Большев Л.Н., Смирнов Н.В, Таблицы математической статистики (1983) (1186204), страница 13
Текст из файла (страница 13)
В таблице 3.7 даны (7-процентные точки т (Ч), и) с тремя десятичными знаками для и = 1(1) 21 и () =- 40; 25; 10; 5; 2,5; 1; 0,5; 0,25; 0,1; 0,05%. Если те>50%, то для определе- ния т (С), и) следует воспольвоваться формулами т((), и) = — т(100 — т',), и), т(50%, и) = О. Для экстраполяции таблицы 3.7 по аргу- менту и прн п ) 21 можно применить црибли- женные формулы т((),21)= ~~ — т©20), 85 т(й)л21+1)= ~ вс+ т(Р,21). П таблипе 3.7 прилагается таблица коэффи- циента $'е65/(ос + 5) для 1 = 10 (1) 100, 120,... 1200. При и = 2л процентные точки зычислялнсь обратной интерполяцией семизначных таблиц для функций распределения Рм (х) (см.
форму- лу (55)). При нечетных и значения т((), п) определялись по формуле (59), которая для данного случая имеет вид Попутно было установлено, что уже прн 1 = 5 и 1% (т) (; 99% погрешность формулы (61) не превышает 5.10 '. П р и м е р. Построение нонтроалныа границ даа выборонноа медианы. В условиях предыдущего примера (см. примерк таблицам 3.6] выбор контрольной границы Ко (т. е. выбор критического зиачеция К) обычно подчиняют условию вида епр 5н ((аг — а)/о, К) = б, (62) Со с(~е где lс) 0 и 0 ( б ( 0,5 — задаввые числа (ивтервал, лежащий в пределах ц-во, называют техиическим допуском, з величеиу )) — вероятностью ошибки второго рода; см. С47, 72, 115)).
Тав как з"Р йн б»к) = с"'н (ь+ к) — Рн (сс — к), (еСмг то критическое значение К, удовлетворяющее условию (62), мало отличается от решения уравнения Рн (Ь— — К) = 1 — б, поэтому для зьтчислеивя контрольной границы Ко можно зоспользоеатьсн приближенной формулой К Се — т (1006%, н).
Пусть, язпрвыер, 4 = 3, )т = 0,1 и и = 10. По таблице 3.7 т (10%; 10) = 0,476, поэтому К 2,524. Можно показать, что з даивом случае критическому звачевию 2,524 соответствует естивиая вероятность ошибки второго рода, отличающаяся от задавиой вероятиоств б = 0,1 менее чем иа 10 л. Та б л н ц ы 3.8. Распределение размаха выборки нз нормальной совокупности Раамахом упорядоченной конечной совокупности П, ~ т)а <, ... ~ т)„ нааывают Разность И'н = т)„ — т),. Если вариационный ряд т)с (, П, ( ... ( т~„ полУчен в РезУльтате размещения в возрастающем порядке п взаимно независимых и одинаково нормально распределенных случайных величин Ен с функцией распределения Р (х), то функция распределения размаха выражается формулой Р(И'„(ил) =и ~ (Р(х-,)- ш) — Рсх))н-лс)Р(х). (63) Таблицы 3.8 предназначены для вычисления значений функции распределения размаха выборки $с, "„,..., Он, извлеченной из нормалт ной совокупноств с параметрами (а, а) (см.
раздел 1). Так как зта функция (обозначим ее Р„(ид а, тт)) удовлетворяет тоятдеству Р„(ю; а, а) = Р„(аш; О, 1), то для вычисления Р (ил; а, о) достаточно иметь таблицы функции Р„(ил; О, 1), которую в дальнейшем мы будем обозначать Р„(ил). В силу определения (63) Р„(ил' = и ~ (Пс(х + ш) — Ф (х))н тс)тЭ (х), где функция 'р (х) определяется формулой (1.3). причем 7 8 л(ш) 12 10 13 18 20 16 и(ги) Процентные точки размаха выборки из нормальной совокупности с параметрами .
(а, и) определяются как значения функции ои)„(()), где и з (с)) — функция, обратная 100 [1— — Р„(й)[ по аргументу кп Р„[ш„(0)) = 1 — 07100 (0% ( () < 100%). Иными словами„при фиксированных С) и и значение ()-процентной точки ш„(()) определяется как корень уравнения Р„(ш) = = 1 — 0,01().
