Большев Л.Н., Смирнов Н.В, Таблицы математической статистики (1983) (1186204), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Нетрудно убедиться в справедливости равенств 0 [а„'М„с) 0 (г СМ г) 0 (ги„,гМи) 0(ш 'Мсг) 0[па 'М*) 0 ( к/Мк> Таким образом,. величина 1/еи, обратная эффективности еи, показывает, во сколько раз нунсио увеличить объем выборки и, чтобы оценка тл/М,*.~ имела (приближенно) такую же дисперсию, каки оценка г 'М„г. Иными словами, дисперсии оценок тл/ЛХп и аи//)Х„с будут приблизительно одинаковыми, если Л' = иlе„. При и = 2 имеем еа = 1, и поэтому Л = 2 (более того, в этом случае г = 1/2т).
С ростом и эффективность оценки т/М монотонно убывает и при и-~. со стремится к 1/(я — 2) = = 0,8760, т. е. при больших и имеет место приближенное равенство Л' = (я — 2) и = 1,1416и. Следовательно, в случае оценки о по болыпим выборкам арифметическое среднее абсолютных отклонений т даст приблизительно ту же точность, что и г, лишь при увеличении объема выборки на 14аг[.
Практически оценку т моясно признать удовлетворительной только при и ( 10 (если и = 10, то ег, = 0,91 и, значит, Лг = 11). В случае и ) 10 оценку т разумно применять лишь тогда, когда затраты на дополнительные измерения (их количество приближенно равно и [(1/еи) — 1!) действительно компенсируются той экономией вычислений, которая достигается при замене а на т). Таблица 4ма. Моменты отпошеппя а/о В таблице даны значения М,, 1/Мги )/Р„г ф' 2чР„')г (2ч + 1/2) Р„а также значения отношений [М (а/с — М )')а М (и/и — М )а [)а = для ч = 1 (1) 20 (5) 50 (10) 100. Таблица 4.1а есть несколько расширенный вариант аналогичной таблицы, опубликованной в сборнике [Т27[. Таблица 4йб.
Наилучшие лккейпые оценки квадратичного отклопеппя В таблице для и = 2 (1) 10 указаны формулы линейных функций от алементов зариационного ряда. Эти функции являются несмещенными линейными оценками для о с наименьшей дисперсией (предполагается, что вариационный ряд Ч, ( г), ( ... ~( г)„ образован из и взаимно независимых случайных величин, подчиняющихся нормальному распределению с параметрами (а, и)). В правом столбце даны значения эффективностей, определяемых как отношения дисперсий оценок з/М„г к дисперсиям соответствующих линейных оценок.
Таблица 4.16 заимствована из учебника [45). Т а б л к ц а 4.1в. Множители для определения доверктельвых пределов кэадраткчпого отклопепкя о В таблице даны значения коэффициентов з, и з, (см. формулы (1)) для сс = 0,05; 0,025„ 0,01; 0,005; 0,001; 0,0005; ч = 1 (1) 30 (5) 100.
При о ) 100 значения зг и з, можно вычислять по формулам (1) и таблице 2.2. Таблица 4.1в составлена в отделе математической статистики МИ АН СССР. Табл кц а 4.1г. Моменты отношения т 1чч ,у [ьс — 31 о ио,у1 В таблице даны значения Ми, 1/ЛХи, [/Ри, Р„, е„, 1/еш а также аначения отношений (М ( — Мфа~ М ("' — Ми)' — 44 для и = 2 (1) 20, 30, 60, со.
При и ) 20 все .ю/ о функции, кроме г Р„, допускают линейную интерполяцию по аргументу 1/и. Таблица 4 1з представляет собой расширенный вариант аналогичной таблицы, опубликованной в сборнике Т27). Та блиц в 43д. Нвантнлн рвснределеннл арифметического среднего т 1 %~ абсолютных отвлоненнй — = — г ( 4 — 4) о мо,7( (-( В таблице даны с тремя десятичными знаками квантили т (Р; и) распределения случайной величины тlа для и = 2 (1) 10 и Р = 0,1; 0,5; 1; 2,5; 5; 10; 90; 95; 97,5; 99; 99,5; 99,9%.
