Большев Л.Н., Смирнов Н.В, Таблицы математической статистики (1983) (1186204), страница 9
Текст из файла (страница 9)
е,с Щ, ю), то естественно допустить, что опытные ванные не противоречат гипотезе об отсутствии систематического расхождения. Если жз ) Х вЂ” х () ) ес (4>, и), та следует заключить, что систематическое расхождение опытом доказано; в силу последнего равенства такое заключение может оказаться ошибочным примерно в 2() случаях из 100. В каппам примере Х вЂ” х = 0,8, ю = 9 и е, = = 0,203. Полагая 47 = 0,5%, по таблице 3.2 находим с(0,5%, 9) = 3,25, поэтому ) Х вЂ” Х) = 0,8) еог (0,5%, 9) = 0,66. Таким образом, гипотезу о систематическом расхождении результатов применения весового н фотокалари метрического методов следует считать экспаримавталь но подтвержденной. Праввло, по которому сделан этот вывод, может лишь в одном случае кз ста ошибочно снг- нзлкзнровзть о свстематпческом расхожленнн, когда его в действительности нет.
Таблицы 3.3. Функция В-распределения Функция В-распределения 1„-(а, Ь) зависит от двух положительных параметров а и Ь и определяется на отрезке 0 -~ х ( 1 формулой х о где В (а, Ь) — так называемая В-функция Эйлера: 1 Б(а Ь) ~га г(1 г)ь ггн Г(а)Г(Ь) ) [а-)-ь) . е Имеет место тождество 1х (а, Ь) = 1 — 1г х (Ь, а), (15) 'поэтому при составлении таблиц В-распределения достаточно ограничиться случаем 0 ( а ( Ь.
В теории вероятностей и математической статистике, пожалуй, нет другого распределения, которое встречалось бы в приложениях столь же часто, как и В-распределение. НапримеР, если Х~ и Хи — две независимые статистиз з ки, подчиняющиеся Х'-распределениям с т и п степенями свободы соответственно (см. раздел П), то функция распределения так называемого р-отношения «иь и = (пХти)/(тХЬ) выражается формулой Р (Рм, и ( х) .= — — 6 (х; т, и) =- 1тхди+ шх) ~ з, в ) (17) (16) (см. таблицу 3.5). Согласно определению (16) Рш = Хз!т, поэтому С (х(т; т, со) (как функция от х) представляет собой функцию Х'-распределения с т степенями свободы. Б частности, при т = 1 имеет место равенство С (х; 1, со) = 2Ф ()' х ) — 1, позволяющее вычислять значения функции распределения (см. раздел 1).
С помощью формулы (17) легко можно убедиться, что функция распределения случайной величины 2 = 1п у' Рш „ (так называемое г-распределеггие Фишера; см. [68!) вырангается формулой Так как в силу (16) Рг,"„— квадрат случайной величины, подчиняющейся распределению Стьюдента, то (см. (1)) 6(т', 1, и)=1„,„„ч( —, — ") =28и(/г[) — 1.
(18) Разумеется, приведенные примеры на самом деле демонстрируют универсальность р-рас- пределения. Более того, в некоторых современ- ных руководствах по математической статисти- ке (см., например, [54!) в качестве приложения помещены только краткие таблицы функции 6 или соответствующих процентных точек. Одна- ко все это нисколько не умаляет значения В- Распределения, так как функция р-Распреде- ления к настоящему времени сколько-нибудь подробно не табулирована и ее значения обыч- но вычисляют по формуле (17) с помощью таблиц В-распределения [Т25!. Следует отме- тить также, что В-распределение находит важ- ное применение и вне рамок математической статистики, так как плотность этого распреде- ления д1 (а, Ь)/дх есть весовая функция одной из классических систем ортогональных полино- мов — полиномов Якоби (см.
[Т9!). В теории вероятностей и математической статистике часто применяются формулы и 1„(, — +1)= Х С р'(1 — р)™. (19) и 1, р(п, л)) = Х С~„,' гр (1 — р)', (20) г=и позволяющие вычислять значения функций би- номиального и отрицательно-биномиального распределений (формула (19) задает распреде- ление вероятностей в схеме Бернулли, а фор- мула (20) — в так называемой схеме Пойа; см. Н1, 28, 47!). Таблицы функции В-распределения могут быть использованы для вычисления функции распределения Пирсона 1 типа: Н(х; ам аз, тм т,) = х =С ~ (1+ — ") '(» — ") 'ду -а~ ( — аг ( у ( аз), где а„а, ) 0 и т„т, ) — 1 — параметры (постоянная С определяется условием: если х = а„то Н = 1). Действительно, Н(х;аг,а„тд,т) = 1(ахгх)дама ) ()пг + 1 ~ та + 1).
