Большев Л.Н., Смирнов Н.В, Таблицы математической статистики (1983) (1186204), страница 18
Текст из файла (страница 18)
— С = В = У13,86 ' 320 13,86+ 320 — — 0,9790, Полагая р = 0,9, по таблице 4.6а находим ив (0,9, 0,979) = 2,284 0,42 + 2,291.0,58 2,288, поэтому с ковффицвевтом доверня 0,9 можно утверждать, что са отревке — 3 ~ х Ц 5 неизвестная прямая линия регрессия заключена между графиками функпнй (между хиперболами) 1,60 (х 1) + 4,61* 5,99 У 0,05 + 0,072 (х — 1)Ц Соответствующая довервтевьная вона изображена нв рис. 4. Если бы в этом примере было известно, что о 2, ю произведение и . (р, й)э =* 5,99 следовало бы вавеннвь на в (р, ь) о = 4,29 '). !1ос.рспв теперь доверительную область с прямоаинейвоэ границей. Тав как по таблице 4,6б (см, формулу (27)) ио (0,9: 0,979) вм (0,9; 0,204) = 1,888 0,92 + 1,920 0,08 = 1,891, х) Во введевив к таблнцам [Т34) в аналогичном примере 5 формула двв угла $ неверна, поэтому коэффициент доверня прн и а= 4 вычислен с ошибкой.
Па самом дпап Рг ях 0,865 ь Рэ ях 0,937 ['а нв 0,879 в 0,913, как указано в [Т34)). то согласно формуле (26) с ковффицнентом доверия 0,9 можно утверждать, что на отрезке -3~ х~ 5 неизвестная прямая заключена в полосе 1,60 (х 1) + 4,61 -4- 1,891 2,616 Р 0,05+ 0,0722 16, т. е — 5,43 < [а (х — 1)+ Ы [1,60 (х 1)+ 4,61)<5,43 (соответствующая доверительная вона с прямолвисйвымн траницами изображена на рис. 4 штриховыми виниямн). Если бы было иэвестно, что о = 2, то проивведевне и„в (р, 1,) г 1,891 2,616 следовало бы эаменить на и (р, ь) о * 1,786.2 3,57. Подробнее о доверительных вонах для линий регрессии см. [10, 74). Применению аналогичного метода двя иостроевия интервальных оценок функции нормального распределения посвящены сообщевие (16) в пример 6 во введении к таблицам [Т34[.
Таблицы 4.7. Критерии отклонения распределения от нормального Если случайная величина 5 подчиняется нормальному распределению о параметрами (а, а), то, как иввестно, б= = у — =0,79788, М[й — а[ Г 2 М (С вЂ” а)э М (5 — а)" "гг °, =О. р 3 вь (6 — нормированное среднее абсолютное отклонение, 9 — коэффициент асимметрии, (р,— — 3) — коэффициент эксцесса) см. [28, 68, 104)). Таким образом, если выборочные оценки указанных моментных отношений существенно отличаются от соответствующих теоретических пначений в формулах (28), то следует признать, что неизвестное теоретическое распределение отлично от нормального.
Так как значения моментных отношений (28) могут иметь место и для распределений, отличных от нормального, то близость теоретических и выборочных значений этих отношений не обязательно свидетельствует о нормальности теоретического распределения. Излагаемые далее критерии служат плавным образом не для проверки нормальности, а для выявления отклонений рас пределения от нормального, или, точнее, для проверки гипотез 6 чь )/2/л, 7, чь О, (), чь 3.
Однако с формальной точки зрения критические значения статистик таких критериев конструируются для проверки гипотез (28) в предположении, что исходное распределение нормально. Пусть 61, $в,..., 5 — взаимно независимые случайные величины, одинаково нормально распределенные с неизвестными параметрами (а, а). Для оценки величин б, Тг и рв можно воспользоваться выборочными момент- 55— ными отношениями: г(= — „,.
~~~«,~$; — $), а = „(р)в ~~6« — $)' «=1 ;1 и Ь = — ','~ С-й г 1 где $ =.,"Ц;)и, (ав)в =-,«~ (Е1 — $)вlп (à — выборочное среднее, (аг)в — выборочная дисперсия, г( — выборочное среднее абсолютное отклонение, яг — выборочный коэффициент асимметрии, (Ь, — 3) — выборочный коэффициент эксцесса). Статистики г1, дг и Ь, распределены асимптотически нормально с параметрами ("") МИ— — 1),(") '«2 / =1/ — '~1+ „. ' „+О( — 1,Ц, 0Ы = — 11+ — ~Т/я (и — 2) + агс з(п — ~)— 1 1 2 г 1 и и и — 1 г ( — ") 1Р З~ = — ~0,04507 — 0,0796 — + О ( —., ) ~, (29) Мб,=О, 6 (и — 2) (и + 1) (и + 3) — — ~1- — + о( — )1 6 МЬв — — 3 —— и+1 24и (и — 2) (и — 3) (и + 1) г (и + 3) (и + 5) и ~ 15 +124 + (ив)) ' Как показал Э.