(Для любых фиксированных 0 ( Р ( < 100% и и = 2, 3, 4,... квантиль т(Р; и) определяется как решение уравнения Р (т/о ( т (Р; и)) = 0,01Р.) Если и ) 10, то для приближенного вычисления т (Р; и) рекомендуется воспользоваться таблицей 4 14; в которой указаны процентные точки распределений из семейства К. Пирсона.
Функция распределения случайной величины т хорошо аппроксимируется надлежащим образом подобранным пирсоновским распределением уже при и =- 10. С ростом и распределение статистики т стремится к нормальному распределению. Е1еобходиыые для пирсоновской аппроксимации значения параметров Л1„ ~ 0„, р( и 6, определяются по таблице 4.1г.
Таблица 4.1д заимствована из сборника (Т27). П р и м е р. При обработке результатов яезависимых равноточных измерений с нормально распределенными случайными ошибками было получено значение з =- 0,0173 (ч =- 9). Полагая а = 0,005, нз таблицы 4.1в находим г( =- 0,618 и лл = — 2,28, поэтому доверительные пределы для квадратичного отклонения о выражаются числами з,л = —. 0,618 0,0173 = 0,0107, лу = 0,0394.
Отсюда, в частности, следует, что (0,01; 0,04)— доверительный интеграл для и с коэффициентом доверия ) 1 — 2а =-- 0,99. Подробнее об оценках о см. (28, 38, 68, 115). такие две функции Т((Ь, ..., $д) и Т, (с„.. зк), для которых событие (Р (Т,) — Р(Т() ) Р) практически достоверно (вероятность этого события 7 (7 = 1) называется коэффициентом доверия). Односторонние толерантные пределы представляют собой обычные доверительные пределы для квантилей распределения Р (х).
Толерантные пределы можно рассматривать как критические значения случайной величины $ с функцией распределения Р (х), построенные по одной серии наблюдений. При этом, если имеется несколько таких серии З(, $,,... (() к) ..., $л и по каждой серии построены пределы (Т,"(, Т('), то приблизительно в 100 7% случаев пары полуинтервалов ( — со, Т, ! и (Тг (и (и + со) будут являться критическими множествами для з с уровнем значимости не более чем 1 — Р. В случае нормального распределения с неизвестными параметрами (а, о) в качестве толерантных пределов обычно выбирают функции вида $ + Ъ, где о 1 Для построения одностороннего толерантного предела множитель 7( определяют таким образом, чтобы сумма $ + ((л представляла собой доверительную границу для заданной квантили а + оЧ' (р) (см.
раздел 1, таблица 1.3). При атом коэффициент доверия для верхнего толерантного предела равен вероятности события (в случае нижнего предела знак неравенства следует сменить на обратный). Двусторонние пределы определяют в виде $ + Кг. Толерантный мнон(итель К есть решение уравнения Таблица 4.2. Множители для построения толерантных пределов в случае нормального распределения Пусть $(, $„ ..., $и — взаимно независимые и одинаково распределенные случайные величины с функцией распределения Р (х).Толерантными пределами распределения Р (х), соответствующими вероятности Р, навывают Иными словами, с вероятностью у внутри интервала ~~ + Кл заключается не менее чем доля Р всей нормальной совокупности. Множитель К не зависит от а и а и представляет собой функцию трех переменных: Л', 7 н Р, т.
е. К = Кк (7, Р). Вычисление точных значений этой функции — дело весьма трудоемкое. Однако, как показалиВальдиВолфовитц [27), с достаточной для большинства практических прилон(ений точностью имеет место » 1 (3) »1 »шах ",+~",-+".+ а 2 2 2 2 абаз = Шал (ЗМ 22> * > З>») (4) прполпженное равенство >'»' — 1 х (1007, Л> — 1) где х(С), п) есть ()-процентная точка )(2-распределения с и степенями свободы (см.