Боли в формуле (14) параметры а и Ь вели- ки, то для вычисления 1х (а, Ь) монгно восполь- зоваться асимптотической формулой, предло- женной Уишартом [124[, 1 (а, Ь) = Ф (и) + о)г (и, и) + шзгрз (и, п) + + Л (и, о, й), (21) — 27— где и= ЬУà — [П ~с аь Ьх (22) а+ Ь а (1 — х) ' аЬ 1 1~ с 1 1 У="Р— >1 — — — ), ц>с = — + —, (23) а+Ь>>а Ь)' ь ' ср> (и, У) = = (Зср + срс>) — б + (36срш + 21срсе> ла 2срсю),44 + + (1620>Рсс> + 1269>Рс > + 225сРсс> + 10сР'") ебп (24) + сР )43 1 + (120ср+ 270 рс > + 81 ри> + 5срс'>) 144О (25) (функции Ф (и), ср (и) = сьФ/с[и и срс"> (и) = = с)"ср/с[и" определены в разделе [; см. (1 3)).
Если Ь ~ а и а — э оо, то остаток в формуле (21) Л = 0 (а ') равномерно относительно всех х из интервала 0 ( х ( 1. Когда параметр а мал, а Ь велик (точнее, когда Ь вЂ” со и а = сопзь), для вьсчисления функции В-распределения удобна другая асимптотическая с[ормула (см. [171)> 1„(а, Ь) = 1 — Р (2У, 2а) + + у (у, а)/(6 (2Ь + а — 1)')+ г (у, Ь, а), (26) где Р (х, и) — интеграл вероятностей )(с (2.1), у = х (2Ь + а — 1)/(2 — х), (27) а -у Т (у, а) = У вЂ” [2ус — (а — 1) у — (а' — 1)1. (28) Г (а) Если а = сопзь и Ь -е оо, то остаток в формуле (26) г = 0 (Ь ') равномерно относительно всех х из интервала 0 ( х ( 1.
СОСТАВ ТАБЛИЦ Функция В-распределения 1„(а, Ь) зависит от трех аргументов, и задача табулирования этой функции представляется довольно трудной. Известные семизначные таблицы К. Пирсона [Т25! позволяют вычислять значения 1„(а, Ь) лишь для а и Ь, не превышающих 50. В этом разделе воспроизводятся таблицы [Т4), предназначенные для вычисления 1„(а, Ь) при Ь)а, Ь)50. + 8(а — 17) дает погрешность менее 5 10 '(если д:-е 160, то погрешность не превышает 5 10 '). Сначала рекомендуется по формулам (22) и (23) вычислить и, у и ис, затем по таблице 1.1 следует найти Ф (и) и к результату прибавить попРавкУ сР> + исссР„ вычисленнУю с помощью таблицы 3.3а.
Для вычисления срс (и, о) и ср, (и, у) в промежуточных точках (и, у), не совпадающих с табличными, достаточно ограничиться линейной интерполяцией. Тлблп ца 3.3б. В-респределеппе; функция т(у, а) В этой таблице даны с точностью до 0,5 значения коэффициента Т (у, а) в формуле (26) для у = 0 (1) 48 и а = 1 (1) 21, причем Т (У, 0) = — О.
Таблица предназначена для вычисления 1„(а, Ь) по формуле (26) при 0 ( ('а(17, Ь ~50, а также при 17(а(21, Ь ) 50 + 8 (а — 17). Сначала рекомендуется по формуле (27) вычислить у, затем по таблицам 2.1 следует найти Р (2у, 2а) и к результату прибавить поправку Т (у, а)/(6 (2Ь + а — 1)'), вычисленную с помощью таблицы 3.3б.
Полученное приближенное значение 1„(а, Ь) имеет погрешность, не превышающую 5 10 с (если Ь ъ 160, то погрешность не превышает 5.10 '). Для вычисления Т (у, а) в промежуточных точках, не совпадающих с табличными, достаточно ограничиться линейной интерполяцией по формуле Стирлинга. В частности, при интерполяции по аргументу у эта формула имеет вид у — у Т(Уп а) т(У М а) Т(У, а) =У(Ус, а)+ — ' Ус Уо 2 где у „у, и у, — последовательные табличные значения аргумента у, причем [ у — ус[ ц ( (Ус — Уе)/2. Если 0 ( а ( Ь ( 50, то для отыскания 1 (а, Ь) следует обратиться к семизначным таблицам функции В-распределения [Т25[, в которых непосредственно табулирована функция 1 (а, Ь). гс> 77 Рве.
3. 28— Таблица З.За. В-распределенпе; функции срс(п, е) я фс (пе е) В этой таблице даны с пятью верными десятичными знаками функции срс (и, у) и срс (и у) умноженные на 10', для и = — 4,0 (0,1) 4,0 и э = 0,00 (0,05) 0,25 [ср, (и, 0) = 0). Таблица предназначена для вычисления 1„(а, Ь) по формуле (21), которая при а ) 20, Ь ) 50, а также при 174,,'а(20 и 50(Ь(50+ Интерполяция семизначных таблиц [Т25) с точностью до 10 ' или 10 ' часто оказывается настолько затруднительной (а иногда и просто невозможной), что при практических расчетах по этим таблицам приходится мириться с погрешностью 10 ' нли даже 10 э. Поэтому можно считать, что таблицы 3.3 дополняют [Т25) без существенной потери точности. На рис. 3 изображены в плоскости аОЬ те области (3.3а) и (3.3б), где для вычисления 1„(а, Ь) следует пользоваться таблицами З.За и 3.3б соответственно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