СОСТАВ ТАБЛИЦ. ИНТЕРПОЛЯЦИЯ Т а 6 ли ц а 3.8а. Функция распределения размаха выборки из нормальной совокупности В этой таблице даны значения функции Р (и) с четырьмя десятичными знаками для и — -- 2 (1) 20 и ш = — 0,00 (0,05) 7,25. Если значение и не совпадает с табличным, то для вычисления Р„(ш) с погрешностью не более 10 ' мок<но воспользоваться квадратичной интерполяцией. Как отмечено во;введении к таблицам [Т27[, погрешность линейной интерполяции по формуле Р„(и) = (1 — и) Р„(шо) + иР„(шо + 0,05), и = 20(ш — шо), шо (ш (то+0,05, таниное не будет превышать 10 "", если только условиться уменьшать результат па 10 ' при 0,005 ( Р„(и) ( 0,40 и 0,1 (ъ и ( 0,9 и увеличивать результат на 10 ' при 0,5 ъ.
Рс(ш) ( ( 0,97 и 0,1 ( и ( 0,9. Таблв:ца 3.86. Процентные точки размаха выборки из нормальной совокупности Даны значения функции ш ф) с двумя десятичными знаками для и = 2(1) 20 и ~) = 0,1; 0,5; 1; 2,5; 5; '10; 90; 95; 97,5; 99; 99,5; 99,9%. Т а блица 3.8е. Моменты размаха выборки из нормальное совокупности с параметрами (О, 1) В таблице для и = 2 (1) 20 даны значения 6„= МИ„, 17о(„, Р, = ПИ'„, УРо, 6=М[ [, уг„ Таблицы 3.8 перепечатаны из сборника таблиц [Т27 [. НАЗНАЧЕНИЕ ТАБЛИЦ И ПРИМЕРЫ ИХ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ В математической статистике размах И'о применяется для оценки неизвестного квадратичного отклонения оЧ особенно часто такие оценки попользуются при статистическом контроле качества промышленной продукции, так как определенче размаха выборки,осуществляется довольно просто -и-почтиТне требует, вычислений.
Пусть Ит„— размах выборки Кю ..., $„из нормальной совокупности с неизвестными параметрами (а, о), и пусть о[„= Мру' ~о. Отношение И'„/с(„представляет собой несмэещенную оценку для квадратичного отклонения: М (ИгоЯл) = о. ДиспеРсиЯ этой оценки Равна (значенпя д„, 1Я„и Р„даны в таблице 3.8в). С другой стороны, несмещенная оценка зо параметра и, основанная на выборочной:.дисперсии, задается формулой (см., например, [68)) Г ((и — 1)(2) 1 — о Г (л/2) $т 2 ,~ д (значения отношения Д/Р„ указаны в;таблице 3.8в).
С увеличением и относительная 'эффективность размаха е„ монотонно убывает. Однако при и ( 20 она практически незначительно отличается от единицы (е, = 1, е, = 0,96, его -— — 0,86, е„= 0,77). Для того чтобы оценка квадратичного отклонения о, построенная по выборочному размаху, была не менее точной, чем з", куя<но увеличить объем выборки. Ниже указаны такие наименьшие значения и. (т), для которых Пз !О (Ит Я„) ) 1Е Сравнение т и и (т) покааывает, что оценка И'„Я„ особенно удобна при и ъ„. 10. Применение этой оценки при и > 20 сопряжено со значительной потерей информации, содержащейся в выборке, поэтому таблицы 3.8 составлены лишь для и ~ 20.
Если требуется проверить гипотезу Но. 'о ( оо (о, — заданное положительное число) при конкурирующей гипотезе ЫП о> оо, то при небольшом объеме выборки л для этой цели можно зоспользозаться критерием, оспозэнным на выборочном размахе. Согласно атому криторпю гипотезу Ло отвергают, если И л ~ > ооюс (О); ю Щ) — заранее выбранное критическое а такя1е удовлетворительная зффективность в случае неоольших выборок (все это по сравнению с критерием Г; см. описание таблицы 3.9б). 4 б Таблица 3.9б. Функция мощноетк критерия, основанного на аткошенкк размахов Статистика Р, обычно используется для проверки гипотезы о равенстве дисперсий в двух нормальных совокупностях ХХя (ог = ая) прн альтернативе ХХ~ (ог = Ьгя), где 1 — произвольная положительная постоянная, отличная от единицы.
