Большев Л.Н., Смирнов Н.В, Таблицы математической статистики (1983) (1186204), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Согласно сделанному выше замечанию о замене $» на й в данном примере эта формула принимает вид Х п»)/с»! 2(Х»и»» Х и»)' »=-7 »аы»=2 » = — »п = 0,5277. 650» Кроме того, так как (22)2 = 6,7659 (с поправкой Шеп варда), то с/ = 0,8065. Это значение не выходит за 10% ные пределы, найденные линейной пнтерполяцией таб- лицы,4.7ас.,0,7878.(21(.0,8088, поэтому критерий сс приводит к,тому же.выводу, что и критерий Ь,. Если бы при вычислении сумыы абсолютных отклонений учитывалась.поправка на группировку 2), аналогичная поправке Шеппарда, то мы получили бы с/ = 0,8041 и окончательный вывод остался бы прежним. Помимо рассмотреняых критериев, для проверки нормальности случайных величины ь„при п ~ 3 можно воспользоваться более совершенным критерием, предложенным Саркади [106) (результаты, полученные Саркади, здесь излагаются с некоторыми изменениями, позволяющими полнее использовать возможности данного сборника статистических таблиц).
Пусть л» вЂ” произвольное, но заранее фиксированное целое число из отрезка 1 ( т ( и, и пусть 1 зч 1 $ — — — $— и+Рп Рп+1 если /=1,2,...,ш — 1, 1 ХС 1 3/22 — .— . 52 — —.— $ и+фи Уп+1 2=1 если /=т, т+ 1,..., и — 1.
Как показано в работе [106], статистики 2)„г)„..., т)„2 взаимно независимы и одинаково нормально распределены с параметраыи (О, а), поэтому случайные величины 2 2 и — / — 1 (Озы + ч»22 + ° + пт 2) (!=1, взакмно независимы, причем 9/ подчиняется распределению Стьюдента с (и — у — 1) степенями свободы. Таким образом, если Я/(1) — функция распределения Стьюдента с у степенями свободы, то случайные величины б/ — — Яп, 2 (9/) (у = 1, 2,..., п — 2) взаимно независимы и подчиняются равномерному распределению на отрезке [О, 1!. Иными словами, если гипотеза нормальности верна, то распределение случайных величин б/ не за- з) Пусть т = Е ! зс — с ! /и, и пусть т» — аналогичная величина, вычисленная по тем же данным, но сгруппированным в интервалах длины Ь. В таком случае, если»/о О, то (Мт»)2 — (Мт)' (Ь'/6я) (1— — 1/и). Таким образом, в качестве прссблилсеиного значения для т можно воспользоваться вместо т» Ь' / 1 исправленной величиной [/ т- — †.
С1 — — ~ бл~ — п~ --.~ —,.',(--.)~ 12"т» одной грубой ошибки, когда подозрительным моя<ет оказаться минимальный или максимальный по величине результат наблюдений. Пусть $ь Эв,..., 5„— взаимно независимые случайные величины, подчиняющиеся нормальному распределению с параметрами (аь и) (т. е. М$, = а, н 0$, = пв, ( = 1, 2,..., и). Основная гипотеза Нв, подлежащая проверке, заключается в предположении, что от = ав= .. ..
= оо = а. Статистический критерий для проверки атой гипотезы обычно выбирают с учетом возможных альтернативных гипотез Здесь мы рассмотрим три основных типа альтернатив~ Нт, Нт и Нь которые определяются условием а« = а, =... = а~« = а и« вЂ” — . ° ° = аи = а а = а + «). При этом (по определению) согласно гипотезе Н~ величина И положительна, а согласно гипотезе Н~ эта величина отрицательна. При гипотезе Нт о знаке д не делается никаких допущений, а предполагается только, что е( ~ О. Номер наблюдения т, содержащего грубую ошибку, я величина этой ошибки «( неизвестны. Бели объем выборки п не очень велик, я ) е( ) значительно превышает и, то с вероятностью, близкой к единице, Таким образом, для проверки гипотезы Но естественно воспользоваться критериями, статистики которых представляют собой крайние (экстремальные) значения варнационного ряда (вариационный ряд т)т ( ( т)т ~ .
. ( т)„ получается в результате размещения исходных величин $ь $„ ..., $и в возрастающем порядке). Прв этом основные критерии для исключения резко выделяющихся наблюдений (т. е. для проверни гв потеаы Но) можно разделить на четыре класса з зависимости от того, известны или неизвест ньт параметры а н а1 'титнстиие иритерия Коиитриртюшвя еинотеви а оввестно. иеиввестно а иввество, е иввестяо Н' Нд Н, С+(а, а) = (чи — )( С (а, а) (э1 — а)/а С(а, а) юих( — С (а, а), С+(а, с)) висит от неизвестных параметров (а, а).
Вычисление статистик 6) можно осуществить по таблипам 3.1. Для проверки согласия выборочного распределения статистик бм 6«,..., 6„, с теоретическим равномерным распределением можно применить какой-либо стандартный критерий, например критерий )(в (см, описание таблип раздела П), критерии Колмогорова, Смирнова и Репьи, критерий от«(см. описание таблиц раздела и'1) и т.
