = Ф (х) + ~> †", гр4 -1'(х), ь=.з где с„= ( — 1)" ) Н„(х) 4[Г1 (х).
Если ) е"'1«ах" (х)(оо,то этот ряд сходится к Р (х) во всех точках непрерывности функции Р (х); если же зто условие не выполнено, то ряд может расходиться (см. [68$ гл. 17). «Однако в практических приложениях в большинстве случаев значение свойств сходимости нашего разложения не имеет болысого значения. В действительности интересно знать, дает ли небольшое число слагаемых (обычно не более двух или трех) достаточно хорошее приближение к функции распределения Р (х)? Если зто имеет место, то нас не интересует больше вопрос, сходится или расходится наш бесконечный ряд.
Более того, если мы знаем, что ряд сходится, то это пе принесет практической пользы, если для того, чтобы получить частную сумму ряда, дающую достаточно хорошее приближение, необходимо вычислить большое число коэффициентов с„» (Г. Крамер 168], с. 249). Указанный вопрос приобретает особое значение тогда, когда функция распределения Р (х; 1) зависит от параметра 1, причем г' (х; 4) -ь Ф (х) прн 4-ч-О. И хотя в большинстве практически важных случаев ряд, соответствующий Е (х; 1), расходится, однако с помощью этого ряда обычно удается построить некоторый другой ряд, который может быть истолкован как асимптотическое разложение функции распределенпя Е (х; 1) по степеням малого параметра 4. Пусть, ваприыер, 11, $„..., $а,... — послодеиотельиоать независимых и одинокого нопрорызпо распродолонпых случайных величин, у которых существуют исв моменты.
Положим 4 = >> р' и, и пусть Г (х; 4> — функция распределения нормированной суммы где а = м11, т, = м $1 — а> и. ноабще, то —— = М (11 — а>1 для >г =- 2, 3,... Соглосчо центральпой продольной хоороио случайьал ьощщипа га рас- — 1'1 пределева асвмптотически нормально с параметрами (О, 1), т. е. при п — со (или в наших обозвачевиях при с 0) х 1 Р(х;с) Ф(х) = = ~ е аЧ«с(и. 4г2я С помощью формальвого Разложения в ряд, указанный выше, последнее соотношение можно уточнить.
А именяо, как показал Крамер (см. [6Ч, 68]), существует последовательвость миогочлевов (Рк (х)) такая, что Р(х; с) Ф(х)+~Р(х) ~~~~ Рк(х)ск, к=с причем, если с- О, то зпр ]Р(х;с) — Ф(х) — ~р(х)'~~ Р (х)с»~<6<а»с, - а<х< к=с где С вЂ” некоторая абсолютная постоянная.
Первые три слагаемых асимптотического ряда для Р (х; с) имеют вид Р (х; С) = Ф (х) —, срре (х) С+ тз т4 — Зт', + ',р<ь>(,]+, ' р('>( ) <с+О(г). (6) 72тз 24тз Аналогичная асимптотическая формула имеет место и для фувкции С (р; с), обратной Г (х; с) по аргументу х (фувкция 6 определяется тождеством Р [6 (р; с); с] = р для О < р < 1). Как показано в статье [9], существует последовательность миогочлеиов [(>к (хЦ такая, что Ю Ф[6(р(с)]-р+Ч [Ч" (р)] ~ <)»[Ч'(р)]с", »=1 где Ч" (р) — функция, обратиая Ф (х) (см. таблицу 1.3). Если с О, то ва любом фиксироваввом отрезке [с, с(], расположеввом внутри интервала (О, 1), зпр ~ 6 (Р' с) — Ч' (Р+ Ч [Ч (РП ~~~ <)» ['Р (РВ с 1 ~ < а<р<а к=с < рса+с где Р зависит лишь от с и 3. Первые три слагаемых асимптотического ряда для сложной функции Ф [6 (р; сИ имеют вид 6ть .