Пирсон [92), распределение статистики дг довольно быстро приближается к нормальному распределению, тогда как распределение Ь, даже при больших и оказывается далеким от нормального. Гири (36) предложил заменить критерий Ь, критерием г( (распределение статистики Н удовлетворительно аппроксимируется нормальным распределением при п ~ 50). Т а б ля ц а 4.7а. Процеатпые точки распределевкя статкстккк гг = Х(зг — 5(йиа* В таблице даны (с четырьмя десятичными знаками) (~-процентные точки д„(г'г) статистики Ы для объемов выборки п =-- 11 (5) 51 (10) 101 (100) 1001 и ч = 1, 5, 10, 90, 95, 99об (()-процентная точка статистики Н определяется при фиксированных и и 0 ( () ( 100ий как решение Н„(О) уравнения Р (И ) д„(О)) = 0,01О). В двух последних столбцах указаны математические ожидания Мг( и квадратичные отклонения р'(Зг( (см.
формулы (29)). Для вычисления д„ф) при тех значениях и, которые отличны от табличных, рекомендуется воспользоваться линейной интерполяцией, приняв за новый аргумент Г' Од (вместо п). При этом погрешность интерполяции в интервале 11 и ( 21 не более 2 10 ', а в интервале 21 ( и (1001 не более 10 и. При и ) 1001 процентные точки Ы„(О) следует вычислять по формуле г(и((Э) =0,7979+ $/ — „Ш (сговг(Š— Оз79791. Т а б л к ц а 4.76. Процентные точки распределения выборочного коэффициента аскмметрпи дг В таблице даны (с тремя десятичными знаками) приближенные значения О-процентных точек д, ((), п) выборочного коэффициента асимметрии дг для и = 25 (5) 50 (10) 100 (25) 200 (50) 1000, О=1, 50в (так как распределение дд симметрично относительно нуля, то для вычисления нижних процентных точек, соответствующих () = 95 и 9904, можно воспользоваться равенством я,(100 — О, и) = — д Ж~, и)).
В последнем столбце указаны значения квадратичного отклонения ф0д, (см. формулы (29)). Для вычисления яг Я п) при тех значениях п, которые отличны от табличных, рекомендуется воспользоваться линейной интерполяцией, приняв за новый аргумент квадратичное отклонение )Г0д. При п ) 1000 процентные точки дг ((г', и) можно вычислять по формулам дг(5игб, п) = 4,02I'г' и и д, (1%, п) = 5,70г"у' и (эти формулы обеспечивают правильность трех значащих цифр). Т а бл к ц а 4.7в. Процентные точки распределения выборочной характеристики эксцесса Ьи В таблице даны (с двумя десятичными знакамп) приближенные значения Д-процентных точек распределения статистики Ь, для и = 50 (50) 1000 (200) 2000 (500) 5000 и () = 1, 5, 95 и 99% (по аргументу п допустима линейная интерполяция).
При п ) 5000 процентные точки статистики Ь, можно вычислять по формуле 3+ й(~)!~/и, где й(1%) =12,3, й(5%) = 8,2, й(95%) =- — 10,5. Следует заметить, что в таблицах 4.7 (б и в) указаны приближенные значения, представляю- — 56 щпе собой процентные тонки, распределений К. Пирсона, у которых первыесчетыре момента совпадают с соответствующими моментами распределений дс и Ь,. Погрепгность такой'аппроксимации сколько-нибудь обстоятельно не изучалась,(подробнее об этом см. [93, 133!).
Если выборка содержит менее двухсот наблюдений, то критерий Ь, следует заменить критерием сс. Так как погрешность в уровне значимости приближенного критерия Ь, неизвестна, то для исследования эксцесса при 50 ( п ( 1000 целесообразно более полагаться на критерий сс, чем ка критерий Ь .
Таблицы 4.7 заимствованы из сборника [Т27!. Процентные точки Ь, для и = 50, 100 и 150 вычислены методом Монте-Карло. П р и м е р. В учебнике Хальда ([137), гл. 12/, 1 5) распределение емкостей 650 конденсаторов сравнивается с нормальным. Результаты изыерений (в мкф) сгруппированы по интервалам, середины которых указаны во второй строке таблицы (в первой строке даны номера интервалов», а в третьей строке — количества наблюдений п», попавших в соответствующие интервалы). Так как статистики с/, дс н Ьз не зависят от лзмененвя параметров начала отсчета и масштаба, то равноотстоящие значения с» можно заменить значенилмн /с.
В результате вычислений выборочных ыомснтов (с поправками Шеппарда на группировку; сы. [68), гл. 27) оказалось, что Хс = 0,0832 и Ь, = 2,882. Таким образоы, ю и Ь, не выходят за 5%-ные критические гранпцы, указанные в таблицах 4.7 (б и в): ) Хс! ( 0,157 и 2,71 < Ь, ( 3,33 (суммарный уровень значиыости для каждого крлтерия равен 102%2), поэтому гипотезы тс = — 0 н 62 = следует признать непротиворечащими результатам наблюдений. Дополнительную проверку гипотезы бз = 3 можно осуществить при помощи критерия с/. Для вычисления суммы абсолютных отклонений полезна формула ~ [» — б ! = 2 ((сумма результатов измерений, превыс=с шасопсих 5) — 5 х (количество измерений, превышающих 5)).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
