Большев Л.Н., Смирнов Н.В, Таблицы математической статистики (1983) (1186204), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Формула (49) часто используется в при ложениях для планирования экспериментов Пусть, например, требуется проверить гипоте эу Н»: о,/о., = й. Возникает вопрос, прн ка- ких количествах наблюдений (т. е. при каких значениях т, н тД критерий дисперсионного от- ношения будет обладать мощностью, не мень- шей чем заданная? Иными словами, каковы тд и»„для которых /(6») ) 1 — Р (О ( [[(0,5 и 6» > 0 — заданные числа)7 Из формул (41) и (49) следует, что это неравенство для функ- ции мощности равносильно условию Р ф; ч1, т») Р (100[); т„ч,) ( 1 + 6,. В частности, если ч» = т = ч, (> = 100[! = = 5% и 6» — — 3, то последнее неравенство мож- но записать в виде Р (5»/».
ч т) ч 2 По таблицам 3.5 убеждаемся, что оно справед- ливо для всех ч» 24, следовательно, критерий дисперсионного отношения будет обладать тре- буемой мощностью, если объемы выборок будут не менее 25 единиц. 0 применении процентных точек Р-распре- деления в дисперсионном анализе см. [28, 115, 134, 147]. Важное значение имеет Р-распределе- ние в многомерном статистическом анализе и, в частности, в регрессионном анализе при по- строении доверительных областей для несколь- ких параметров (см. [2]; [68], гл. 37.3; [74]). О других областях применения Р-распределе- ния см. [15, 17, 88]. Та б л и ц ы 3.6. Функция распределения медианы в выборке из нормальной совокупности Выборочная медиана р для п упорядочен.
ных случайных величин Ч, ( »[, ( ... с' 8„ определяется формулой т[„+, прв и=а+ 1, (цй+ т[йы)/2 при и= 2й. Если количество случайных величин — число нечетное, и = 2й + 1, и вариационный ряд й» ч., 8, ~... ч" В„получен в результате размещения в возрастающем порядке и взаимно независимых и одинаково распределенных случайных величин 21, $„..., $„с непрерывной функцией распределения Р(х),, то (см., например, [28], а также формулу (14)) ию (~ы„< ) ~3 „(1 у) (~ (2й+ 1)! г»» » =/г „> (й+ 1,/с+ 1) Согласно формулам (36), (17) и (38) отсюда следует, что ! ([»»йы(х) = ]' Р (х) 1/2 [ (50) (]/Р (х) [1 — Р (х)]/(2 (й+ 1))] где Я„(1) — функция распределения Стьюдента с г степенями свободы (см.
таблицы 3 1). Для выборок четного объема и .= 2й функция распределения выборочной медианы выран<ается формулой Р (2й)! ([»»» < х) = й! (й 1)! Х х ~([1"- Р(у)]" — [1 — Р(2х — у)]й) Р» '(у)!]Р(у). (51) Медиана т непрерывного распределения Р (х) определяется как решение уравнения Р(т) - 1/2 (величину т иногда называют теоретической нли истинной медианой). Если объем выборки и стремится к бесконечности, то выборочная медиана [»„ сходится по вероятности к т, т. е. для всякого е ) 0 Р ( [й — гп [) з) 0 (и сю). Более того, можно показать (см. [68], гл. 28.6; [28], гл.
]У, 4 17), что при и-». оо Р(2/(т.) ]/ и ([»и — т) (х) -» Ф(х) = == '» а ш»»Ь, (52) У2я д где /(т) = Р' (т) — плотность распределения случайных величин $!. Иными словами, выборочная медиана [»„распределена асимптотически нормально с параметрами(т, [2/ (т) ]/ и] '). Таблицы 3.6 предназначены для вычисления значений функции распределения выборочной медианы р„, построенной по выборке ен $»,... ..., с„иа нормальной совокупности с параметрами (а, а) (нетрудно убедиться, что в атом случае т = а; см.
раздел 1). Так как функция распределения Р„(х; а, а) медианы в выборке из нормальной совокупности с параметрамв (а, о) удовлетворяет тождеству Р (х; а, а) = — Р„((х — а)/а; О, 1), (53) — 36— Из таблицы 3.6а находим 1/]/« = 1,43841, поэтому согласно фо~«мулам (1.4) и (58) Кз ( — 1) = 1 — Ф (1 43841) — Лз (1 43841).
Так как Ф (1,43841) = 0,92484 (см. таблицу 1.1) н по таблицам 3.6 Л,(1,4) = 790, Л, (1,4)— Л, (1,5) = 71, Л, (1,5) — Л, (1,6) = 75 (все результаты умножены на 10'), то линейной интерполяцией находим Л,(1,43841)=-0,00790 †,384 0,00071 = 0,00763.
Поэтому окончательно имеем Р („, (-1)= 1 — 0,92484 — 0,00763= 0,06»3. Если для контроля воспользоваться формулой (50), то по таблицам (Т40] моясно убедиться, что с точностью до 10 ' искомая вероятность равна 0,0675528. Таблица 3.66. Функция распредзлеппя медианы в выборке пз нормальной совокупности. Поправки к нормальной аппроксимации г (х, «) = Р (ос) — Ф (х) В таблице даны разности г(х, «) с пятью десятичными знаками для х = 0 (0,1) 3,3, « = ( 2'" „ ) — 0,01 (0,01) 0,07 отдельно для нечетных и четных и, причем г(х, 0) = О. Таблица 3.6б представляет собой продолжение таблицы З.ба, так как г (х, «) = Л„(х).