' 72 з [т''(*)+ 2 ( 72т + 12ср(з> (х) + 12ср(с> (х)] — — з ср(з> (х) са ] 6 (р) 24тз где х =- Ч'(р). Практически для вычисления 6 (р; с] при малых с удобнее пользоваться следствием этой асимптотической формулы <ряд Коряиша — Фишера): ср (х) [6 ( р; С) — х] = — 0 ~р(з> (х) с+ 6тзь т з тс ™з 2 + ' [2ср(з>(х)+р(с>(х)] — ср(з>(*) "+ [ 36тз 24тз + О (Р). (7) Правые части формул (6) и (7) представляют собой ливейиые комбинации производных Ч(а> (х) яе выше пятого яорядка, поэтому для вычисления приближенвых звачевий функций Р (т; с) и С (о( с) по этим формулам можно иепосредствевио воспользоваться таблипами 1.2 и 18. Производные ср<а> (х) могут быть использованы также и для вычисления значений функции двумерного нормального распределения по формуле (см., например, [68]) х — а1 З вЂ” а, а, а, ус з ~ ~ ехр ~ — 2(1 з) ) с»я с]п= = (',") ("=.,")+ , ~ "'( —.,") "'('=.,"),"..
„, (л + 1) < Ряд в правой части (8) сходится в интервале -1 <р<1. Члены этого ряда можно выравнть через так называемые «тетрахорические» функции тк (х), которые связаны с производными <р<к-с> (х) равенством тк (х) = ( — 1)" >Р<кы> (х)/Уг)с[. В [Т38] даны семизначные таблицы функций тк (х) для й = 1 (1) 21. П р и м е р 1. Рассмотрим последовательность $„5«,..., $а,...
взаимво иезависимых и одинаково вормалько распределенных случайных величии с параметрами (О, 1). Пусть 2» зьз ] ьз+ +ез Легко можно убедиться, что в давиом случае а = М5»= 1, т = М Ясз — 1)з= 2, т =М(5» — 1)'=8, т«=МЯ~ — 1)«=60, поэтому согласно (6) — с' 1 Р(Уж<я+ х ]/2п) =Р [х; —.) = 2 1 =Ф(х) — — ср(з> (х) =+ 3 У'2в + ~ 9 српе()+ср~ >( )~ 2 + ( ) Положим в атой формуле и = 72 и вычислим приближеивое звачевие вероятности Р (Х" < Х] при Х = = 84,03.
Так как Х = л + х 4Г2а, то в даевом случае х = 1,0025. По таблице 1.1 линейной интерполяцией получаем Ф (1,0025) = Ф (1,002) + 0,5. ЬФ (1,002) = = 0,841828 + 0,5 0,000242 = 0,841949. Далее, из таблицы 1.2 при х — х, = 1,0025 — 1,004 = = — 0,0015 линейной интерполяцией по формуле — 12— Тейлора находим ф (1,0025) = 0,241003 + 0,0015 0,2420 = 0,241366, ф<г)(1,0025) = — 0,241967 — 0,0015.0,0019 = — 0,241970 фаз) (1,0025) = 0,001932 — 0,0015 0,4820 = 0,001209, ф<з) (1 0025) — 0 481994 + 0 0015.0 4897 0 482729 ф1э) (1,0025) = — 1,436300 — 0,0015 (1,004. 1,4363+ + 5 0,4897) = — 1,442136 Таким образом, Р [)(гз < 84,03) = 0,841949 — 3 .0,001209 12 .+ 3 2 1 + (- 9 1,442136+ 0,482728) .,44- = 0,841949 — 0,000067 + 0,001127 = 0,84301. По таблице 2Лб Р (2~ < 84,03) = 0,84289 (с абсолютной погрешностью не более 10 '). Следовательно.
вычисленное приближенное значение втой вероятности имеет относительную погрешность менее 0,08эю П р и м е р 2. Условия те же, что и в предйдущем примере. Требуется вычислить также значения Х' в Х", для которых Р (Хэг < Х') = 0,025, Р Щ < Х") = 0,975 Согласно (7) имеем ,р (,) ~С (Р) =) — х~ = 1$. гр (х) — 1296 [ф (х) — 4Ф (хЦ где (см. таблицу 1.3) следует положить.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