раздел П) и уь(Р) — решение уравнения Ф (1>>]г У + р) — Ф (1/~/У вЂ” р) = Р. Б таблицах 4,2 даны значения К» (с тремя десятичными знакалги) для Лг = — 2 (1) 50; у == 0,75; О,оО; 0,95; 0,99; Р = 0,75; 0,90; 0,95; 0,99; 0,999 (таблица 4.2 есть сскрагценный вариант таблицы, опублш;ованный в сборнике (22]). Как показано в работе (27], приближенному значению толерантного множителя К* соответствует коэффициент доверия у*, отличающийся от заданной величины Т не более чем на 0,2 (1 — у) (при всех Л' ) 2). Если Лг — >- оо, то у» — Т = 0 (Л> '), Для вычисления К* прп Х.= 50 рекоменду тся формула (см.
таблицы 1.3 н 2.2) Л> — 1 —,, >1+Р) 1' (1»от,л — П ~ (, 2 с. 2С ч>( . )С вЂ” 31 24Л>» ] (2) П р и и е р. Пусть требуется вычислить К* прн Л»=50, 7=0,99 и Р=0,999. По таблицам 1.3 и 2.2 находим Ч" (0,9995) = 3,2905, х (оо9%, 49) = 23,94, поэтому в данном случае Ь' 28 94 ( 2ы , б 00„ ) = , По таблице 4.2 точное значение К» = 4,323. Подчеркнем еще раа, что К» — К = О (Л'-'). Поэтому правая часть формулы (2) отличается от К величш>он повадка Л' 2 (ат К* зта правая часть отличаетса на О (Л» 2)). Можно указать другое приближенное значение Хс»» для толерантного множителя К такое, что К*» — К = О (Л' ") равномерно относительно вероятностей т н Р, меняющихся на произвольном фиксированном отрезке внутри интервала (О, 1): яз (яз + 3) ' -"- ~ (=-))') Например, в предыдущем случае з (9912, 50) = 29,707, поз хому / о0 к = 3,2905 ]/ —.
= 4,3427, Кее = 4,328. 28,707 Таким образом, если Л' = 50, у = 0,99, Р = 0,999, то К вЂ” К* — К»" — К" = 0,003. Прв небольших значевпях >У нлн при Г, близких и единице, погрешность првбзсжсвиой формулы К»» К может быть довольно вначительиой (болео того, если 7 1), то, как нетрудно убедиться, К"» может оказаться мнимым числом). В этих условиях приближенная формула К*» К действует хуже приближенной формулы Вальда — Волфовитца К* = — К. Однако, если Л' > 50 и у, Р ( 0,99, то приближение К»* предпочтительнее К».
Подробнее о толерантных пределах и их применениях см. [22, 25, 27, 47, 115, 123]. Таблицы 4.3. Критерии равенства дисперсий Пусть 21, ззз, ..., 22 — взаимно независимые статистические оценки дисперсий о,', о'„..., пг соответственно, и пусть т»зо>01 2 2 2 2 подчиняются )(2-распределениям с тг степенями свободы (1 = 1, 2,..., Й). Если дисперсии а> неизвестны и предполагается, что и, = 2 2 2 2 = о, =...= пю то для проверки такои гипотезы (назовем ее Но) можно воспользоваться критерием Бартлетта (5], основанным на статистикш М= Л>]п( — (> тгз;) — ~ 2>1 ]паз, Если гипотезаНе (01 —— пз —— ...- -па= и ) верна и все тз ~~ 3, то отношение М(1+ 3 — 1) (Е+ 1)Г > 1 распределено приближенно как у' с й — 1 степенями свободы.
Следует отметить, что М-критерий Бартлетта весьма чувствителен к отклонениям истинных распределений величин т>з;/а; от )(2-распределения. Б частности, если все оценки 21 построены по выборкам из совокупностей, распределения которых отличны от нормальных, то М-критерий может с большой вероятностью отвергнуть гипотезу Н„когда она верна. Этим же свойством обладает несколько менее мощный, но зато более простой критерий Кокрена (сы. (65]), предназначенный для проверки гипотезы Н, и случае, когда все одинаковы: т, = тз =... = тг = т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