Без ограничения общности мо1кно предполагать, что Х ) 1, так как если 0 ( 1 ( (1, то а =Ров где Г =1/Х)1. В таблице указаны (с тремя десятичными знаками) аначення функции мощности етого критерия в зависимости от 1 (величнны т, п и (Х считаются постоянными).' У (1 $1); ш, л) = = Р (ХГ' я .=г г'Я ф; ш, л) ( ог = (ая) = (~я я~у Х Щ шил))ог ог~ ° 1)рн атом 1 = 2 (1) 4(2) 10 и, кроме того, т = и =- Л' = 3 (3) 15, (',) = 0,1; 0,5;. 1 н 5%. Под каждым значением ХЯ (1((); ш, п) дано соответствующее значение функции мощности Х'-критерия~ Х(1(Вш,л)- = Р ~Р, „, » —., г' ((); и — 1, и — 1 ) н, = ая~ .
1 Эта функция совпадает с функцией, заданной формулой (49) прн я, = т — 1, я, = л — 1 и )г = 1 + б. Сравнение функцлй мощности показывает, что для не слишком больших У потеря могцноств гя-критерия (по сравнению с мощностью Хькрнтерня) невелика. Более того, для каждого целого я ) 0 можно указать такое наименьшее число У ) г, для которого при ~) = 0,1; 0,5; 1; 5% будет выполняться неравенство ХЯ(г)В Л, У)>Х(г)а ° +1,, +Ц, причем, еслл Ж ~( 15, то Л' — т ~ 4.
Вот соответствующая таблнца1 12 10 Таким образом, если средние значения двух нормальных совокупностей неизвестны, то РЯ-критерий с объемамн выборок т = л = )г' будет пе менее мощным, чем г"-критерий с одинаковььчи объемами выборок, равньгми я + 1 (например, если )г' = 10, то я + 1 = 9). Если же средние аначения известны, то Р-критерий, «эквнвалентньгй» г'я-критерию, получается прк объемах выборок, равных т.
С ростом )Х разность Л вЂ” о быстро возрастает и г"Я-критерий становится малозффектнвным.. Таблицы 3.9 ааимствованы из работы 553). Та б л и и и ЗЛО. Модифицированный 1-критерий В таблицах даны (с тремХа десятичными анаками) 1Х-процентные критические значении модифицированных отношений Стьюдента — 2 (4 ) ( ь И'„и'„+ и'„ где $ и н — выборочные средние, а гг'„и г)'„— выборочные размахи двух неаависнмых выборок одинакового объема и из нормальных совокупностей с одинаковыми дисперсиями (а и Ь вЂ” математические ожидания). Параметры и и Хх принимают значения и = 2 (1) 20 н ~) = 0,05) 0,1; 0,5; 1; 2,5; 5%. Модифвцнро.
ванный 1-критерий имеет несколько меньшую мощность, чем соответствующий критерий Стьюдента, однако при и (15 снижение мощности практически несущественно. Таблицы 3.10 заимствованы из работы. Х о г б г. Тпе пзе 01 галде (п р)асе о1 асапдагд бег(акоп !и 1)ге 1-1езп — В)ошегг(йа, 1947. 34, р.
41 — 47. где -'=~-. (1 —.) и (М„*)а г я с Ри = — "~ — + )/п (и — 2) — и + агсз[п — 1. и [2 и — 1а Несмещенной оценкой для о является отношение т/М,. Если и — ~- оо, то М.а 1 гг 2 ~1 1 1 Р(1)~ =~'Т~'-.' + (-.')1 ;а ~ 2)1 ~ З)1, г1) Эффективность оценки т/ЛХ, определяется как отношение дисперсий: [г(~" и) (а~ '>) 0Я ~ ~Г (",)1 и и 1 + >с и (и — ) — и + агсюп 2 (и — 1) 4и(и — 1) [1+ О/1) (4и — 5) [(я — 2) (и — 1)+ 1) [ (иа/~ ' Пусть з„и ти — статистики а и т, построенные по и и Л' наблюдениям соответственно (предполагается, что математическое ожидание а исходного нормального распределения неизвестно).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