и. Выбор критерия определяется главным образом гипотезамн, конкурирующими с основной гипотезой, по которой исходные величины $ независимы и одинаково нормально распределены с неизвестными параметрамн (а, о). Что же касается выбора числа тп, то в тех случаях, когда согласно конкурирующей гипотезе исходные величины $, независимы и распределены одинаково по вакону, отличному от нормального, обычно полагают т = и ялк т = 1. Более специальный подбор т применяется, например, тогда, когда эя эв, имеют разные функции распределения (в частности, тогда, когда по конкурирующей гипотезе у $,, $в,..., $„предполагается наличие тренда, непостоянной дисперсии и т.
п.). Подробнее о критериях нормальности см. [4, 38, 47, 90, 92, 93, 104, 137). (в а блицы 4.8. Критерии исключения резко выделяющихся наблюдений Таблицы предназначены для статистического выявления грубых ошибок измерений, т. е. ошибок, возникающих в результате случайного просчета, неправильного чтения показаний измерительного прибора и т. п. Результаты измерений, содержащие грубые ошибки, часто бывают хорошо ваметны, так как они сильно отличаются от других результатов измерений. В этих условиях наиболее целесообразный способ выявления и устранения грубых ошибок— непосредственный анализ измерений, тщательная проверка неизменности условий всех экспериментов, запись результатов «в две рукнэ и т.
д. Статистические методы выявления грубых ошибок следует применять лишь в сомнительных случаях„когда дополнительная информация о качестве измерений либо неполна, либо ненадежна. Все таблицы 4.8, кроме последней, посвящены в основном статистическому выявлению жахал в случае справедливости гипотезы Н, ш(п $«в случае справедливости гипотевы Н,. 9« = ш1п $« н т)„ = шах С, С+(а, тв) =(Чо а)/е" С-(а, в*) (яс — а)яв С (а.
*1 = еоих ( — С ~а, те), С+ (а, тв)! Конктрирузощая гипотеза Статистика критерия о неизвестно, с известно е неизвестно, е неизвестно ~" (ч в (Ч, ~ (ч. Н+ 1 и, и, Здесь 1 % Ч = — ~Ч1 =5, п (30) (ги)з з 1 Г (ЧзЧи — Ч ) = „ ч — ч. чи Чг — Чз Г(Чз Чв — Чз) = Чи — 59 Г+(Ч, и) = ((1„— Ч)!и г. (ч и) =(чг — чрз в(ч, и) = шах( — г. (ч, с), в+(ч, п — 1 (Че — а), если а известно, — (Ч; — Ч), если а неизвестно. В некоторых случаях неизвестный параметр о заменяют оценкой з, с т степенями свободы, не зависящей от числителя соответствующей статистики критерия (з, — несмещенная оценка дисперсии о' с р степенями свободы).
В результате получаются критерии, статистики которых в принятых яами обозначениях имеют вид ~т(а, з,), Ь (а,г,), ~(а,гт), 1 (ч,;), ~-(ч,;), 1(ч,;) (НаПРИМЕР, Ьт (а, г„) = (ׄ— а)!гг, В' (Ч, г,) = = (ׄ— Ч)(з„и т. д.). Если р превосходит и, то такие критерии оказываются более мощнымв, чем критерии, зависящие от оценки г", вычисляемой по исходной выборке (см. формулу (30)). Чтобы избежать вычислений по формулам (30), иногда пользуются более простыми (и менее мощными) критериями, статистики которых задаются отношениями: ~в Чи-1 а) 1'(Ч.— 1,Ч.— Ч1)=, в ч.— ч,, б) г (Чв-ь Чв — Чз) = Чв — Чз Г(Ч.,Ч.— Ч.)=„' "„'-; и ) ~" (Ч.—., Чв — Ч.) = '"„""„-', и (критерии типа б и в предназначены для выявления и исключения двух грубых ошибок). з ) — (Чв Ч)зз *) =(ч — ч)! * и*) = шах( — з (Ч, з*), з+(Ч, зе)) Так как в силу симметрии нормального распределения все соответствующие друг другу статистики ~+ и с, (например, ь' (а, а) и — ь (а, о)) распределены одинаково, то р-квантили распределения ~ лишь знаком отличаются от (1 — р)-квантилей распределения соответствующей статистики ~'.
Р (~+ (г) + Р (~ ( — г) ж 1. Таким образом, при построении таблиц для проверки гипотезы Н, при конкурирующих гипотезах Н1 или Нг можно ограничиться табулированием критических значений статистики Ь'. Далее, так как событие (~ ) г) является суммой событий (~' в г) и ( — ~ ) г), то Р(~)г)=Р(~т )г)+Р( — ~ )г)— — Р (~' ) г, — ~ ) г). Отсюда в силу предыдущего замечания следует, что Р (~ > г) (2Р (~') г). (31) Поэтому, если г — критическое значение критерия ~' с уровнем значимости з, то критическое множество ~ з г критерия ь будет иметь уровень значимости (2з. Иными словами, таблицами критических значений г для статистик типа Ь" можно воспользоваться при построении критериев типа с.
Истинный уровень значимости (вероятность ошибки первого рода) для критического множества, заданного неравенством ~ ) г, не превосходит 2з. В тех случаях, когда параметр а неизвестен и заменяется величиной 1) = „~~~$;/и, имеют место неравенства (см. (13, 76, 98)) [1 — Ф (г )/ — и)1 (Р(~+(ай а) ~)г) — и[1 — ( Ф''.",)3 <О ['-'(~'.-' 6 '«' "-— -и [1-'й~':.-'.) 1 <' (32) [1 — Яв з (г)яг ",)~ ( ~( К'Я ))г)— — и [1 — Б„з (г~/ " е)~ (О, Относительная погрешность этой формулы при любых и и ч не превышает самого приближенного значения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