Новый аргумент «(вместо и) введен для того, чтобы охватить все значения п ) 21. В последних строках 3.6б указаны значения эффективности е н ее обратной величины 1/е = п(7]л„ отдельно для нечетных и четных и. Кроме того, здесь же даны значения «и 1/~'«как функции от (и/2] =- 11 (1) 20,24, 30,40, 60, 120. По обоим аргументам х и «таблица З.бб допускает интерполяцию, не сложнее квадратичной. П р и м е р. Построение оперативной характеристики стилистического контроля, основанного на выборочной лгедиане.
Пусть $„$г,..., $п — взаимно иезависпмыс в одинаково пормааьво распределенные случайные величины с параметрагш (а, о). Требуется проверить гипотезу Но, согласно которой ] а — ао ] ( Ьо (предполагается, что ао, о) 0 и к ) 0 — вадаппые числа; параметр а пекавестеп). Если критерий лая проверки гипотезы Н„строится по выборочной медиане р, причем гкпотеаа Н, отвергается тогда и только тогда, когда ] р„ — ао ] )~ Ко (К вЂ” зарапео задавпое критическое значение; йроизвсдев«ге Ко называют контролькой границей плп контрольным пределом), то оперативная характеристика критерия определяется формулой (см.
(55)) Е, (, К) = Р Др„— оо](Кс]а] = =Р,( ', +К) — ( ', — )= Пусть, например, и = 30, (а, — а)/а = 0,8 и К = 0,5. По таблице З.бб в этом случае « = 0,0503 и 1/Рс« = 4,4603, поэтому Его (О' 0,5) = 2Рзо (К/Рс«) — 1 = 2Рго (2,23015) — 1, Ьм (О 8 0,5) = Рзо (5 8) Рзо (1 3381) = е го (1 33"1).
Так как и = 30 — четное чиизо, то мз таблицы З.бб находам (все числа умножепы па 10о) г (2,2; 0,05) = 14, г (2,3; 0,05) = 10, г (2,2; 0,06) = 16, г (2,3; 0,06) = 12, г (1,3; 0,05) = 63, г (1,4; 0,05) = 58, г (1,3; 0,06) = 73, г (1,4; 0,06) = 67. Линейной кктерполяцвей получаем г (2,23; 0,0503) = 14 — 0,3 4 = 13, г (1,34; 0,0503) = 63 — 0,4 5 = 61. По таблице 1.1 Ф(2,23015) = 0,98713 и Ф(1,3381) = =- 0,90957, следовательно, Е.зо(0' 0,5) = 2 0 98713 — 1 + 0,00013 = 0 97439 Ечо(0,8~ 0,5) = 1 — 0,90957 — 0,00061 = 0,08982.
Таблицы 3.6 составлены в отделе математической статистики Математического института АН СССР. Значенияфункций Лм,«(х) вычнслг; лись по таблицам (Т40] (см. формулу (50)), а пятизначные таблицы функций Лез (х) получены округлением соответствующих семизначных таблиц, вычисленных на ЭВМ «Стрелаз. Таблица З.бб составлена по асимптотическим формулам (56) и (57).
О выборочной медиане и ее применениях см. также (57] и [120]. Таблица 3.7. Процентные точки медианы в выборке из нормальной совокупности Иньпги словами, при фиксированных (7 и п значение Ч-процентногй точки л«р (с), п) определяется как корень х уравнения Р (х) = = 1 — 0,01«',7. Если п = 2/+ 1, то согласно формуле (50) тг((),и) — Р ~ — (1+, )1, ( 9) где Р '(р) — функция, обратная функции распределения злеыентов выборки, и 1 = «(Ел, 21+ 2) есть Е)-процентная точка распределения Стьюдента с 21 + 2 степенями свободы (сы. таблицы 3.2). Пусть Р'(х) — функция распределения элементов выборки $„9«„..., $„, и пусть Р„(х)— функция распределения выборочной медианы р„(см. описание таблиц 3.6); ()-процентная точка выборочной медианы (х„определяется как значение функции жг ((), п), обратной 100 (1 — Рп (х)]% по аргументу х: Рп (тр («Е, п)] .= — 1 — ()/100 (0% < «Е < 100%).
Таблица 3.7 предназначена для вычисления ()-процентных точек т(с,), п; а, а) = т ~„~ (т",с, п) о выборочной медианы (тн, построенной по вы- борке $1, .„ ..., $„ нз нормальной совокуп- ности с параметрами (а, а). Согласно тожде- ству (53) т ((е, и: а, о) = а + пт (т',), и; О, 1), (60) поэтому для вычисления т (т), и; а, о) доста- точно иметь таблицы функции т(ч, и; О, 1), которую в дальнейшем будем обозначать т ((), и). Если и оо, то вз формул (54) — (57) следует, зто равиомерво вз любом конечном интервале (7л ( ( 0 ( Я„целтеттолс содержзшемся внутри интервала (0%, 100%) (т. е. (тт в Ое ие азвисвт от и и 0% ( (тт ( ( ттл ( 100%), влтеют место асимктотическпе формулы Ч ( 2(н — Л) Ч'л — 3 (Е,27+1)-=,(~1+ „,'„+ 4(7яе — 30я+ 25) Чел — 20 (Зя — 7) Ч'е — 75 + 488яс и+ р (сл)~ 2 (я — 2) (О, 27) = на(0, 21+1)[1+ „, се+ О(Р)~, (61! где Ч' = Ч' (1 — 0,01тт) — кваитиль нормального рас- пределевия в с = (2я)/(81+ 5).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
